第一基本形式と第二基本形式が分ける「中の幾何」と「外の形」

曲面には 2 通りの見方があります。面の上に住む人が測れる量と、外から眺めて分かる量。

前者を書き留めるのが第一基本形式、後者を書き留めるのが第二基本形式です^[1,2]。名前は似ていますが、担当している範囲が違います。

以下では 2 つを定義から書き下し、長さと面積が第一基本形式だけで決まること、曲がり方は第二基本形式が持つことを確かめ、両者を結ぶガウスの方程式まで進みます。

曲面をパラメータで書く

曲面を $\mathbf{r}(u,v)$ と表します。$u$ と $v$ を動かすと ${\mathbb{R}}^3$ の中に面が描かれる。

接平面は ${\mathbf{r}}_u$ と ${\mathbf{r}}_v$ が張ります。この 2 本が一次独立であることを、正則なパラメータ表示の条件として課す。

以下では ${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v\ne 0$ を仮定します。潰れた点は扱いません。

第一基本形式

接ベクトルどうしの内積を、パラメータの言葉で書きます。

$$E={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_u,F={\mathbf{r}}_u\cdot {\mathbf{r}}_v,G={\mathbf{r}}_v\cdot {\mathbf{r}}_v$$

とおくと、線素は $d{s}^2=Ed{u}^2+2Fdudv+Gd{v}^2$ になります^[1,3]。

これが第一基本形式です。${\mathbb{R}}^3$ の内積を接平面に制限したもの。

長さを測る

曲面上の曲線 $(u(t),v(t))$ の長さは

$$L={\int }_a^b\sqrt{E{\dot{u}}^2+2F\dot{u}\dot{v}+G{\dot{v}}^2}dt$$

です^[5]。$E$、$F$、$G$ だけで書けている。

曲面がどう置かれているかは要りません。面の中の情報だけで長さが決まる。

角度と面積も決まる

2 本の接ベクトルのなす角は、内積を長さで割れば出ます。第一基本形式があれば計算できる。

面積要素は

$$dA=\sqrt{EG-F^2}dudv$$

です^[1,3]。${\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v$ の長さを、ラグランジュの恒等式で書き直した形。

$EG-F^2>0$ は、2 本の接ベクトルが平行でないことと同値です。

内在的とは何か

面の上に住む人が測れる量を内在的といいます。長さ、角度、面積、測地線。

第一基本形式はこの全部を決めます。したがって内在的な幾何は、$E$、$F$、$G$ にすべて入っている^[1]。

外から見た形は入りません。同じ第一基本形式を持つ 2 つの曲面が、空間の中では違う形をしていることがある。

例：平面と円柱

平面を $(u,v,0)$ と書けば $E=G=1$、$F=0$ です。

円柱を $(\cos u,\sin u,v)$ と書いても $E=G=1$、$F=0$。同じ第一基本形式になります^[1]。

紙を丸めても、紙の上に描いた図形の長さと角度は変わりません。局所的に等長。

例：球面

半径 $r$ の球面を $(r\sin u\cos v,r\sin u\sin v,r\cos u)$ と書きます。

$E=r^2$、$F=0$、$G=r^2{\sin }^{2}u$ です^[3]。面積要素は $r^2\sin ududv$。

積分すれば $4\pi r^2$ になります。第一基本形式だけから球の表面積が出る。

例：回転面

$xz$ 平面の曲線 $(f(v),0,g(v))$ を $z$ 軸まわりに回します。$\mathbf{r}(u,v)=(f\cos u,f\sin u,g)$。

$E=f^2$、$F=0$、$G=f^{\prime 2}+g^{\prime 2}$ です。母線を弧長でとれば $G=1$。

$F=0$ は、緯線と経線が直交することを意味します。回転面の便利なところ。

単位法ベクトル

外から見る量を書くには、面の向きを決める必要があります。

$$\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v}{|{\mathbf{r}}_u\times {\mathbf{r}}_v|}$$

