断面曲率とGauss曲率

断面曲率は接空間の2次元部分空間に対して定まる曲率であり、Gauss曲率の一般化である。曲率の最も基本的な概念といえる。

断面曲率の定義

$p \in M$ と2次元部分空間 $σ \subset T_{p} M$ を考える。 $σ$ を張る線型独立なベクトル $X, Y$ に対して、断面曲率（sectional curvature）を

$K (σ) = K (X, Y) = \frac{R ( X , Y , Y , X )}{∣ X ∣ ^{2} ∣ Y ∣ ^{2} - ⟨ X , Y ⟩ ^{2}}$

で定義する。 $R (X, Y, Y, X) = g (R (X, Y) Y, X)$ である。

分母 $∣ X ∣^{2} ∣ Y ∣^{2} - ⟨ X, Y ⟩^{2}$ は $X \land Y$ の面積の2乗に比例する。

$σ$ の基底を取り替えても $K (σ)$ の値は変わらない。 $K$ は2次元部分空間の関数として well-defined である。

$M$ が2次元のとき、各点で2次元部分空間は $T_{p} M$ 自身しかない。このとき断面曲率は Gauss 曲率 $K$ と一致する。

断面曲率は Gauss 曲率を高次元に拡張した概念である。

3次元空間内の曲面 $S \subset R^{3}$ の Gauss 曲率は、主曲率 $κ_{1}, κ_{2}$ の積

$K = κ_{1} κ_{2}$

で与えられる。これは内在的な量であり、埋め込みによらない（驚異の定理）。

断面曲率が定数 $K$ である空間を定曲率空間という。

K > 0

（正曲率）

球面 $S^{n}$ およびその商空間。 $S^{n} (r)$ （半径 $r$ ）では $K = 1/ r^{2}$ 。

K = 0

（平坦）

ユークリッド空間 $R^{n}$ およびトーラス。平行移動が経路に依存しない。

K < 0

（負曲率）

双曲空間 $H^{n}$ 。上半空間モデル、Poincaré 円板モデルなどで実現される。

$n \geq 3$ のとき、すべての2次元部分空間での断面曲率がわかれば、リーマン曲率テンソルが完全に決まる。

曲率テンソルの対称性から、 $R (X, Y, Z, W)$ は $K$ の値から代数的に復元できる。

$n \geq 3$ で、断面曲率が各点で（方向によらず）一定ならば、断面曲率は多様体全体で定数である。

2次元ではこれは成り立たない。Gauss 曲率は点によって異なりうる。

断面曲率の符号は大域的な幾何に強く影響する。

K > 0

：コンパクト、有限な基本群（Bonnet-Myers, Synge）

K \leq 0

：普遍被覆は

R^{n}

と微分同相（Cartan-Hadamard）

K < 0

：基本群は双曲的、指数的成長

断面曲率が $0 < δ \leq K \leq 1$ を満たすとき、 $δ$ -ピンチされているという。

$δ > 1/4$ のとき、 $M$ は球面に同相である（球面定理、Brendle-Schoen による微分同相版あり）。

単位ベクトル $v$ に対して、 $v$ を含む2次元部分空間での断面曲率の平均が

$Ric (v, v) = i = 1 \sum n - 1 K (v, e_{i})$

となる（ $e_{1}, \dots, e_{n - 1}, v$ は正規直交基底）。リッチ曲率は断面曲率の「平均」である。