商位相と商空間

商空間は、空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。トーラスやメビウスの帯など、多くの重要な空間が商空間として構成されます。

商位相の定義

位相空間 $X$ と全射 $q:X\to Y$ が与えられたとき、$Y$ 上の商位相（quotient topology）を次で定義します。

$V\subseteq Y$ が開集合 $\iff$ $q^{-1}(V)$ が $X$ で開集合

これは $q$ を連続にする最も細かい位相です。この位相を持つ $Y$ を商空間といいます。

同値関係による商空間

$X$ 上の同値関係 $\sim$ に対して、商集合 $X/\sim$ に商位相を入れたものが典型的な商空間です。同値類への射影 $q:X\to X/\sim$ が商写像となります。

商空間の点は同値類であり、元の空間の点を「貼り合わせた」ものと解釈できます。

商空間の例

円周 $S^1$ は区間 $[0,1]$ の両端点 $0$ と $1$ を同一視した商空間です。

トーラス $T^2$ は正方形 $[0,1{]}^2$ の対辺を同一視して得られます。上辺と下辺、左辺と右辺をそれぞれ貼り合わせます。

実射影空間 ${\mathbb{RP}}^n$ は球面 $S^n$ の対蹠点を同一視した商空間 $S^n/\{x\sim -x\}$ です。

商写像の性質

商写像 $q:X\to Y$ は連続かつ全射ですが、一般に開写像でも閉写像でもありません。

$q$ が開写像ならば商空間の扱いは容易になります。群の連続作用による商空間では、作用が適切な条件を満たせば商写像が開写像となります。

商空間の普遍性

商写像 $q:X\to Y$ は次の普遍性を持ちます。

写像 $f:X\to Z$ が $q(x_1)=q(x_2)\Rightarrow f(x_1)=f(x_2)$ を満たすとき、$f=g\circ q$ となる写像 $g:Y\to Z$ が一意に存在する。さらに、$g$ が連続であることと $f$ が連続であることは同値である。

この性質により、商空間からの写像は元の空間からの写像に帰着できます。

商空間とハウスドルフ性

商空間がハウスドルフとなるとは限りません。元の空間がハウスドルフでも、同値関係によっては商空間が非ハウスドルフになります。

同値関係 $\sim$ のグラフ $\{(x,y):x\sim y\}$ が $X\times X$ で閉集合であることが、商空間がハウスドルフとなるための必要条件（十分条件ではない）です。