断面曲率とガウス曲率（驚異の定理とガウス・ボネの定理）

曲がり具合を数 1 つで言えるのは 2 次元までです。3 次元以上では、同じ点でもどの向きの面を見るかで値が変わります。

面を 1 枚選ぶと数が 1 つ決まる。その対応が断面曲率で、 $2$ 次元まで落とせばガウス曲率と同じものになります。

まず曲面から

$R^{3}$ の中の曲面で、点 $p$ をとります。 $p$ での法線を含む平面で切ると、切り口は平面曲線になります。

その曲線の曲がり具合が法曲率です。切る向き $v$ を単位ベクトルで指定すると、値は $v$ の 2 次形式で書けます^[1]。

$κ_{v} = A v \cdot v = f_{xx} v_{1}^{2} + 2 f_{x y} v_{1} v_{2} + f_{y y} v_{2}^{2}$

$A$ は対称行列なので、単位円の上で最大値と最小値をとります。この 2 つが主曲率 $κ_{1}, κ_{2}$ で、 $A$ の固有値にあたります^[1]。

ここから 2 つの量が作れます^[1]。

$H = κ_{1} + κ_{2} = tr A, K = κ_{1} κ_{2} = det A$

和が平均曲率、積がガウス曲率です。平均曲率のほうは $\frac{1}{2} (κ_{1} + κ_{2})$ と定義する流儀もあります^[1]。

薄い円が接触円で、切り口の曲線にいちばんよく寄り添う円です。半径が法曲率の逆数になります。

向きによっては上へ反り、別の向きでは下へ反ります。 $κ_{1}$ と $κ_{2}$ の符号が違えば、途中に法曲率 $0$ の向きが現れる。

主方向は直交する

$A$ は対称行列なので、固有ベクトルを直交するように選べます。 $κ_{1}$ と $κ_{2}$ に対応する 2 つの向きを主方向と呼びます。

主方向を座標軸にとると、法曲率の式が簡単になります。オイラーの公式と呼ばれる形です。

$κ (θ) = κ_{1} cos^{2} θ + κ_{2} sin^{2} θ$

$θ$ は第 1 主方向からの角です。最大と最小のあいだを、 $cos^{2}$ と $sin^{2}$ の重みで行き来します。

主曲率の符号が違えば、途中に $κ (θ) = 0$ となる向きが 2 つ現れます。その向きを漸近方向といい、そこでは切り口が直線に近づく。

点を 4 種類に分ける

ガウス曲率の符号で、点を分類できます。

K > 0

の点は楕円的。2 つの主曲率が同符号で、曲面は片側へふくらむ。

K < 0

の点は双曲的。符号が違うので、鞍の形になる。

K = 0

で片方が

0

でない点は放物的。円柱のような形。

K = 0

で両方が

0

の点は平坦。

球面はどこでも楕円的、円柱はどこでも放物的です。トーラスなら外側が楕円的、内側が双曲的、上下の縁が放物的になります。

同じ曲面の中で符号が変わりうる。だから曲率は点ごとの量として扱われます。

全曲率という量

$K$ を曲面全体で積分した値を全曲率と呼びます。この値が $0$ になるのは、曲面が平面の一部であるときに限られます^[1]。

局所的な情報を足し上げると、大域的な性質が出てくる。あとで見るガウス・ボネの定理が、その仕組みを説明します。

驚異の定理

$κ_{1}$ と $κ_{2}$ は、外の空間を使って定義しました。法線がなければ法曲率も定義できません。

ところが積のほうは、曲面の内側だけで決まります。フランスの講義録は、 $R^{3}$ の曲面についてガウス曲率 $K = κ_{1} κ_{2} = det (A_{ν})$ が内在的であることを、ガウスの驚異の定理として述べています^[2]。

内在的というのは、曲面の中で測れる長さだけから決まるということ。曲面を折り曲げても、伸ばさない限り $K$ は変わりません。

紙を丸めて円柱にしても、 $K$ は $0$ のままです。だから平面の地図をそのまま円柱に貼れます。球面はそうはいきません。

内側から測ってみる

内在的であることは、実際に内側から測れば確かめられます。単位球面の上で、測地線に沿って半径 $R$ の円を描きます。

この円を、頂角の半分が $α$ の円錐の上縁だと思うと、 $R^{3}$ で測った半径は $r = sin α$ 、球面上で測った半径は $R = α$ です^[3]。

したがって円周は $2 π sin R$ になります。 $R > 0$ では $R > sin R$ なので、平面の $2 π R$ より短い^[3]。

長さしか測っていないのに、平面との違いが出ました。だから球面のどの部分も平面と等長にはなりません^[3]。

円柱や円錐なら、この差が出ません。局所的に平面と等長なので $K = 0$ です^[3]。

高次元では面を指定する

$3$ 次元以上になると、法線が 1 本に決まりません。かわりに、接空間の中で $2$ 次元の平面を選びます。

一次独立な $u, v$ が張る平面を $σ$ とし、断面曲率を次で定めます^[2]。

$K (u, v) = \frac{⟨ R ( u , v ) v , u ⟩}{∥ u ∥ ^{2} ∥ v ∥ ^{2} - ⟨ u , v ⟩ ^{2}}$

分子は曲率テンソルに $u, v, v, u$ を入れた値。分母は $u$ と $v$ が張る平行四辺形の面積の 2 乗です。

基底の選び方によらない

値が平面だけで決まることを確かめます。 $(u^{'}, v^{'}) = (a u + b v, c u + d v)$ と取り替え、 $a d - b c \neq = 0$ とします^[2]。

曲率テンソルの対称性から、分子は $(a d - b c)^{2}$ 倍になります。分母の平行四辺形の面積の 2 乗も、同じ $(a d - b c)^{2}$ 倍。

