Stone-Čechコンパクト化

一点コンパクト化が最小のコンパクト化であるのに対し、Stone-Čechコンパクト化は最大のコンパクト化です。関数解析や集合論で重要な役割を果たします。

Stone-Čechコンパクト化の定義

完全正則空間（Tychonoff空間）$X$ に対して、Stone-Čechコンパクト化 $\beta X$ は次の普遍性を持つコンパクトハウスドルフ空間です。

任意のコンパクトハウスドルフ空間 $K$ と連続写像 $f:X\to K$ に対して、$\tilde{f}\circ i=f$ を満たす連続写像 $\tilde{f}:\beta X\to K$ が一意に存在する。ここで $i:X\to \beta X$ は標準的な埋め込みです。

この普遍性により $\beta X$ は同相を除いて一意に定まります。

構成の概略

$\beta X$ の構成法はいくつかあります。代表的なものは次の通りです。

いずれの方法でも同じ空間が得られます。

Stone-Čechコンパクト化の例

自然数 $\mathbb{N}$（離散位相）の Stone-Čechコンパクト化 $\beta \mathbb{N}$ は、$\mathbb{N}$ 上の超フィルター全体と同一視できます。$\beta \mathbb{N}\setminus \mathbb{N}$ は非主超フィルターからなり、連続体濃度を持ちます。

$\beta \mathbb{N}$ は極めて大きく複雑な空間で、集合論的に興味深い性質を多く持ちます。

実数直線の場合

$\mathbb{R}$ の Stone-Čechコンパクト化 $\beta \mathbb{R}$ は一点コンパクト化 $\mathbb{R}\cup \{\infty \}$ とは大きく異なります。$\beta \mathbb{R}\setminus \mathbb{R}$ は2点でなく、非常に大きな空間です。

$\beta \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上のすべての有界連続関数が連続的に拡張できる最小の空間として特徴づけられます。

Stone-Čechコンパクト化の性質

Stone-Čechコンパクト化は「最大の」コンパクト化です。$X$ の任意のコンパクト化 $Y$ に対して、連続な全射 $\beta X\to Y$ が存在します。

また、$X$ が局所コンパクトハウスドルフならば、$X$ は $\beta X$ の開部分集合となります。