断面曲率は接空間の2次元部分空間に対して定まる曲率であり、Gauss曲率の一般化である。曲率の最も基本的な概念といえる。
断面曲率の定義
と2次元部分空間 を考える。 を張る線型独立なベクトル に対して、断面曲率（sectional curvature）を
で定義する。 である。
基底によらないこと
分母 は の面積の2乗に比例する。
の基底を取り替えても の値は変わらない。 は2次元部分空間の関数として well-defined である。
Gauss曲率との関係
が2次元のとき、各点で2次元部分空間は 自身しかない。このとき断面曲率は Gauss 曲率 と一致する。
断面曲率は Gauss 曲率を高次元に拡張した概念である。
曲面の場合
3次元空間内の曲面 の Gauss 曲率は、主曲率 の積
で与えられる。これは内在的な量であり、埋め込みによらない（驚異の定理）。
定曲率空間
断面曲率が定数 である空間を定曲率空間という。
球面 およびその商空間。（半径 ）では 。
ユークリッド空間 およびトーラス。平行移動が経路に依存しない。
双曲空間 。上半空間モデル、Poincaré 円板モデルなどで実現される。
断面曲率と曲率テンソル
のとき、すべての2次元部分空間での断面曲率がわかれば、リーマン曲率テンソルが完全に決まる。
曲率テンソルの対称性から、 は の値から代数的に復元できる。
Schur の定理
で、断面曲率が各点で（方向によらず）一定ならば、断面曲率は多様体全体で定数である。
2次元ではこれは成り立たない。Gauss 曲率は点によって異なりうる。
曲率の符号と幾何
断面曲率の符号は大域的な幾何に強く影響する。
ピンチング
断面曲率が を満たすとき、-ピンチされているという。
のとき、 は球面に同相である（球面定理、Brendle-Schoen による微分同相版あり）。
リッチ曲率との関係
単位ベクトル に対して、 を含む2次元部分空間での断面曲率の平均が
となる（ は正規直交基底）。リッチ曲率は断面曲率の「平均」である。
