Cartan-Hadamardの定理は断面曲率が非正の完備多様体の大域構造を決定する。普遍被覆がユークリッド空間と微分同相になるという強い結論を与える。
定理の主張
を完備連結リーマン多様体とする。断面曲率が
を満たすならば、任意の点 で指数写像 は被覆写像である。
特に、普遍被覆 は と微分同相である。
共役点がないこと
のとき、Jacobi 場 で を満たすものは で となる。
Jacobi 方程式 において、 は が凸関数（下に凸）となることを意味する。, ならば は増加し続ける。
指数写像の局所微分同相
共役点がないことは が のすべての点で正則であることと同値である。
したがって は局所微分同相となる。
被覆写像であること
が完備なので は 全体で定義される。局所微分同相性と完備性を組み合わせると、 が被覆写像であることが示される。
普遍被覆
が被覆写像なので、 は の被覆空間である。
は単連結なので、これは普遍被覆となる。
単連結な場合
が単連結ならば、 は微分同相となる。すなわち は と微分同相である。
かつ単連結な完備多様体を Cartan-Hadamard 多様体という。
基本群
の基本群 は被覆変換群として に自由かつ固有不連続に作用する。
と表される。
例：双曲空間
双曲空間 は であり、単連結完備なので Cartan-Hadamard 多様体である。
は上半空間モデルや Poincaré 円板モデルで実現される。
例：平坦トーラス
平坦トーラス は であり、普遍被覆は である。
基本群 が格子として作用する。
例：双曲曲面
の種数を持つ閉曲面 は の双曲計量を持つ。
であり、 は Fuchsia 群である。
位相的結論
の完備多様体では、
Hadamard 多様体の性質
単連結で の完備多様体（Hadamard 多様体）では、任意の2点を結ぶ測地線が一意に存在する。
また、測地凸集合の理論が展開でき、最適化や不動点定理に応用される。
Preissman の定理
コンパクトで （真に負）ならば、 のすべての可換部分群は巡回群である。
負曲率多様体の基本群は「双曲的」な性質を持つ。
