貼り合わせてできる空間の位相はどう決まるか？商位相と商写像

全射 $q : X \to Y$ があるとき、 $Y$ の開集合を「逆像が $X$ で開になる集合」と決めます。これが商位相です^[1]。

$q$ を連続にする位相の中でいちばん細かいもの、という言い方もできます^[3]。条件を満たすぎりぎりまで開集合を増やした位相です。

商位相の定義

$X$ を位相空間、 $q : X \to Y$ を全射とします。

$V \subseteq Y open ⟺ q^{- 1} (V) \subseteq X open$

この規則で $Y$ に位相が入り、 $q$ は商写像と呼ばれます^[1]。 $Y$ の側には位相を先に置きません。 $q$ と $X$ の位相から決まります。

同値関係 $\sim$ を $X$ に入れ、 $Y = X / \sim$ と同値類への射影をとる場合が典型です。同一視空間とも呼ばれます^[1]。

$A \subseteq X$ の点をすべて同値にすると、 $A$ が商の中で 1 点に潰れます^[1]。貼り合わせの操作はこの形で書けます。

普遍性

商写像 $q : X \to Y$ には、写像を持ち上げる性質があります^[3]。

$f : X \to Z$ が $q (x_{1}) = q (x_{2})$ のとき $f (x_{1}) = f (x_{2})$ を満たすなら、 $f = g \circ q$ となる写像 $g : Y \to Z$ が一意に決まる。

さらに $g$ の連続性と $f$ の連続性が同値になります。 $g^{- 1} (W)$ の逆像が $f^{- 1} (W)$ そのものだからです^[2]。

$X$ 上の写像 $f$ が同値な点を同じ値へ送る

$Y$ 上の写像 $g$ が一意に決まる

$g$ の連続性は $f$ の連続性と同じこと

商空間からの写像を作るときは、もとの空間の上で作って条件を確かめればよい。実際の計算はいつもこの形になります。

開でも閉でもない

商写像は連続な全射ですが、開写像とも閉写像とも限りません^[1]。

逆に、連続な全射が開写像または閉写像なら、それは商写像になります^[1]。十分条件であって必要条件ではない。

差を言葉にすると細かい話になります。開写像はどの開集合の像も開だと要求しますが、商写像が要求するのは飽和した開集合だけです^[1]。

飽和集合

$M \subseteq X$ が $q$ について飽和しているとは、次が成り立つことをいいます^[1]。

$q^{- 1} (q (M)) = M$

$M$ がどのファイバー $q^{- 1} (y)$ についても、まるごと含むか、まったく交わらないか。この 2 つに 1 つだという条件です^[1]。

商写像は、飽和した開集合を開集合へ移す連続全射だと言いかえられます^[1]。

例：2 本の区間を 1 本に貼る

$X = [0, 1] \cup [2, 3]$ を $R$ の部分空間とし、 $Y = [0, 2]$ とします^[1]。

$p (x) = {x x - 1 (x \in [0, 1]) (x \in [2, 3])$

$p$ は連続で全射、しかも閉写像です。だから商写像になります^[1]。

開写像ではありません。 $[0, 1]$ は $X$ の開集合ですが、像の $[0, 1]$ は $Y$ で開集合ではない^[1]。

理由は飽和していないからです。 $p^{- 1} (p ([0, 1])) = [0, 1] \cup {2}$ となり、 $2$ が余分に戻ってきます^[1]。

飽和した開集合に限れば、像はきちんと開になります。商写像の条件はそこまでしか要求しません。

例：3 点しかない商空間

$A = {a, b, c}$ とし、 $R$ から次のように送ります^[1]。

$p (x) = ⎩ ⎨ ⎧ a b c (x > 0) (x < 0) (x = 0)$

$p^{- 1} (a) = (0, \infty)$ と $p^{- 1} (b) = (- \infty, 0)$ は開集合なので、 ${a}$ と ${b}$ が商位相の開集合になります。

${a, b}$ も開。いっぽう $p^{- 1} ({a, c}) = [0, \infty)$ は開でないので、 ${a, c}$ は開集合ではありません^[1]。

