ガウス・ボネの定理 - 曲がり具合を全部足すと穴の数が出てくる

曲面をどう変形しても、ガウス曲率を全体で積分した値が変わりません。膨らませても凹ませても、増えたぶんと減ったぶんが釣り合う。

積分の値を決めているのは形ではなく、穴の数です。曲率という測定の量が、位相という数え上げの量に一致する^[1]。

以下では境界のある領域についての局所版から始め、境界項と角の項の意味を確かめ、大域版とオイラー標数の対応、高次元への一般化まで扱います。

測地曲率

曲面上の曲線がどれだけ曲がっているかは、2 つに分けて測ります。

空間の中での曲率 $k$ を、曲面に接する成分 $k_g$ と法方向の成分 $k_n$ に分解する。

$$k^2=k_g^2+k_n^2$$

の関係があります^[6]。$k_g$ が測地曲率で、面の中で曲がっているぶん。

測地線は $k_g=0$

測地曲率が $0$ の曲線が測地線です。面の中ではまっすぐ進んでいる。

空間の中では曲がって見えます。曲がっているのは面のほうで、曲線ではありません。

球面の大円は $k_g=0$、緯線は $k_g\ne 0$ です。緯線は面の中で曲がっている^[6]。

測地曲率は内在的

$k_g$ は第一基本形式だけで決まります。面の中に住む人が測れる量。

$k_n$ のほうは外在的です。法ベクトルを使うため。

ガウス・ボネの定理に現れるのは $K$ と $k_g$ で、どちらも内在的です。定理の主張が面の中で完結している。

局所版

曲面上の領域 $R$ を、区分的に滑らかな曲線で囲みます。角が $n$ 個あるとする。

$${\int }_{R}KdA+{\int }_{\partial R}{k}_{g}ds+\sum _{i=1}^n{\theta }_i=2\pi$$

が成り立ちます^[1,3]。${\theta }_i$ は角における外角。

右辺が $2\pi$ で固定されているところが要点です。左辺の 3 つが、どう配分されるかだけが変わる。

3 つの項の役割

面の曲がり、境界の曲がり、角の折れ。3 通りの「曲がり」を全部足すと、いつでも $2\pi$。

平面の円板なら $K=0$、$k_g=1/r$、角なし。境界の長さが $2\pi r$ なので、積分がちょうど $2\pi$ になります。

例：平面の多角形

平面の $n$ 角形をとります。$K=0$、辺は直線なので $k_g=0$。

残るのは外角の和だけで、$2\pi$ になります。多角形の外角の和が $360$ 度、という中学校の事実。

内角に直せば $(n-2)\pi$ です。同じことを言い換えただけ。

例：測地三角形の内角の和

3 辺が測地線の三角形をとると、$k_g=0$ です。外角の和は $3\pi$ から内角の和を引いたもの。

$$\sum _i{\alpha }_i=\pi +{\int }_{R}KdA$$

が出ます^[5]。内角の和が $\pi$ からどれだけずれるかが、囲んだ曲率の総量。

平面なら $K=0$ で $\pi$。球面なら正、双曲面なら負にずれます。

曲率が内角の和を動かす

3 つの曲率で、測地三角形の形がどう変わるかを描きます。

辺が外へ膨らむと内角の和が増え、内へ凹むと減ります。ずれた分がちょうど囲んだ曲率。

三角形を小さくすれば、ずれも小さくなります。面積に比例するため。

例：球面の三角形

単位球面で、北極と赤道上の 2 点を結ぶ三角形をとります。赤道上の 2 点を $90$ 度離す。

3 つの角がすべて直角なので、内角の和は $3\pi /2$ です。$\pi$ より $\pi /2$ だけ大きい。

面積は球面の $1/8$ で $\pi /2$、曲率は $1$ なので $\int KdA=\pi /2$。ぴったり合います^[5]。

大域版

境界のない閉曲面では、境界項も角の項も消えます。

$${\int }_{M}KdA=2\pi \chi (M)$$

が成り立ちます^[1]。$\chi (M)$ はオイラー標数。

