ホップ・リノーの定理｜リーマン幾何学の完備性

完備という 1 語が、まったく違って見える 3 つのことを同時に言っています。距離空間として穴がないこと、測地線がどこまでも延びること、有界閉集合がコンパクトなこと。

これらが同値だと述べる定理が、ホップ・リノーの定理です。さらに、どの 2 点も最短測地線で結べるという結論まで付いてきます。

距離としての完備

リーマン多様体には距離が入ります。2 点を結ぶ曲線の長さの下限をとったものが $d(p,q)$ です。

この $d$ について $(M,d)$ が完備な距離空間であるとき、$(M,g)$ は完備だといいます^[2]。コーシー列が必ず収束する、という条件です。

素朴に言えば、空間に穴が空いていないということ。近づいていく点列があるのに、行き着く先が空間の中にない、という事態が起きません。

測地線としての完備

まったく別の言い方もあります。どの測地線も、すべての $t\in \mathbb{R}$ まで延長できるとき、測地的に完備といいます^[2]。

こちらは走り続けられるかどうかの条件です。まっすぐ進んでいって、有限時間で世界の端に達してしまわない。

端がある例を見ます。原点を抜いた平面 ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ で、原点へ向かう直線を走ります。

原点は空間から取り除いてあるので、そこへ到達できません。到達する寸前で測地線が定義できなくなる。

距離のほうでも同じ破綻が起きています。原点へ近づく点列はコーシー列ですが、極限は空間の外。2 つの完備性が、同じ穴を別の言葉で言い当てています。

指数写像を思い出す

条件の 3 番目と 4 番目に出てくる ${\exp }_p$ を確認しておきます。

点 $p$ と接ベクトル $v\in T_{p}M$ を与えると、$p$ を出て初速 $v$ で進む測地線がただ 1 本決まります。測地線の方程式が 2 階の常微分方程式なので、初期条件から解が一意に定まるためです。

その解を ${\gamma }_v(t)$ と書き、${\exp }_p(v)={\gamma }_v(1)$ と定めます。速度 $v$ で 1 単位時間だけまっすぐ進んだ行き先、という意味。

常微分方程式の一般論が保証するのは、$t$ が小さい範囲での存在だけです。$t=1$ まで解が延びる保証はありません。

だから ${\exp }_p$ は、$T_{p}M$ の原点の近くでしか定義できないことがあります。$T_{p}M$ 全体で定義できるかどうかが、まさに測地的完備性の条件です。

2 つの完備性がつながる理由

距離の完備性と測地線の完備性が結びつく事情を、直観の水準で書いておきます。

測地線が有限の時刻 $t_0$ で延長できなくなったとします。$t\to t_0$ としたときの点の列を考えると、これはコーシー列です。弧長で径数づけていれば、距離の増え方が時間の増え方で押さえられるためです。

