カルタン・アダマールの定理 - 非正曲率が位相を決める

断面曲率がどこでも $0$ 以下で、完備かつ単連結。この 3 つがそろうと、多様体は ${\mathbb{R}}^n$ と微分同相になります。

どれだけ複雑に見えても、位相としては平坦な空間 1 つに落ちる。負の曲率が形をほどいてしまいます。

定理の主張

もとの形はこうです。$M$ が完備で断面曲率が非正なら、どの点 $p$ でも指数写像 ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ が被覆写像になります^[1]。

被覆写像だと分かれば、$M$ の普遍被覆が同じ次元のユークリッド空間と微分同相になります^[1]。

単連結という条件を足せば、被覆は同相そのもの。${\exp }_p$ が微分同相になり、$M\cong {\mathbb{R}}^n$ が出ます^[2]。

出発点は共役点がないこと

証明はヤコビ場から始まります。ドイツの講義録は、非正曲率では測地線が互いに離れていくという直観を、共役点が存在しないという形に翻訳しています^[3]。

弧長で径数づけた測地線 $c$ に沿って、$J(0)=0$ をみたす自明でない直交ヤコビ場 $J$ をとります。次の関数を考えます^[3]。

$$f(t)=\frac{1}{2}|J(t){|}^2$$

微分すると $\dot{f}=⟨\dot{J},J⟩$ です。もう 1 回微分するとヤコビ方程式が効いてきます^[3]。

$$\ddot{f}=|\dot{J}{|}^2+⟨\ddot{J},J⟩=|\dot{J}{|}^2-⟨R(J,\dot{c})\dot{c},J⟩\ge |\dot{J}{|}^2$$

第 2 項は断面曲率と $|J{|}^2$ の積なので、$K\le 0$ なら $0$ 以下。引くと足し算になり、$\ddot{f}$ が正のままになります^[3]。

$f$ が凸で、しかも $\dot{J}(0)\ne 0$ です。積分すると $\dot{f}(t)>0$、もう一度積分して $f(t)>0$ が出ます^[3]。

つまり $J$ は二度と $0$ になりません。共役点が存在しない、ということです。

橙の直線が接線です。凸な関数なので、接線がつねに曲線の下を通ります。

いったん正になった値が、二度と $0$ に戻らない。この一言が定理の土台です。

指数写像に臨界点がない

共役点は、指数写像の微分が退化する点と対応しています。共役点がなければ ${\exp }_p$ の微分はどこでも同型で、臨界点を持ちません^[3]。

したがって ${\exp }_p$ は局所微分同相です。定義域のどの点のまわりでも、局所的には逆写像が作れます^[3]。

ただし、局所微分同相であることと全体で 1 対 1 であることは違います。ここに一段の飛躍が要ります。

局所と大域の隔たり

局所微分同相が被覆写像とは限りません。ドイツの講義録が挙げる反例が分かりやすい^[3]。

区間 $(0,2)$ から円周への写像 $F(\theta )=e^{2\pi i\theta }$ を考えます。どの点のまわりでも局所微分同相ですが、被覆にはなりません。

区間が円周を 2 周ぶん覆います。ところが $\theta =1$ に対応する点だけは原像が 1 個で、まわりの点は 2 個。均一に覆えていません。

原因は定義域が完備でないことです。区間の端が抜けているせいで、覆い方に穴があきます。

完備なら被覆になる

この隔たりを埋める道具が、次の補題です。連結なリーマン多様体の間の局所等長写像 $F:N\to M$ について、$N$ が完備なら $M$ も完備で、$F$ は被覆写像になります^[3]。

証明の要は測地線の持ち上げです。$F$ は局所等長なので測地線を測地線へ写し、測地線は初速で一意に決まる。だから $M$ の測地線を $N$ へ一意に持ち上げられます^[3]。

持ち上げが同じ長さだけ延びることも、$F$ が局所微分同相であることから出ます^[3]。

$M$ の完備性も、この持ち上げから従います。${\exp }_p=F\circ {\exp }_x\circ (D_{x}F{)}^{-1}$ と書けるので、${\exp }_x$ が全体で定義されるなら ${\exp }_p$ も全体で定義される^[3]。

平面がほどけて出てくる

材料がそろいました。$T_{p}M$ に ${\exp }_p$ で引き戻した計量を入れると、${\exp }_p$ が局所等長になります。

$T_{p}M$ はベクトル空間なので、この計量について完備です。したがって ${\exp }_p$ は被覆写像^[1]。

$M$ が単連結なら、連結な被覆は同相しかありません。よって ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ は微分同相で、$T_{p}M\cong {\mathbb{R}}^n$ から結論が出ます^[1]。