左辺は計量に依存する量、右辺は位相だけで決まる量です。等式が成り立つこと自体が驚きの部分。

オイラー標数

多面体では $\chi =V-E+F$ です。頂点、辺、面の数から出る^[4]。

閉じた向き付け可能な曲面では、種数 $g$ を使って $\chi =2-2g$ と書けます。$g$ は穴の数。

$\chi$ は位相不変量です。連続に変形しても変わりません^[4]。

例：球面で確かめる

半径 $r$ の球面では $K=1/r^2$、面積は $4\pi r^2$ です。

積分すると $4\pi$ になります。$2\pi \chi =2\pi \cdot 2=4\pi$ で一致する。

半径を変えても値が変わりません。曲率が小さくなるぶん、面積が増えて釣り合う。

例：トーラスで確かめる

トーラスは $\chi =0$ なので、$\int KdA=0$ でなければなりません。

外側は $K>0$、内側は $K<0$ です。両者がちょうど打ち消し合う^[3]。

どんな形のトーラスでも同じです。細くしても太くしても、積分は $0$ のまま。

位相的な帰結

$\chi <0$ の曲面には、$K>0$ の計量が入りません。積分が負でなければならないため。

種数 $2$ 以上の曲面には、至るところ $K<0$ の計量が入ります。双曲幾何が載る。

逆に $\chi >0$ の閉曲面は球面と射影平面だけで、どちらも正曲率の計量を持ちます。曲率の符号と位相の対応。

変形しても総量が変わらない

球面にこぶを作ると、こぶの頂上で $K$ が増え、根元で $K$ が減ります。

積分すれば増減が消えて $4\pi$ のまま^[5]。局所は自由に動かせるが、総量は固定されている。

配分だけが自由で総量が縛られている、という構図。保存則に似た形をしています。

こぶを作っても総量が動かない

球面にこぶを作り、曲率の分布と総量を並べて見ます。

こぶの頂上では曲率が上がり、根元のくびれでは下がります。赤い区間が動いている場所。

積分すると、どの時点でも $4\pi$ です。位相が変わっていないため。

曲率を集中させる

多面体は曲率が頂点に集中した曲面と見なせます。頂点まわりの角の欠損が、そこでの曲率。

立方体なら、各頂点の欠損が $\pi /2$ で頂点が 8 個です。合計 $4\pi$ になり、球面と同じ^[1]。

離散版のガウス・ボネの定理が、この形で成り立ちます。オイラーの多面体定理を曲率の言葉で言い直したもの。

平らに切り開くと、$2\pi$ に足りません。この欠損が、その頂点に集まった曲率。

正多面体でも一般の多面体でも、欠損を全部足せば $4\pi$ になります。球面と同じ位相だから。

例：立方体で数える

立方体の各頂点には正方形が 3 枚集まります。角の和は $3\times \pi /2=3\pi /2$。

$2\pi$ に足りないぶんが $\pi /2$ です。これが頂点の曲率。

8 つ足すと $4\pi$ で、$2\pi \chi$ に一致します。$V-E+F=8-12+6=2$。

高次元への一般化

偶数次元の閉多様体では、曲率形式から作ったオイラー形式の積分が $\chi$ を与えます^[2]。

$$\chi (M)={\int }_{M}e(\Omega ),e(\Omega )=\frac{1}{(2\pi {)}^n}\mathrm{Pf}(\Omega )$$

$\mathrm{Pf}$ はパフィアンです。$2$ 次元では $KdA/2\pi$ に戻ります。

奇数次元では $\chi =0$ なので、対応する定理がありません^[2]。

指数定理との関係

チャーン・ガウス・ボネの定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の特別な場合です^[2]。

楕円型作用素の解析的な指数が、特性類の積分という位相的な量に等しくなる、という枠組み。ガウス・ボネはその最初の例。

局所の計算から大域の不変量が出る、という型の定理の原型になっています。

よくある誤り

参考文献