測地線の変分とJacobi場

Jacobi場は測地線の変分によって生じるベクトル場であり、測地線の安定性や共役点を調べる道具である。比較定理の基礎となる。

測地線の変分

$γ : [0, L] \to M$ を測地線とする。 $γ$ の変分とは、滑らかな写像 $Γ : (- ϵ, ϵ) \times [0, L] \to M$ で $Γ (0, t) = γ (t)$ を満たすものである。

各 $s$ に対して $γ_{s} (t) = Γ (s, t)$ は曲線であり、 $γ_{0} = γ$ である。

変分 $Γ$ に対して

$J (t) = \frac{\partial Γ}{\partial s} (0, t) \in T_{γ (t)} M$

を変分ベクトル場という。 $J$ は $γ$ に沿ったベクトル場であり、変分の「方向」を表す。

$γ_{s}$ がすべて測地線となる変分を測地変分という。測地変分の変分ベクトル場 $J$ は Jacobi 方程式

$\frac{D ^{2} J}{d t ^{2}} + R (\overset{γ}{˙}, J) \overset{γ}{˙} = 0$

を満たす。ここで $D / d t$ は $γ$ に沿った共変微分である。

Jacobi 方程式を満たすベクトル場を Jacobi 場という。これは2階線型常微分方程式なので、解空間は $2 n$ 次元である。

初期条件 $J (0), (D J / d t) (0)$ を与えれば Jacobi 場は一意に定まる。

$R^{n}$ では $R = 0$ なので、Jacobi 方程式は $\ddot{J} = 0$ となる。

解は $J (t) = A + tB$ （ $A, B$ は定ベクトル）である。Jacobi 場は線型に増大する。

$S^{n}$ （曲率 $K = 1$ ）上の測地線 $γ$ （大円）を考える。 $\overset{γ}{˙}$ に垂直な Jacobi 場は

$J (t) = sin (t) E (t)$

の形になる（ $E$ は平行ベクトル場）。 $t = π$ で $J = 0$ となる。

$γ (0)$ に対して $γ (t_{0})$ が共役点（conjugate point）であるとは、 $J (0) = 0$ , $J (t_{0}) = 0$ となる非自明な Jacobi 場が存在することをいう。

共役点は「測地線が最短でなくなり始める」点に関係する。

$γ$ が $γ (0)$ から $γ (t_{0})$ まで最短曲線であり、かつ $γ (t_{0})$ が共役点でないならば、 $γ$ を少し延長しても最短性を保つ。

$γ (t_{0})$ が $γ (0)$ の共役点ならば、 $γ$ は $t > t_{0}$ で最短ではなくなる。

共役点の重複度（multiplicity）は、 $J (0) = J (t_{0}) = 0$ を満たす Jacobi 場の空間の次元である。最大で $n - 1$ となる。

球面では、対蹠点は重複度 $n - 1$ の共役点である。

$exp_{p} : T_{p} M \to M$ の微分と Jacobi 場は関係する。 $v \in T_{p} M$ と $w \in T_{v} (T_{p} M) ≅ T_{p} M$ に対して

$d (exp_{p})_{v} (w)$

は、 $γ (t) = exp_{p} (t v)$ に沿った Jacobi 場 $J (t)$ で $J (0) = 0$ , $(D J / d t) (0) = w$ を満たすものの $t = 1$ での値である。

$γ (t_{0})$ が $γ (0)$ の共役点であることと、 $d (exp_{p})_{t_{0} \overset{γ}{˙} (0)}$ が退化する（特異点を持つ）ことは同値である。

共役点は指数写像のランク落ちとして特徴づけられる。

測地線のエネルギー汎関数の Hessian（第二変分）の負固有値の個数（Morse 指数）は、端点を除く共役点の重複度の総和に等しい。