主曲率とは〜曲面の曲がり方を 2 つの数で言い表す

曲面の曲がり方は、方向によって違います。円柱なら、輪の向きには曲がっていて、軸の向きにはまっすぐ。

方向ごとの曲がり方を全部並べても扱いにくいので、最大と最小の 2 つだけをとり出します。これが主曲率で、ほかの方向はこの 2 つから決まる^[1]。

以下では法曲率の定義から主曲率をとり出し、オイラーの公式で全方向が復元されることを見て、積と平均が担う役割の違いまで扱います。

法曲率をおさらいする

点 $p$ と接方向 $X$ をとり、 $X$ と法ベクトル $n$ が張る平面で曲面を切ります。切り口は曲線になる。

その曲線の曲率に、 $n$ 側へ曲がるなら正、逆なら負の符号を付けたものが法曲率 $k_{n} (X)$ です。

式では

$k_{n} (X) = \frac{II ( X , X )}{I ( X , X )}$

と書けます。 $X$ の長さに依らず、方向だけで決まる量。

主曲率の定義

$X$ を接平面の単位円上で動かすと、 $k_{n} (X)$ が連続に変わります。円はコンパクトなので、最大と最小が存在する。

この最大値 $k_{1}$ と最小値 $k_{2}$ を主曲率といいます^[1]。

形状作用素 $S$ の言葉では、 $k_{n} (X) = ⟨ S (X), X ⟩$ を単位ベクトルで最大化する問題です。対称作用素の固有値問題そのもの。

主曲率は固有値である

$S$ は第一基本形式について対称なので、実固有値を持ち、固有ベクトルが直交します。

固有値が $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、固有ベクトルの方向が主方向です^[1,4]。

