フィルターとネットによる収束の一般化

点列による収束の概念は距離空間や第一可算空間では十分ですが、一般の位相空間では不十分です。フィルターとネットはより一般的な収束の理論を与えます。

点列の限界

距離空間では、閉包や連続性を点列で特徴づけられます。$x\in \overline{A}$ と「$A$ の点列で $x$ に収束するものが存在する」は同値です。

しかし、第一可算でない空間ではこれが成り立ちません。例えば $\beta \mathbb{N}$（自然数のStone-Čechコンパクト化）では、点列の極限では到達できない点が存在します。

ネットの定義

ネット（net）は点列の一般化で、有向集合で添字づけられた族です。

有向集合 $(D,\le )$ は、反射律・推移律を満たし、任意の2元 $\alpha ,\beta$ に対して $\alpha \le \gamma$ かつ $\beta \le \gamma$ となる $\gamma$ が存在する集合です。

位相空間 $X$ 上のネット $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in D}$ が $x$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍 $U$ に対して ${\alpha }_0$ が存在し、$\alpha \ge {\alpha }_0$ ならば $x_{\alpha }\in U$ となることをいいます。

ネットによる特徴づけ

ネットを用いると一般の位相空間で次が成り立ちます。

フィルターの定義

フィルター（filter）は収束を集合族で記述する方法です。集合 $X$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ は、$X$ の空でない部分集合族で、次を満たすものです。

フィルター $\mathcal{F}$ が点 $x$ に収束するとは、$x$ の近傍系が $\mathcal{F}$ に含まれることをいいます。

超フィルター

極大なフィルターを超フィルター（ultrafilter）といいます。超フィルターは任意の集合 $A$ に対して $A\in \mathcal{F}$ または $X\setminus A\in \mathcal{F}$ を満たします。

コンパクト性は「任意の超フィルターが収束する」と特徴づけられます。この定式化はTychonoffの定理の証明で用いられます。

ネットとフィルターの関係

ネットとフィルターは相互に変換可能で、どちらを用いても同じ収束の理論が展開できます。状況に応じて使いやすい方を選びます。