$A$ の部分集合	$R$ での逆像	開集合か
${a}$	$(0, \infty)$	はい
${b}$	$(- \infty, 0)$	はい
${a, b}$	$R ∖ {0}$	はい
${a, c}$	$[0, \infty)$	いいえ

できあがるのは、 $c$ だけが閉じている 3 点空間です。 $T_{0}$ ですが $T_{1}$ ではありません。

開写像になる場合

射影 $π : R^{2} \to R$ は連続な全射で、開写像です^[1]。だから商写像になります。

ただし閉写像ではありません。開いてはいるが閉じていない、という組み合わせです^[1]。

制限すると両方が壊れます。 $A = {(x, y) : x \geq 0 or y = 0}$ に $π$ を制限したものは、商写像でありながら開でも閉でもない^[1]。

開写像や閉写像

すべての開集合や閉集合の像を見る。強い条件

商写像

飽和したものだけを見る。弱いが商位相の定義そのもの

群が連続に作用するとき、軌道空間への射影は開写像になります。作用が同相写像で与えられるので、開集合の像がまた開集合の和になるためです。

ハウスドルフ性は落ちる

もとの空間がハウスドルフでも、商空間はそうとは限りません^[3]。点を潰す操作が分離を壊します。

同値関係のグラフ ${(x, y) : x \sim y}$ が $X \times X$ で閉集合であることが必要条件になります。十分条件ではありません。

$q$ が開写像なら、このグラフの条件が十分条件にもなります。開写像かどうかが、ここでも効いてきます。

いっぽうコンパクト空間からハウスドルフ空間への連続な全射は、いつでも閉写像なので商写像です^[3]。

商位相は、 $q$ を連続にする位相の中でいちばん細かいものです。

粗い側には ${\emptyset, Y}$ がいつでもあるので、下限をとる意味はない。

終位相としての見方

商位相は、写像 $X \to Y$ が誘導する終位相です^[3]。始域の側から位相を押し出す構成にあたります。

対になるのが始位相で、部分空間の位相や積位相がこちらに入ります。逆像で位相を引き戻す構成です。

押し出しと引き戻しの 2 つで、位相を作る操作のほとんどが説明できる。商と積が対になって現れるのはこのためです。

$X = [0, 1] \cup [2, 3]$ から $Y = [0, 2]$ への写像 $p$ が開写像でないのはなぜですか。

$p$ が連続でないから
$[0, 1]$ が $p$ について飽和していないから
$Y$ がコンパクトだから

__RESULT__

$[0, 1]$ は $X$ の開集合ですが、 $p^{- 1} (p ([0, 1])) = [0, 1] \cup {2}$ となって $[0, 1]$ に戻りません。飽和していない開集合なので、像が開になることは保証されない。実際 $p ([0, 1]) = [0, 1]$ は $Y$ で開集合ではありません。 $p$ 自身は連続で、閉写像なので商写像ではあります。

貼り合わせをどう書くかではなく、貼り合わせた先の位相をどう決めるか。逆像だけで定義しておくと、そこから先の議論が全部もとの空間の上で済みます。

参考文献

Daniel Plaumann. *Topologie*. Skript zur Vorlesung, Universität Konstanz, Wintersemester 2014/15, §3.2.

Marc Culler. *Quotient spaces*. MATH 446, University of Illinois at Chicago, 2011.

Quotient topology. nLab.

行き先に位相を先に置かず、逆像が開かどうかだけで決めます。$q$ を連続にする位相のうち、いちばん細かいもの。この定義から、商空間の上の写像がもとの空間の上の写像に読みかえられる普遍性が出ます。商写像は開写像とも閉写像とも限りません。要求するのは飽和した開集合の像だけだからです。$[0,1]$ と $[2,3]$ を貼って $[0,2]$ を作る写像は閉だが開ではなく、$[0,1]$ が飽和していないところに理由がある。$\mathbb{R}$ を 3 点に潰した空間、ハウスドルフ性が落ちる事情、終位相としての位置づけまで。