が単位法ベクトルです^[2]。パラメータの向きを変えると符号が変わる。

$\mathbf{n}$ を選んだ時点で、内在的でない情報が入ります。面の外の方向を指しているため。

第二基本形式

$\mathbf{n}$ と 2 階微分の内積をとります。

$$L={\mathbf{r}}_{uu}\cdot \mathbf{n},M={\mathbf{r}}_{uv}\cdot \mathbf{n},N={\mathbf{r}}_{vv}\cdot \mathbf{n}$$

とおき、$\mathrm{II}=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2$ とする^[2]。これが第二基本形式です。

面が接平面からどれだけ離れていくかを測ります。$2$ 階の項なので、離れ方の主要部。

接平面からのずれを測る

点 $p$ で接平面をとり、そこからの高さを測ります。テイラー展開すると

$$h(u,v)=\frac{1}{2}(L{u}^2+2Muv+N{v}^2)+\cdots$$

の形になります。第二基本形式が高さの $2$ 次の項そのもの。

$\mathrm{II}$ が正定値なら、面は接平面の片側にあります。不定符号なら、両側にまたがる。

2 本の曲線が同じ側へ曲がっていれば、面は接平面の片側にあります。反対側へ割れれば鞍。

この符号の情報が第二基本形式に入っています。第一基本形式には入っていません。

ガウス写像

各点にその点の単位法ベクトルを対応させる写像 $\mathbf{n}:S\to S^2$ をガウス写像といいます^[4]。

面が平らなら $\mathbf{n}$ は動きません。曲がっているほど、$\mathbf{n}$ が球面の上を大きく動く。

曲がり具合を「法線の動き」として測る、という発想です。

ガウス写像の像で曲率を測る

面の上を歩くと、法線が球面の上を動きます。動く速さが曲がり具合。

面が平らな部分では、右の点がほとんど動きません。曲がりの強いところで速く動く。

ガウス曲率は、この写像のヤコビ行列式です^[4]。面の小さな領域が、球面の上でどれだけの面積に化けるか。

形状作用素

ガウス写像の微分を $-d\mathbf{n}$ と書き、形状作用素またはワインガルテン写像といいます。

接平面から接平面への線型写像です。$\mathbf{n}$ が単位ベクトルなので、$d\mathbf{n}$ は接平面に値をとる。

第二基本形式との関係は

$$\mathrm{II}(X,Y)=⟨S(X),Y⟩$$

です^[2]。第二基本形式を、計量で $(1,1)$ 型に直したものが $S$。

法曲率

接方向 $X$ を選び、その方向の法曲率を

$$k_n(X)=\frac{\mathrm{II}(X,X)}{\mathrm{I}(X,X)}$$

で定めます。$X$ と $\mathbf{n}$ が張る平面で切った断面の曲率。

分母で割るのは、$X$ の長さに依らない量にするため。方向だけで決まります。

形状作用素の言葉では $k_n(X)=⟨S(X),X⟩/⟨X,X⟩$ です。レイリー商の形。

例：球面の 2 つの形式

半径 $r$ の球面で $\mathbf{n}$ を内向きにとると、$L=r$、$M=0$、$N=r{\sin }^{2}u$ です。

第一基本形式と見比べると $\mathrm{II}=\frac{1}{r}\mathrm{I}$ になっています。比が定数。

したがって法曲率はどの方向でも $1/r$ です。球面がどの方向にも同じだけ曲がっていること。

例：平面

平面では $\mathbf{n}$ が定ベクトルなので、${\mathbf{r}}_{uu}$ などとの内積が $0$ です。$L=M=N=0$。

第二基本形式が恒等的に $0$ になります。接平面から離れない。

第一基本形式は $0$ ではありません。長さも角度も測れる。2 つの形式が独立であることの分かりやすい例。

例：円柱

$(\cos u,\sin u,v)$ で $\mathbf{n}=(-\cos u,-\sin u,0)$ ととります。