このコーシー列が収束するなら、その極限点のまわりでまた測地線を少し延ばせます。延ばせないという仮定に反するので、極限は存在しないことになる。

つまり測地線が切れる場所には、距離空間としての穴があります。逆に穴があれば、そこへ向かう測地線が切れる。2 つの完備性は、同じ穴を別の側から見ています。

最短でも一意とは限らない

定理が保証するのは最短測地線の存在だけです。1 本しかないとは言っていません。

球面の対蹠点が分かりやすい例です。北極と南極を結ぶ大円は無数にあり、どれも長さが等しく、どれも最短。

一意になるのは十分近い 2 点だけです。離れると、最短経路が複数現れたり、途中から最短をやめたりします。

最短でいられる限界の点を切断点と呼び、その集まりを切断跡といいます。切断跡の形は多様体ごとに違い、位相の情報を含みます。

円柱で確かめる

具体例を見ておきます。円柱 $S^1\times \mathbb{R}$ に積の計量を入れると、測地線は螺旋になります^[2]。

円周方向にまわりながら、まっすぐな軸方向へ一定の割合で進む。円だけをまわる場合と、まっすぐ上るだけの場合が、その両端にあたります。

どの螺旋も無限に延ばせるので、円柱は完備です。有界閉集合がコンパクトになることも、そのまま確かめられます。

一方、円柱から 1 本の母線を抜くと完備でなくなります。抜いた線に達する測地線が、そこで止まってしまうためです。

定理の主張

連結なリーマン多様体について、次の 4 つは同値です^[2]。

そして、どれか 1 つが成り立てば、$M$ のどの 2 点も最短測地線で結ばれます^[2]。

英語の事典も同じ 3 条件を挙げ、結論として長さが $d(p,q)$ ちょうどの測地線が存在すると述べています^[1]。

2 番目はハイネ・ボレルの性質です。ユークリッド空間では当たり前に思える性質が、一般の多様体では完備性と同じ強さを持ちます。

ハイネ・ボレルという条件

2 番目の条件にも触れておきます。有界な閉集合がコンパクトになる、という性質です。

${\mathbb{R}}^n$ では当たり前に感じます。ハイネ・ボレルの定理として習う内容で、有界かつ閉ならコンパクト。

一般の距離空間では成り立ちません。開円板がその例で、円板全体は自分自身の中で閉かつ有界なのに、コンパクトではない。

無限次元の空間でも崩れます。単位球は有界閉集合ですが、コンパクトになりません。

リーマン多様体ではこの性質が完備性と同値になります。それが定理の一部です。有限次元であることと、距離が長さから決まっていることが効いています。

この条件は使いやすい形をしています。何かが有界だと示せば、そこからコンパクト性が言える。大域幾何の議論が、しばしばこの経路を通ります。

1 点で足りる

3 番目の条件が意外なところです。${\exp }_p$ が全体で定義される点が 1 つでもあれば、すべての点で同じことが成り立ちます。

言い換えると、ある 1 点から見てどの方向へもまっすぐ無限に進めるなら、どの点から出発しても無限に進める。局所的な条件が大域へ広がる典型です。

$p$ から出た測地線が延び続けるので、${\exp }_p$ の像が広がっていきます。完備なら、いずれ多様体全体を覆います。

証明の筋

いちばん面白いのは、${\exp }_p$ が定義されることから最短測地線の存在を出す部分です。素朴な発想でうまくいきます。

$d(p,q)=r$ とし、$p$ のまわりに小さな正規球 $B_{\delta }(p)$ をとります。その境界 $K$ の上で、関数 $x\mapsto d(x,q)$ が最小になる点を $x_0$ とする^[3]。

$K$ はコンパクトなので最小値が存在します。$x_0={\exp }_p(\delta v)$ と書き、$\gamma (s)={\exp }_p(sv)$ という測地線を走らせます。

主張は $\gamma (r)=q$ です。これを示すために、次の集合を考えます^[3]。

$$A=\{s\in [0,r]\mid d(\gamma (s),q)=r-s\}$$

$s$ まで進んだぶんだけ、$q$ までの距離がきっちり減っている、という条件です。$s=0$ では成り立つので $A$ は空ではありません。

$A$ が閉じていることは、距離の連続性から出ます。残るのは、$s_0\in A$ かつ $s_0<r$ なら少し先の $s_0+{\delta }^{\prime }$ も $A$ に入る、という主張^[3]。

これが言えれば $\sup A=r$ となり、$A$ が閉なので $r\in A$。つまり $d(\gamma (r),q)=0$ で、$\gamma (r)=q$ です^[3]。

延長の一歩は、また小さな正規球でやります。$\gamma (s_0)$ のまわりの球面上で $d(x,q)$ を最小にする点を選ぶと、それが $\gamma (s_0+{\delta }^{\prime })$ に一致する^[3]。

一致しなければ、つないだ曲線に折れ目ができます。折れ目のある曲線は最短になれないので、矛盾。折れないという一言が、証明の要になっています。

穴あき平面をもう一度

反例に戻ります。${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$ で、原点をはさんで反対側にある 2 点 $p$ と $q$ をとります。

平面での最短経路は原点を通る線分ですが、原点がありません。少しよけて通るしかなく、どの経路も線分より長い。

下限は線分の長さに等しいのに、それを達成する経路が存在しません。最短測地線が存在しない例になっています。

ホップ・リノーの結論の対偶です。最短測地線がないのだから、この空間は完備ではありません。

開円板の場合

もう 1 つの反例が開円板です。境界を含まない円板に、平面から誘導した計量を入れます。

境界へ向かう点列はコーシー列ですが、極限は円板の外にあります。距離空間として完備ではない。

有界閉集合がコンパクトにならない例にもなっています。円板全体は自分自身の中で閉集合であり有界ですが、コンパクトではありません。

破線の縁は空間の外です。点どうしはいくらでも近づくのに、行き着く先が中にありません。

完備とコンパクトは別物

完備だからといってコンパクトとは限りません。${\mathbb{R}}^n$ も双曲空間 $H^n$ も完備ですが、コンパクトではない^[2]。

逆向きは成り立ちます。コンパクトなリーマン多様体は必ず完備です^[2]。ドイツの発表資料も、コンパクトな曲面が完備であることを系として挙げています^[3]。

理由は 2 番目の条件から見えます。全体がコンパクトなら、その中の閉集合もコンパクト。有界という条件は何も足しません。

1931 年の論文

この定理はハインツ・ホップとヴィリー・リノーによるものです。$1931$ 年の論文で確立されました^[1]。

題は「完備な微分幾何学的曲面の概念について」。曲面論の言葉で書かれ、のちに一般の次元へ広がりました^[1]。

完備という言葉に、どの定義を採るべきかという問いがありました。その問いに、どれを採っても同じだ、と答えた。それがこの定理でした。

どこで効いてくるか

大域的な定理の多くが、この結果を土台にしています。

たとえば、リッチ曲率に正の下限があるとき多様体がコンパクトになる、という主張。直径が有限だと示したあと、有界閉集合はコンパクトだという条件を使って結論します^[2]。

最短測地線の存在も、あちこちで使われます。2 点を結ぶ最短経路をとって、その上で変分を考える、という論法が可能になるためです。

完備性は仮定として軽く見えます。実際には、大域幾何のほとんどの議論が、この 1 語に支えられています。

参考文献