割り算すると係数が消えます^[2]。だから $K (σ)$ は、平面 $σ$ だけで決まる量として過不足なく定まります。

分母で割っているのは、この打ち消しを起こすためです。正規化しないと、同じ平面に別の数が対応してしまいます。

情報は減っていない

$4$ 添字のテンソルを、平面 1 枚あたりの数に落としました。情報が減っていそうに見えます。

減っていません。すべての $2$ 平面での $K$ が分かれば、 $R$ は完全に復元されます^[2]。

理由は 2 次形式の性質です。 $(u, v) \mapsto ⟨ R (u, v) v, u ⟩$ は $u$ と $v$ のそれぞれについて 2 次形式なので、 $R$ の対称性と極形式によって成分が取り出せます^[2]。

つまり断面曲率は、曲率テンソルの言い換えにすぎません。読みやすい形に書き直しただけ。

2 次元では両者が一致する

$2$ 次元では、接空間に $2$ 平面が 1 枚しかありません。だから断面曲率は点ごとに 1 つの数になります。

その値がガウス曲率です。成分で書くと、次の関係が成り立ちます^[2]。

$R_{1212} = K (g_{11} g_{22} - g_{12}^{2})$

右辺の括弧は計量の行列式です。曲率テンソルの唯一の独立成分を、面積の 2 乗で割ればガウス曲率が出る。

高次元での断面曲率の定義が、まさにこの割り算をまねています。分母の平行四辺形の面積が、 $g_{11} g_{22} - g_{12}^{2}$ に対応します。

球面と双曲平面で計算する

数を入れて確かめます。単位球面を球面座標でとると $g_{θ θ} = 1$ 、 $g_{φφ} = sin^{2} θ$ です。

成分を計算すると $R_{1212} = sin^{2} θ$ が出ます^[2]。さきほどの関係に入れると次のとおり。

$K = \frac{R _{1212}}{g _{11} g _{22} - g _{12}^{2}} = \frac{sin ^{2} θ}{sin ^{2} θ} = 1$

$θ$ が消えました。球面はどこでも同じだけ曲がっています。

上半平面に $g = y^{- 2} (d x^{2} + d y^{2})$ を入れると、 $R_{1212} = - 1/ y^{4}$ 、 $det g = 1/ y^{4}$ となり $K = - 1$ ^[2]。

こちらも位置によらず一定です。上へ行くほど縮む計量なのに、曲がり具合はどこでも同じ。

ガウスの方程式

曲面が高次元の空間に入っているとき、内側の曲率と外側の曲率は第二基本形式で結ばれます^[2]。

$\overset{g}{ˉ} (\overset{ˉ}{R} (X, Y) Z, W) = g (R (X, Y) Z, W) + g (II (X, Z), II (Y, W)) - g (II (Y, Z), II (X, W))$

$\overset{ˉ}{R}$ が外側の曲率、 $R$ が内側の曲率です。ガウスの方程式と呼ばれます。

外側が $R^{3}$ なら $\overset{ˉ}{R} = 0$ なので、左辺が消えます。残った式を整理すると、内側の曲率が第二基本形式だけで書ける。

$2$ 次元の場合に書き下すと $K = κ_{1} κ_{2}$ に帰着します^[2]。驚異の定理が、この方程式の系として出てくる形です。

定曲率空間

どの点のどの平面でも $K (σ) = κ$ が成り立つとき、曲率テンソルは計量だけで書けます^[2]。

$R_{ij k l} = κ (g_{ik} g_{j l} - g_{i l} g_{j k})$

自由度が数 1 つに縮みます。完備で単連結なら、球面とユークリッド空間と双曲空間の 3 つしかありません^[2]。

$κ$ の符号だけで世界の形が決まる。断面曲率という 1 つの関数が、幾何をどれだけ強く縛るかが分かります。

三角形が語ること

内在的な曲率は、三角形の内角の和にも出ます。滑らかな境界をもつ領域について、ガウス・ボネの定理が次を言います^[3]。

$\int_{\partial V} κ_{g} d s + \int_{V} K d vol + i \sum θ_{i} = 2 π$

$κ_{g}$ は境界の測地的曲率、 $θ_{i}$ は角における外角です。境界が測地線でできた三角形なら、第 1 項が消えます。

外角を内角に直すと、内角の和が $π$ に曲率の積分を足したものになります。平面なら $K = 0$ なのでちょうど $π$ 。

球面では $K > 0$ なので、内角の和が $π$ を超えます。超えた量が、囲んだ面積に対応する。

大域版もあります。コンパクトな領域を多角形に分割し、面の数を $f$ 、辺を $k$ 、頂点を $e$ とすると、右辺が $2 π (f - k + e)$ になります^[3]。

右辺はオイラー標数です。左辺は曲率の積分。局所的に測った曲がりの総量が、位相だけで決まってしまいます。

球面なら $f - k + e = 2$ なので、曲率の積分は $4 π$ 。どう変形しても、この値は動きません。

参考文献

Forstnerič F. *Minimal surfaces for undergraduates*. arXiv:2101.01375, 2021.

Gaba Y U. *Géométrie Riemannienne, Notes de Cours Master M1*. 2025–2026.

Grieser D. *Differentialgeometrie*. Skript zur Vorlesung, Universität Oldenburg, 2008/2009.

曲がり具合を数ひとつで言えるのは 2 次元までです。3 次元以上では接空間の中の平面を選び、その平面ごとに値が決まります。曲面の主曲率とガウス曲率から始めて、驚異の定理、球面の測地円が短くなる話、断面曲率の定義と基底によらない理由、ガウスの方程式、定曲率空間、そして三角形の内角の和とガウス・ボネの定理までをつなぎます。