ラウフとトポノゴフの比較定理はなにを比べるのか？

曲率に上限か下限があるだけで、その空間の形はかなり縛られます。

考え方は単純です。曲率が一定の空間を模型として用意し、そこでの答えと比べる。局所的な仮定から大域的な結論を引き出す、その道具立てが比較定理です。

模型となる 3 つの空間

比較の相手は、断面曲率が定数 $\kappa$ の空間です。$\kappa$ の符号で 3 種類あります。

正なら球面、$0$ ならユークリッド空間、負なら双曲空間。これらを $M_{\kappa }$ と書きます。

比較のときに繰り返し出てくる関数を先に決めておきます。$f^{\prime \prime }+\kappa f=0$ を $f(0)=0$、$f^{\prime }(0)=1$ で解いたものです^[1]。

$${\mathrm{sn}}_{\kappa }(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{\kappa }}\sin (\sqrt{\kappa }t)& (\kappa >0)\\ t& (\kappa =0)\\ \frac{1}{\sqrt{-\kappa }}\sinh (\sqrt{-\kappa }t)& (\kappa <0)\end{array}$$

$\kappa$ を連続に動かすと、$\sin$ から直線を経て $\sinh$ へなめらかに移ります。振動するか、まっすぐ伸びるか、指数的に開くか。

この関数が比較の物差しになります。実際の空間で測った量を、同じ半径での ${\mathrm{sn}}_{\kappa }$ の値と突き合わせる。

比較の舞台はヤコビ方程式

なぜ $f^{\prime \prime }+\kappa f=0$ が出てくるのか。測地線に直交するヤコビ場が、この形の方程式に従うためです^[1]。

$$J^{\prime \prime }+K(t)J=0$$

$K(t)$ は速度ベクトルと $J$ が張る平面の断面曲率です。曲率が場所ごとに変わるので、係数が定数でない微分方程式になります。

$K(t)$ を定数 $\kappa$ で上か下から押さえれば、解も押さえられるはず。この見当を定理にしたものが比較定理です。

スツルムの比較補題

まず 1 次元の話として片づきます。2 つの方程式を、同じ初期条件で解きます^[1]。

$$f^{\prime \prime }+K_1(t)f=0,g^{\prime \prime }+K_2(t)g=0$$

$f(0)=g(0)=0$、$f^{\prime }(0)=g^{\prime }(0)=1$ とし、$K_1(t)\ge K_2(t)$ を仮定します。このとき $f$ の最初の零点までの区間で $f(t)\le g(t)$ が成り立ちます^[1]。

証明が短くて気持ちいい。$h=f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$ と置くと $h(0)=0$ で、微分すると次のようになります^[1]。

$$h^{\prime }=f^{\prime \prime }g-f{g}^{\prime \prime }=(K_2-K_1)fg\le 0$$

だから $h\le 0$、つまり $f^{\prime }/f\le g^{\prime }/g$ です。積分すると $\ln f-\ln g$ が減少関数になり、$t\to 0$ での比が $1$ なので $f\le g$ が出ます^[1]。

曲率が大きいほど解が早くしぼむ。1 行の不等式が、そのまま幾何の主張に化けます。

ラウフの比較定理

これを多様体の言葉に持ち上げたものが、ラウフの定理です^[1]。

$(M,g)$ と $(\bar{M},\bar{g})$ に、共役点を持たない測地線 $\gamma$、$\bar{\gamma }$ をとります。断面曲率について $K_M\le K_{\bar{M}}$ を仮定する。

$J$ と $\bar{J}$ を直交するヤコビ場とし、$J(0)=\bar{J}(0)=0$、$\Vert J^{\prime }(0)\Vert =\Vert {\bar{J}}^{\prime }(0)\Vert$ とすれば、次が成り立ちます^[1]。

$$\Vert J(t)\Vert \ge \Vert \bar{J}(t)\Vert$$

曲率が小さいほうで、測地線がより速く離れる。素朴な直観が、そのまま不等式になっています。

証明の鍵は $\Vert J\Vert$ の対数微分を評価する部分です。ヤコビ方程式とコーシー・シュワルツの不等式から、次の形が出ます^[1]。

$$\frac{d}{dt}\frac{\Vert J{\Vert }^{\prime }}{\Vert J\Vert }\le -K(t)$$

あとはスツルムの比較にかけるだけ。ドイツの講義録は、これをリッカチ方程式の比較として整理しています^[3]。

模型と比べる形

いちばん使いやすいのは、片方を模型空間にした系です^[1]。

曲率に上限があれば測地線は模型より速く開き、下限があれば模型より遅く開く。上下がきれいに裏返ります。

指数写像の微分がヤコビ場で書けるので、この評価はそのまま距離の評価に変わります。近くの点がどれだけ離れるかを、曲率だけで押さえられる。

上限と下限は役割が違う

比較定理を使うとき、曲率の上限と下限のどちらを仮定するかで結論の向きが変わります。

上限を課すと、測地線が模型より速く開きます。開くということは、離れた点どうしが混み合わないということ。共役点が現れにくく、指数写像が単射でいられる範囲が広がります。

