第一基本形式と第二基本形式

第一基本形式と第二基本形式は曲面の幾何学を記述する基本的な道具である。第一基本形式は内在的な計量を、第二基本形式は外在的な曲がり具合を表す。

曲面のパラメータ表示

$R^{3}$ 内の曲面 $S$ を、パラメータ $(u, v)$ を用いて

$r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))$

と表す。 $r_{u} = \partial r / \partial u$ , $r_{v} = \partial r / \partial v$ が接ベクトルである。

$r_{u} \times r_{v} \neq = 0$ を仮定する。これは $(u, v)$ が正則なパラメータであることを意味する。

第一基本形式の定義

第一基本形式（first fundamental form）は曲面上の計量を与える。接ベクトル $d r = r_{u} d u + r_{v} d v$ の長さの2乗として

$I = d s^{2} = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2}$

で定義される。係数は

$E = r_{u} \cdot r_{u}, F = r_{u} \cdot r_{v}, G = r_{v} \cdot r_{v}$

である。

第一基本形式の意味

第一基本形式は曲面上の長さ、角度、面積を計算するために用いる。

曲線 $r (u (t), v (t))$ の長さは

$L = \int E \overset{u}{˙}^{2} + 2 F \overset{u}{˙} \overset{v}{˙} + G \overset{v}{˙}^{2} d t$

で与えられる。面積要素は $d A = EG - F^{2} d u d v$ である。

内在的な量

第一基本形式から計算できる量は内在的（intrinsic）である。曲面上の住人が曲面内の測定だけで知ることができる。

長さ、角度、面積、そして Gauss 曲率が内在的な量である。

単位法ベクトル

曲面の単位法ベクトルを

$n = \frac{r _{u} \times r _{v}}{∣ r _{u} \times r _{v} ∣}$

で定義する。 $n$ は各点で曲面に垂直な単位ベクトルである。

第二基本形式の定義

第二基本形式（second fundamental form）は曲面の曲がり具合を表す。

$II = L d u^{2} + 2 M d u d v + N d v^{2}$

係数は

$L = r_{uu} \cdot n, M = r_{uv} \cdot n, N = r_{vv} \cdot n$

である。 $r_{uu}, r_{uv}, r_{vv}$ は2階偏導関数である。

第二基本形式の意味

第二基本形式は、曲面が法線方向にどれだけ曲がっているかを測る。

接ベクトル $v = r_{u} d u + r_{v} d v$ の方向での法曲率は

$κ_{n} = \frac{II ( v , v )}{I ( v , v )} = \frac{L d u ^{2} + 2 M d u d v + N d v ^{2}}{E d u ^{2} + 2 F d u d v + G d v ^{2}}$

で与えられる。

外在的な量

第二基本形式は埋め込みに依存する外在的（extrinsic）な量である。

同じ内在的計量を持つ曲面でも、第二基本形式は異なりうる。平面と円柱側面は同じ第一基本形式を持つが、第二基本形式は異なる。

形状作用素

形状作用素（shape operator）または Weingarten 写像 $S : T_{p} S \to T_{p} S$ を

$S (v) = - d n (v)$

で定義する。 $d n$ は法ベクトル場 $n$ の微分である。

第二基本形式と形状作用素は $II (v, w) = I (S (v), w)$ で関係する。

例：球面

半径 $a$ の球面を $r (θ, ϕ) = (a sin θ cos ϕ, a sin θ sin ϕ, a cos θ)$ とパラメータ付けすると、

$E = a^{2}, F = 0, G = a^{2} sin^{2} θ$

$L = a, M = 0, N = a sin^{2} θ$

となる。

例：平面

$z = 0$ 平面は $r (u, v) = (u, v, 0)$ で、 $E = G = 1$ , $F = 0$ , $L = M = N = 0$ である。

第二基本形式がゼロなので、平面は曲がっていない。