Cartan-Hadamardの定理

Cartan-Hadamardの定理は断面曲率が非正の完備多様体の大域構造を決定する。普遍被覆がユークリッド空間と微分同相になるという強い結論を与える。

定理の主張

$M$ を完備連結リーマン多様体とする。断面曲率が

$$K\le 0$$

を満たすならば、任意の点 $p\in M$ で指数写像 ${\exp }_p:T_{p}M\to M$ は被覆写像である。

特に、普遍被覆 $\tilde{M}$ は ${\mathbb{R}}^n$ と微分同相である。

共役点がないこと

$K\le 0$ のとき、Jacobi 場 $J$ で $J(0)=0$ を満たすものは $t>0$ で $J(t)\ne 0$ となる。

Jacobi 方程式 $J^{\prime \prime }+R(\dot{\gamma },J)\dot{\gamma }=0$ において、$K\le 0$ は $|J|$ が凸関数（下に凸）となることを意味する。$J(0)=0$, $J^{\prime }(0)\ne 0$ ならば $|J|$ は増加し続ける。

指数写像の局所微分同相

共役点がないことは $d({\exp }_p{)}_v$ が $T_{p}M$ のすべての点で正則であることと同値である。

したがって ${\exp }_p$ は局所微分同相となる。

被覆写像であること

$M$ が完備なので ${\exp }_p$ は $T_{p}M$ 全体で定義される。局所微分同相性と完備性を組み合わせると、${\exp }_p$ が被覆写像であることが示される。

普遍被覆

${\exp }_p:T_{p}M\to M$ が被覆写像なので、$T_{p}M\cong {\mathbb{R}}^n$ は $M$ の被覆空間である。

${\mathbb{R}}^n$ は単連結なので、これは普遍被覆となる。

単連結な場合

$M$ が単連結ならば、${\exp }_p$ は微分同相となる。すなわち $M$ は ${\mathbb{R}}^n$ と微分同相である。

$K\le 0$ かつ単連結な完備多様体を Cartan-Hadamard 多様体という。

基本群

$M$ の基本群 ${\pi }_1(M)$ は被覆変換群として ${\mathbb{R}}^n$ に自由かつ固有不連続に作用する。

$M\cong {\mathbb{R}}^n/{\pi }_1(M)$ と表される。

例：双曲空間

双曲空間 ${\mathbb{H}}^n$ は $K=-1$ であり、単連結完備なので Cartan-Hadamard 多様体である。

${\mathbb{H}}^n$ は上半空間モデルや Poincaré 円板モデルで実現される。

例：平坦トーラス

平坦トーラス $T^n={\mathbb{R}}^n/{\mathbb{Z}}^n$ は $K=0$ であり、普遍被覆は ${\mathbb{R}}^n$ である。

基本群 ${\pi }_1(T^n)={\mathbb{Z}}^n$ が格子として作用する。

例：双曲曲面

$g\ge 2$ の種数を持つ閉曲面 ${\Sigma }_g$ は $K=-1$ の双曲計量を持つ。

${\Sigma }_g\cong {\mathbb{H}}^2/\Gamma$ であり、$\Gamma$ は Fuchsia 群である。

位相的結論

$K\le 0$ の完備多様体では、

Hadamard 多様体の性質

単連結で $K\le 0$ の完備多様体（Hadamard 多様体）では、任意の2点を結ぶ測地線が一意に存在する。

また、測地凸集合の理論が展開でき、最適化や不動点定理に応用される。

Preissman の定理

コンパクトで $K<0$（真に負）ならば、${\pi }_1(M)$ のすべての可換部分群は巡回群である。

負曲率多様体の基本群は「双曲的」な性質を持つ。