下限を課すと逆で、測地線が模型より早く寄せられます。空間が閉じる方向へ働き、直径や体積に上からの評価が付きます。

同じ道具から、正反対の性質が出る。どちらを仮定するかは、証明したい結論から決まります。

共役点までの距離

上限の使い道を 1 つ見ておきます。$K_M\le \kappa$ なら $\Vert J(t)\Vert \ge {\mathrm{sn}}_{\kappa }(t)\Vert J^{\prime }(0)\Vert$ でした。

$\kappa \le 0$ なら ${\mathrm{sn}}_{\kappa }(t)$ は $t>0$ で $0$ になりません。したがって $\Vert J(t)\Vert$ も $0$ になれず、共役点が存在しない。

$\kappa >0$ でも情報は出ます。${\mathrm{sn}}_{\kappa }$ の最初の零点が $\pi /\sqrt{\kappa }$ なので、共役点が現れるとしてもそれ以降。

共役点までの距離が押さえられると、指数写像がどこまで局所微分同相かが分かります。単射半径の評価が、この経路で得られます^[1]。

どの曲率で足りるか

3 つの定理は、必要とする仮定の強さが違います。

ラウフとトポノゴフは断面曲率の評価を要求します。個々の 2 平面での曲がり方を押さえないと、ヤコビ場や三角形の議論が回らないためです。

ビショップ・グロモフはリッチ曲率で足ります^[2]。体積は各方向の伸び方を掛け合わせた量なので、方向について平均した情報があれば押さえられる。

リッチ曲率は断面曲率より弱い条件でした。だから体積の比較は、より広い状況で使えます。仮定が弱いぶん、定理としては強い。

トポノゴフの定理

ヤコビ場を三角形に置き換えたものが、トポノゴフの定理です。完備で $K\ge \kappa$ をみたす $M$ を考えます^[1]。

$M$ の中に測地三角形 $△(p,q,r)$ をとり、$M_{\kappa }$ の中に辺の長さが同じ比較三角形 $\overline{△}$ を用意します。すると 2 つの主張が出ます^[1]。

曲率が下から押さえられている空間では、三角形が模型より「太る」。角が広がり、中線が短くなります^[1]。

灰色が平面での三角形、青が曲率を入れた三角形です。3 辺の長さは動かしていません。

使うための条件

トポノゴフの定理には、外せない条件が 4 つあります^[1]。

最後の条件は模型が球面になる場合に効きます。球面では長すぎる三角形が作れないので、比較する相手が存在しなくなる。

比較三角形そのものの存在も、証明が要る主張です。ドイツの講義録は、辺の長さの三角不等式と周長の条件があれば $M_{\kappa }$ の中に比較三角形が作れることを補題として示しています^[3]。

作り方は初等的です。1 辺を先に引き、両端を中心にして残りの辺の長さを半径とする測地円を描き、交点をとる^[3]。

蝶番という形

三角形のかわりに、蝶番で述べる流儀もあります^[3]。

同じ点から出る 2 本の単位速度測地線と、その間の角。この 3 つ組を蝶番と呼び、終点どうしを結ぶ最短測地線を閉じ辺といいます^[3]。

角と 2 辺の長さを模型空間で同じにとると、閉じ辺の長さが比較できます。三角形版と蝶番版は、同じ内容を別の形で述べたものです。

体積の比較

ヤコビ場と三角形のほかに、体積を比べる定理もあります。ビショップ・グロモフの定理です^[1]。

$\mathrm{Ric}\ge (n-1)\kappa$ のとき、実際の球の体積を模型空間の球の体積で割った比が、半径について減少します^[1][2]。

$$r\mapsto \frac{\mathrm{Vol}(B(p,r))}{V_{\kappa }(r)}\text{は減少}$$

$r\to 0$ で比が $1$ に近づくので、どの半径でも比は $1$ 以下です。正の曲率の空間では、球が模型より小さくなります。

灰色が平面の円、青が単位球面の測地円を同じ面積の円として描いたものです。半径が伸びるほど比が下がります。

証明の筋は測地極座標です。${\exp }_p$ のヤコビアン $A(t,v)$ を模型のヤコビアン $A_{\kappa }(t)={\mathrm{sn}}_{\kappa }(t{)}^{n-1}$ で割った比が、$t$ について減少することを示します^[1]。

ここでも中身はヤコビ方程式です。比較の 3 定理は、どれも同じ微分方程式から出ています。

何を比べているのか

3 つの定理を並べると、比べている対象が違うだけだと分かります^[1]。

ビショップ・グロモフは体積を比べます。どれも、曲率という局所的な仮定から大域的な結論を取り出す点で共通しています^[1]。

誰が作ったか

ハリー・ラウフが $1951$ 年にプリンストンで比較定理を発表しました^[1]。球面では 2 本の測地線が近づき、平面では平行のままで、鞍では離れる。この古い直観に、初めて技術的な形を与えた仕事です。

数年後、トポノゴフが $1959$ 年に、チェンが $1975$ 年に、三角形の比較定理をラウフの上に築きました^[1]。

この流れはベルジェ、クリンゲンベルク、チーガー、グロモルらに引き継がれ、大域幾何の中心的な成果を生みました^[1]。曲率が制御の道具になる、という考え方そのものが、ここで確立されています。

参考文献