$L=1$、$M=N=0$ です。$u$ 方向には曲がり、$v$ 方向にはまっすぐ。

第一基本形式は平面と同じでした。第二基本形式だけが違う。外から見た形が違うのに、中の幾何は同じ。

3 つの形を並べる

第二基本形式の符号で、面の形が 3 通りに分かれます。

左は接平面の片側だけ、右は両側にまたがります。真ん中はその境目。

分類は第二基本形式の固有値の符号で決まります。第一基本形式は関与しません。

例：鞍型曲面

$z=x^2-y^2$ を原点で見ます。$\mathbf{n}=(0,0,1)$ で、$L=2$、$M=0$、$N=-2$。

第二基本形式は $2u^2-2v^2$ で、符号が割れます。双曲点。

$x$ 方向には上へ、$y$ 方向には下へ曲がる。馬の鞍の形。

例：懸垂面

$\mathbf{r}(u,v)=(\cosh v\cos u,\cosh v\sin u,v)$ をとります。石鹸膜が作る形。

計算すると $L=-1$、$M=0$、$N=1$ で、$E=G={\cosh }^{2}v$、$F=0$。

第二基本形式の対角成分が符号違いで同じ大きさです。曲がり方が 2 方向で釣り合っている。

コダッチの方程式

ガウスの方程式のほかに、もう 1 本の関係式があります。第二基本形式の微分についての条件。

$$({\nabla }_X\mathrm{II})(Y,Z)=({\nabla }_Y\mathrm{II})(X,Z)$$

がコダッチの方程式です。${\mathbb{R}}^3$ の中の曲面では、この形になります。

2 本の形式を勝手に置いてよいわけではありません。この 2 本の方程式が両立の条件。

高次元への一般化

${\mathbb{R}}^3$ の曲面に限らず、リーマン多様体の部分多様体でも同じ枠組みが使えます。

第二基本形式は、法束に値をとる対称な $(0,2)$ 型テンソルになります。法方向が $1$ 次元でないので、値がベクトルになる。

余次元 $1$ なら法方向が 1 本なので、スカラー値に戻ります。曲面の話が特別に簡単なのはこのため。

ガウスの方程式

2 つの形式は独立ではありません。曲面のリーマン曲率テンソルが

$$⟨R(X,Y)Z,W⟩=\mathrm{II}(X,W)\mathrm{II}(Y,Z)-\mathrm{II}(X,Z)\mathrm{II}(Y,W)$$

と書けます^[2]。左辺は第一基本形式だけから決まる量、右辺は第二基本形式だけの式。

$2$ 次元ではこの式が $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$ にまとまります。第二基本形式で書いた量が、じつは内在的。

驚異の定理

ガウス曲率が第一基本形式だけで決まる、というのが驚異の定理です^[6]。

定義には $\mathbf{n}$ が要ります。ところが結果は、面の中の測定だけで決まる。

平面と円柱がどちらも $K=0$ なのは、この定理と整合しています。等長な面は同じガウス曲率を持つ。

例：地図が作れない理由

球面は $K=1/r^2>0$、平面は $K=0$ です。等長な写像は存在しません^[6]。

したがって地球の地図には、必ず長さか角度か面積のどれかの歪みが出ます。どの図法も何かを諦めている。

紙を球面に貼ろうとすると皺が寄るのも同じ理由。

例：ピザを折る

ピザの一切れを横に折ると、先が垂れなくなります。

折り目の方向に曲率が入ったので、$K=0$ を保つには直交方向の曲率が $0$ でなければならない。垂れる自由が奪われます。

驚異の定理が台所で効いている例^[6]。

曲面論の基本定理

第一基本形式と第二基本形式が、ガウスの方程式とコダッチの方程式を満たしていれば、その 2 つを持つ曲面が存在します。

しかも ${\mathbb{R}}^3$ の合同変換を除いて一意です。2 つの形式が曲面を決める、という主張。

曲線の曲率と捩率が曲線を決めることの、次元を 1 つ上げた形になります。

よくある誤り

参考文献