商空間は、空間の点を同一視して新しい空間を作る操作です。トーラスやメビウスの帯など、多くの重要な空間が商空間として構成されます。
商位相の定義
位相空間 と全射 が与えられたとき、 上の商位相（quotient topology）を次で定義します。
が開集合 が で開集合
これは を連続にする最も細かい位相です。この位相を持つ を商空間といいます。
同値関係による商空間
上の同値関係 に対して、商集合 に商位相を入れたものが典型的な商空間です。同値類への射影 が商写像となります。
商空間の点は同値類であり、元の空間の点を「貼り合わせた」ものと解釈できます。
商空間の例
円周 は区間 の両端点 と を同一視した商空間です。
トーラス は正方形 の対辺を同一視して得られます。上辺と下辺、左辺と右辺をそれぞれ貼り合わせます。
実射影空間 は球面 の対蹠点を同一視した商空間 です。
商写像の性質
商写像 は連続かつ全射ですが、一般に開写像でも閉写像でもありません。
が開写像ならば商空間の扱いは容易になります。群の連続作用による商空間では、作用が適切な条件を満たせば商写像が開写像となります。
商空間の普遍性
商写像 は次の普遍性を持ちます。
写像 が を満たすとき、 となる写像 が一意に存在する。さらに、 が連続であることと が連続であることは同値である。
この性質により、商空間からの写像は元の空間からの写像に帰着できます。
商空間とハウスドルフ性
商空間がハウスドルフとなるとは限りません。元の空間がハウスドルフでも、同値関係によっては商空間が非ハウスドルフになります。
同値関係 のグラフ が で閉集合であることが、商空間がハウスドルフとなるための必要条件（十分条件ではない）です。
