伸ばしても縮めても変わらないもの……同相写像と位相的性質

全単射で、行きも帰りも連続。この 2 つを満たす写像 $f:X\to Y$ が同相写像です^[1]。

同相な 2 つの空間は、開集合の並びまでそっくり同じ。位相の言葉で書ける性質はすべて一致します。逆に、性質が 1 つでも食い違えば同相ではありません。

同相写像の定義

位相空間のあいだの全単射 $f:X\to Y$ が同相写像であるとは、$f$ と $f^{-1}$ がどちらも連続であることをいいます^[1]。

同相写像があるとき $X\cong Y$ と書き、$X$ と $Y$ は同相であるといいます。同相の関係は反射的、対称的、推移的なので、位相空間を類に分けます^[2]。

$f$ が全単射なら $f^{-1}$ の連続性は、$U$ が開なら $f(U)$ も開、という条件と同じ。だから定義はこう書き直せます^[1]。

$$U\subseteq X\text{open}⟺f(U)\subseteq Y\text{open}$$

開集合の族どうしを、そっくり対応させる全単射だと読めます。

逆の連続性は自動ではない

連続な全単射でも、逆が連続とは限りません。$[0,2\pi )\to S^1$、$t\mapsto (\cos t,\sin t)$ がその例です。

区間を円に巻きつけると、始点と終点が同じ場所で出会う。ところが区間のほうでは、$0$ の近くと $2\pi$ の近くは遠く離れています。

$[0,\epsilon )$ は区間のほうで開集合ですが、その像は円弧の一部で、端の点を含みながら片側に伸びる形。円の上では開集合になりません。

つまり $f$ は開写像でない。全単射で連続でも、同相にはなりません。

判定に使える 3 つの条件

全単射 $f$ については、次がすべて同値です^[1]。

全単射のもとでは、開写像であることと閉写像であることが一致します。補集合が補集合へ移るためです^[1]。

実用上いちばんよく使うのは別の十分条件。コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全単射は、自動的に同相写像になります^[2]。

コンパクト集合の連続像はコンパクトで、ハウスドルフ空間ではコンパクト集合が閉。だから閉写像になり、上の条件 3 に当てはまります。

例：開区間と実数直線

$\tan :\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$ は同相写像です^[1]。

狭義単調増加で連続、値域が $\mathbb{R}$ 全体、逆関数 $\arctan$ も連続。定義をそのまま満たします。

長さが有限の区間と、無限に伸びる直線が同相。長さは位相の言葉で書けないので、消えてしまう情報です^[2]。

例：球面から 1 点を抜くと平面

円周から 1 点を除いた空間は、直線と同相です。写し方は立体射影^[2]。

北極 $N$ を除いた点 $P$ に対し、$N$ と $P$ を結ぶ直線が接線と交わる場所を $P$ の行き先とします。

$N$ に近い点ほど遠くへ飛びます。$N$ そのものには行き先がないので、除いておく必要がある。

同じ作りで、$n$ 次元球面から 1 点を除いた空間が ${\mathbb{R}}^n$ と同相になります^[2]。球面はコンパクトですが、${\mathbb{R}}^n$ はコンパクトでない。1 点抜くだけで性質が変わります。

位相的性質とは何か

同相な空間のあいだで必ず一致する性質を、位相的性質または位相不変量と呼びます^[1]。

開集合の言葉だけで書ける性質は、すべて位相的性質になります。同相写像が開集合の族をそっくり移すためです。

濃度が入るのは、同相写像がまず全単射だから。位相の条件を使うまでもなく一致します^[1]。

位相的性質でないもの

距離そのもの、有界性、完備性は位相的性質ではありません。

$(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相ですが、前者は有界で後者は非有界。同じ位相に、有界な距離と非有界な距離の両方が乗ります^[2]。

完備性も同じ。$(0,1)$ は通常の距離で完備でなく、$\mathbb{R}$ は完備。それでも位相としては同じものです。

こうした性質を扱うには、位相だけでなく距離まで込みで写像を考える必要があります。等長写像や一様同型が別に用意されているのは、そのためです。

同相でないことを示す

同相であることを示すには、写像を 1 つ作ればよい。同相でないことを示すには、すべての全単射を否定しなくてはなりません^[1]。

そこで不変量を使います。片方が持ち、もう片方が持たない位相的性質を 1 つ見つければ終わり。

$[0,1]$ と $(0,1)$ が同相でないのは、前者がコンパクトで後者がそうでないから。$\mathbb{Q}$ と $\mathbb{R}$ が同相でないのは、濃度が違うからです^[1]。

例：直線と平面のあいだの壁

$\mathbb{R}$ と ${\mathbb{R}}^2$ は同相ではありません。示し方は、1 点を抜いてから連結性を見ることです^[3]。

同相写像 $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$ があったとします。1 点 $x$ を選ぶと、$f$ の制限が $\mathbb{R}\setminus \{x\}$ から ${\mathbb{R}}^2\setminus \{f(x)\}$ への同相写像になります。

ところが左は連結でなく、右は弧状連結。連結性は位相的性質なので矛盾します^[3]。

この手は ${\mathbb{R}}^m$ と ${\mathbb{R}}^n$ が $m,n\ge 2$ のときには効きません。どちらも 1 点を抜いて連結のままだからです^[3]。

例：離散空間どうし

離散空間のあいだでは、全単射がそのまま同相写像になります^[1]。

どの部分集合も開集合なので、像も逆像も自動的に開。位相が情報を持たないぶん、集合としての大きさだけが残ります。

密着位相でも事情は同じ。極端な位相のもとでは、同相の判定が濃度の比較に落ちます。

発展

1 点を抜く手が使えない ${\mathbb{R}}^m$ と ${\mathbb{R}}^n$ の区別には、もっと強い道具が要ります。ブラウワーの領域不変性定理がそれにあたります。

証明にはホモロジーやホモトピーの理論が必要で、開集合の言葉だけを見ていても届きません。素朴に見える主張ほど、深いところで支えられている。

同相の分類そのものも難しい問題です。2 次元の閉曲面は種数と向きづけ可能性で分類できますが、次元を上げると分類が不可能になる場合まで知られています。

出典