距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。
一様連続の復習
距離空間 から への写像 が一様連続（uniformly continuous）であるとは、任意の に対して が存在し、 ならば が成り立つことをいいます。
連続性との違いは、 が点 に依存せず一様に取れることです。
一様空間の定義
集合 上の一様構造（uniform structure）は、対角集合 を含む の部分集合族 （近縁系）で、次の条件を満たすものです。
, ならば
ならば
ならば
ならば となる が存在する
の元を近縁（entourage）といいます。
距離空間から一様空間へ
距離空間 は自然に一様空間となります。近縁系を
で定めます。 は基本近縁と呼ばれます。
一様空間から位相空間へ
一様空間には自然に位相が定まります。 を の -近傍とし、これらを近傍基として位相を定義します。
この位相は一様構造から誘導された位相と呼ばれます。距離空間の場合、通常の距離位相と一致します。
一様連続写像
一様空間 から への写像 が一様連続であるとは、任意の に対して となることをいいます。
一様連続ならば連続ですが、逆は成り立ちません。コンパクト空間から一様空間への連続写像は一様連続となります。
一様空間の完備化
一様空間にも完備性と完備化の概念が定義されます。Cauchy フィルターを用いて定式化され、距離空間の完備化を一般化します。