双曲平面で見る

いちばん見やすい例が双曲平面です。ポアンカレ円板で、中心から出る測地線を並べます。

中心を通る測地線は直径なので、見た目には放射状の直線です。ただし双曲距離で測ると、外側ほど目盛りが詰まる。

隣り合う測地線の隔たりは、距離 $d$ に対して $\sinh d$ で伸びます。指数的に開いていくので、二度と交わりません。

青い輪が、中心から等距離の点の集合です。ユークリッドの見た目では縁へ近づくだけですが、双曲距離では無限に遠ざかっています。

隔たりの数値が指数的に増えていきます。この開き方が、共役点を作らせない仕組み。

2 点を結ぶ測地線は 1 本

微分同相だという結論から、いくつもの性質が転がり出ます。

${\exp }_p$ が全単射なので、どの点 $q$ にも ${\exp }_p(v)=q$ をみたす $v$ がただ 1 つあります。したがって $p$ と $q$ を結ぶ測地線は 1 本しかありません。

球面では事情が違いました。対蹠点を結ぶ大円は無数にあり、最短測地線が一意になりません。負に曲がった空間では、そういうことが起きない。

単射半径も無限大になります。切断跡が空なので、どこまで進んでも測地線が最短のままです。

微分同相であって等長ではない

${\mathbb{R}}^n$ と微分同相だと聞くと、平面と同じだと思いたくなります。そこは慎重に読む必要があります。

一致するのは滑らかな構造までで、距離は一致しません。双曲平面は ${\mathbb{R}}^2$ と微分同相ですが、等長ではない。

違いは体積の伸び方に出ます。半径 $r$ の円の周長が、平面では $2\pi r$ なのに対し、単位曲率の双曲平面では $2\pi \sinh r$ です。指数的に増えます。

面積も同じで、$2\pi (\cosh r-1)$ になります。$r$ が大きいところでは、平面よりはるかに多くの場所があることになる。

だから位相は自明でも、幾何は自明とはほど遠い。定理が主張しているのは、あくまで形の側だけです。

位相がすべて決まる

結論の効き方を見ておきます。${\mathbb{R}}^n$ と微分同相なので、$M$ は可縮です。

すべてのホモトピー群が消え、ホモロジーも自明。穴も取っ手も一切ありません。

したがって、単連結で完備な多様体のうち、少しでも位相的な特徴を持つものは $K\le 0$ をみたせません。球面がその例で、$S^n$ は可縮でないので非正曲率の計量を持てない。

単連結でない場合も情報は出ます。完備で $K\le 0$ なら、普遍被覆が ${\mathbb{R}}^n$ と微分同相です^[1]。

平坦なトーラスがその例です。トーラス自体は ${\mathbb{R}}^n$ と似ても似つかないのに、普遍被覆は ${\mathbb{R}}^n$ そのもの。負に曲がった空間は、いつも平面を折り畳んで作られています。

ボネ・マイヤースとの対比

符号を変えると、正反対の結論が出ます。フランスの講義録は、$K\le 0$ なら普遍被覆が ${\mathbb{R}}^n$、正のリッチ曲率に下限があればコンパクト、と対にして整理しています^[2]。

同じヤコビ方程式から、符号ひとつで逆の結論が出る。曲率の符号が幾何を分ける、といういちばん鮮明な例です。

誰が示したか

この一般性で定理が現れたのは、エリー・カルタンの講義です^[1]。

それ以前に、ユークリッド空間の中の曲面について、ハンス・フォン・マンゴルトが証明していました。その数年後にジャック・アダマールが独立に示しています^[1]。

3 人の名前が並ぶ経緯がここにあります。曲面での発見が、多様体全体へ広がった形です。

距離空間へ広がる

さらに一般化も進みました。距離空間の言葉での定式化を、ブーゼマン、リノー、グロモフが与えています^[1]。

現在の形では、曲率の非正性を CAT 条件で置き換えます。完備で単連結、かつ局所的に CAT($\kappa$) である長さ空間は、$\kappa \le 0$ なら全体で CAT($\kappa$) になる^[1]。

微分も接空間も要りません。三角形の細さという条件だけで、同じ結論が出ます。

バルマン、アレクサンダーとビショップ、クライナー、ブリッドソンとヘフリガーの仕事が、この形を整えました^[1]。曲率の符号という発想が、滑らかさを離れても生き残ったことになります。

参考文献