点列による収束の概念は距離空間や第一可算空間では十分ですが、一般の位相空間では不十分です。フィルターとネットはより一般的な収束の理論を与えます。
点列の限界
距離空間では、閉包や連続性を点列で特徴づけられます。 と「 の点列で に収束するものが存在する」は同値です。
しかし、第一可算でない空間ではこれが成り立ちません。例えば （自然数のStone-Čechコンパクト化）では、点列の極限では到達できない点が存在します。
ネットの定義
ネット（net）は点列の一般化で、有向集合で添字づけられた族です。
有向集合 は、反射律・推移律を満たし、任意の2元 に対して かつ となる が存在する集合です。
位相空間 上のネット が に収束するとは、 の任意の近傍 に対して が存在し、 ならば となることをいいます。
ネットによる特徴づけ
ネットを用いると一般の位相空間で次が成り立ちます。
⟺ のネットで に収束するものが存在する
が で連続 ⟺ ならば
がコンパクト ⟺ 任意のネットが収束する部分ネットを持つ
フィルターの定義
フィルター（filter）は収束を集合族で記述する方法です。集合 上のフィルター は、 の空でない部分集合族で、次を満たすものです。
, ならば
ならば
フィルター が点 に収束するとは、 の近傍系が に含まれることをいいます。
超フィルター
極大なフィルターを超フィルター（ultrafilter）といいます。超フィルターは任意の集合 に対して または を満たします。
コンパクト性は「任意の超フィルターが収束する」と特徴づけられます。この定式化はTychonoffの定理の証明で用いられます。
ネットとフィルターの関係
ネットとフィルターは相互に変換可能で、どちらを用いても同じ収束の理論が展開できます。状況に応じて使いやすい方を選びます。