$k_{1} \neq = k_{2}$ なら主方向は直交する 2 本に決まります。オイラーが 1760 年に示した事実。

オイラーの公式

主方向から角 $θ$ だけ回った方向の法曲率は

$k_{n} (θ) = k_{1} cos^{2} θ + k_{2} sin^{2} θ$

です^[4]。2 つの主曲率の重み付き平均。

$θ = 0$ で $k_{1}$ 、 $θ = π /2$ で $k_{2}$ 。あいだは滑らかにつながります。

全方向の情報が 2 つの数に畳まれる、というのがこの公式の中身。

方向を回すと曲がり方が変わる

単位円上で方向を回し、法曲率がどう変わるかを描きます。

方向が回ると、右の切り口が上へ凸から下へ凸まで変わります。途中で直線になる瞬間がある。

その瞬間が漸近方向です。 $k_{n} = 0$ になる向きで、双曲点にだけ現れます。

ガウス曲率

主曲率の積をガウス曲率といいます。

$K = k_{1} k_{2} = \frac{L N - M ^{2}}{E G - F ^{2}}$

形状作用素の行列式です^[3]。

驚異の定理により、 $K$ は第一基本形式だけで決まります。定義には法ベクトルが要るのに、結果は面の中の量。

平均曲率

主曲率の平均を平均曲率といいます。

$H = \frac{k _{1} + k _{2}}{2} = \frac{L G - 2 M F + N E}{2 ( E G - F ^{2} )}$

形状作用素のトレースの半分です^[2,6]。

こちらは内在的ではありません。法ベクトルの向きを裏返すと符号が変わる。

ガウス曲率

K

主曲率の積。内在的で、面の中の測定だけで決まります。向きを裏返しても符号が変わらない。

平均曲率

H

主曲率の平均。外在的で、空間への入り方に依存します。向きを裏返すと符号が変わる。

積と平均で符号の振る舞いが違う

$n$ を $- n$ にとり替えると、 $k_{1}$ と $k_{2}$ の符号が両方とも反転します。

積は符号が 2 回変わって元に戻り、平均は符号が変わる。この違いが内在性の違いに直結しています。

平面と円柱がどちらも $K = 0$ なのに、 $H$ は $0$ と $1/ (2 r)$ で違う。第一基本形式が同じでも $H$ は一致しません。

点の分類

主曲率の符号で、点が 4 通りに分かれます。

楕円点

$K > 0$ 。主曲率が同じ符号で、面は接平面の片側にあります。球面の点が典型。

双曲点

$K < 0$ 。主曲率の符号が割れ、面は接平面の両側にまたがります。鞍点。

放物点

$K = 0$ で、片方の主曲率だけが $0$ 。円柱の点がこれにあたります。

臍点

$k_{1} = k_{2}$ 。すべての方向が主方向になり、主方向が定まりません。

臍点では法曲率がどの方向でも同じです。球面はすべての点が臍点^[1]。

例：球面

半径 $r$ の球面で $n$ を内向きにとると、 $k_{1} = k_{2} = 1/ r$ です。

$K = 1/ r^{2}$ 、 $H = 1/ r$ 。どちらも正で、どの点でも同じ値。

半径が大きいほど平らになります。地球の表面が身近な範囲では平らに見えること。

例：円柱面

半径 $r$ の円柱では $k_{1} = 1/ r$ 、 $k_{2} = 0$ です。

$K = 0$ 、 $H = 1/ (2 r)$ 。ガウス曲率だけが平面と一致します。

紙を丸めても $K$ が変わらないのは驚異の定理どおり。 $H$ は変わるので、外から見た形は違う。

例：鞍型曲面

$z = x^{2} - y^{2}$ の原点では $k_{1} = 2$ 、 $k_{2} = - 2$ です。

$K = - 4 < 0$ で双曲点、 $H = 0$ 。平均曲率が $0$ になる点。

$K$ が負なら、その点で三角形の内角の和は $π$ より小さくなります。曲率が幾何を決める。

例：トーラス

トーラスには 3 種類の点が全部あります。外側は $K > 0$ 、内側は $K < 0$ 、上下の輪の上で $K = 0$ ^[3]。

外側は球面のように膨らみ、内側は鞍のようにくびれています。

全体で積分すると $0$ になります。正の部分と負の部分がちょうど打ち消し合う。

平面と円柱について、一致するのはどれか。

ガウス曲率も平均曲率も一致する
ガウス曲率だけ一致する
平均曲率だけ一致する
どちらも一致しない

__RESULT__

$K$ はどちらも $0$ です。 $H$ は平面が $0$ 、円柱が $1/ (2 r)$ で違います。 $K$ が内在的、 $H$ が外在的であることの現れ。

曲率線

主方向に沿った曲線を曲率線といいます。臍点を除けば、2 つの直交する族ができます^[1]。

回転面では、緯線と経線がそのまま曲率線になります。対称性のおかげ。

臍点のまわりでは曲率線の様子が特異になり、星形やレモン形と呼ばれる配置が現れます。

デュパンの指標曲線

接平面の上で $II (X, X) = \pm 1$ を満たす点を集めた図形を、デュパンの指標曲線といいます。

楕円点では楕円、双曲点では 2 組の双曲線、放物点では 2 本の平行線になります。主軸の向きが主方向。

第二基本形式の符号の様子を、そのまま図形にしたもの。分類の名前もここから来ています。

主軸の向きが主方向で、軸の長さが主曲率の大きさから決まります。図形の種類が点の分類そのもの。

例：回転面の主曲率

母線を弧長 $v$ でとり、 $r (u, v) = (f (v) cos u, f (v) sin u, g (v))$ と書きます。

経線方向の主曲率は母線そのものの曲率、緯線方向は $g^{'} / f$ になります。 $F = M = 0$ なので、緯線と経線がそのまま主方向。

$K = - f^{''} / f$ です。第一基本形式だけで書けていて、驚異の定理と整合しています。

例：楕円面の主曲率

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} + \frac{z ^{2}}{c ^{2}} = 1$ を考えます。 $a > b > c$ なら、主曲率は場所によって変わる。

$z$ 軸との交点では、 $x z$ 断面と $y z$ 断面の曲率が主曲率です。 $a$ と $b$ が違うので、 $k_{1} \neq = k_{2}$ 。

