一様連続と一様空間

距離空間における一様連続の概念を一般化するのが一様空間です。一様空間では距離なしに「一様な近さ」を定義できます。

一様連続の復習

距離空間 $(X,d_X)$ から $(Y,d_Y)$ への写像 $f$ が一様連続（uniformly continuous）であるとは、任意の $\epsilon >0$ に対して $\delta >0$ が存在し、$d_X(x,y)<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(y))<\epsilon$ が成り立つことをいいます。

連続性との違いは、$\delta$ が点 $x$ に依存せず一様に取れることです。

一様空間の定義

集合 $X$ 上の一様構造（uniform structure）は、対角集合 $\Delta =\{(x,x):x\in X\}$ を含む $X\times X$ の部分集合族 $\mathcal{U}$（近縁系）で、次の条件を満たすものです。

$\mathcal{U}$ の元を近縁（entourage）といいます。

距離空間から一様空間へ

距離空間 $(X,d)$ は自然に一様空間となります。近縁系を

$$\mathcal{U}=\{U\subseteq X\times X:\exists \epsilon >0,\{(x,y):d(x,y)<\epsilon \}\subseteq U\}$$

で定めます。$\{(x,y):d(x,y)<\epsilon \}$ は基本近縁と呼ばれます。

一様空間から位相空間へ

一様空間には自然に位相が定まります。$U[x]=\{y:(x,y)\in U\}$ を $x$ の $U$-近傍とし、これらを近傍基として位相を定義します。

この位相は一様構造から誘導された位相と呼ばれます。距離空間の場合、通常の距離位相と一致します。

一様連続写像

一様空間 $(X,\mathcal{U})$ から $(Y,\mathcal{V})$ への写像 $f$ が一様連続であるとは、任意の $V\in \mathcal{V}$ に対して $(f\times f{)}^{-1}(V)\in \mathcal{U}$ となることをいいます。

一様連続ならば連続ですが、逆は成り立ちません。コンパクト空間から一様空間への連続写像は一様連続となります。

一様空間の完備化

一様空間にも完備性と完備化の概念が定義されます。Cauchy フィルターを用いて定式化され、距離空間の完備化を一般化します。