$a = b = c$ の球面に近づけると、すべての点が臍点になります。楕円面には臍点が 4 つだけある。

例：三角形の内角の和

ガウス曲率が正の面では、測地三角形の内角の和が $π$ より大きくなります。負なら小さい。

球面の三角形で、北極と赤道上の 2 点を結ぶものを考える。直角が 3 つで和は $3 π /2$ 。

超過分は囲む面積に曲率を掛けたものです。ガウス・ボネの定理の局所版が言っていること^[3]。

平均曲率と面積の変分

曲面を法方向へ $ε φ n$ だけずらすと、面積の 1 次の変化は

$δ A = - 2 \int_{S} φ H d A$

になります^[2,6]。 $H$ が面積の第 1 変分の係数。

したがって $H = 0$ は、面積が臨界であることと同値です。極小曲面の定義。

$K$ にはこういう変分の意味がありません。役割がはっきり分かれている。

極小曲面

$H = 0$ の曲面を極小曲面といいます^[5]。

$H = 0$ は $k_{1} = - k_{2}$ を意味するので、 $K = - k_{1}^{2} \leq 0$ です。極小曲面はどこでも $K \leq 0$ 。

すべての点が鞍点になります。どちらの方向にも同じだけ、逆向きに曲がっている。

石鹸膜が極小曲面になる理由

石鹸膜は表面張力で面積を最小にしようとします。境界を固定したまま面積が臨界になる形。

したがって $H = 0$ を満たします^[5]。針金の枠に張った膜が数学の対象になる場面。

境界を与えて極小曲面を見つける問題をプラトー問題といいます。

例：懸垂面と常螺旋面

懸垂線を回転させた懸垂面は、回転面のなかで唯一の極小曲面です^[5]。

常螺旋面も極小曲面で、懸垂面と局所的に等長になります。連続的に変形して移り合う族がある。

平面も極小曲面です。 $k_{1} = k_{2} = 0$ なので自明に $H = 0$ 。

懸垂面から常螺旋面へ

この 2 つは連続な族でつながっています。曲げるだけで移り合う。

途中の形もすべて極小曲面です。族のどのメンバーでも $H = 0$ 。

長さを変えずに変形しているので、第一基本形式も変わりません。等長でありながら空間の中での形が違う例^[5]。

石鹸の泡は極小曲面ではない

石鹸膜と石鹸の泡は違います。泡には内側の圧力があり、面積だけを最小にはしません。

ヤング・ラプラスの法則により、圧力差が $2 σ H$ に等しくなります^[2]。 $H$ が定数になる曲面。

球面は $H$ が一定の曲面です。小さい泡ほど $H$ が大きく、内圧が高い。

平均曲率流

曲面を $H$ の向きへ動かす流れを平均曲率流といいます。熱方程式に似た形の発展方程式^[2]。

面積が減る向きへ動くので、しわを均す働きをします。特異点を作って潰れることもある。

$H = 0$ の曲面はこの流れの定常解です。動かない形。

よくある誤り

主曲率を第二基本形式の成分だと思う。第一基本形式で割った固有値です

平均曲率を内在的だと思う。向きを裏返すと符号が変わります

極小曲面が面積最小だと思う。臨界であって、最小とは限りません

H = 0

から

K = 0

を結論する。

K = - k_{1}^{2} \leq 0

になります

石鹸の泡を極小曲面だと思う。

H

が一定の曲面で、

0

ではありません

臍点で主方向が 2 本決まると思う。すべての方向が主方向になります

円柱の

K

が

0

でないと思う。片方の主曲率が

0

なので積も

0

です

参考文献

曲面の曲がり方は方向ごとに違いますが、最大と最小の 2 つを押さえれば全部が決まります。オイラーの公式が、残りの方向を主曲率の重み付き平均として復元する。積がガウス曲率、平均が平均曲率です。法線の向きを裏返すと積は変わらず平均は符号が変わる。この違いが、$K$ だけが内在的である理由になります。$H = 0$ は面積が臨界であることと同じで、石鹸膜が極小曲面になる。泡のほうは $H$ が一定の曲面。