極小曲面と石鹸膜、平均曲率がゼロになる形

石鹸膜が張る形は、面積を止める形です。膜を少し揺らしても面積が 1 次では変わらない、そういう釣り合いの位置に落ち着きます。

その条件を式にすると、平均曲率が至るところ $0$ という 1 行になります。これをみたす曲面が極小曲面です。

面積を揺らしてみる

曲面を写像 $F$ で表し、境界を止めたまま $F + s h$ と揺らします。面積の $s$ についての 1 階微分は、次の形に書けます^[1]。

$\frac{d}{d s}_{s = 0} Area (F + s h) = - \int_{D} Δ_{g} F \cdot h d A$

$Δ_{g} F$ は誘導計量に関するラプラシアンです。この式は、面積汎関数の勾配が $- Δ_{g} F$ だと言っています^[1]。

そして $Δ_{g} F$ は平均曲率ベクトルに一致します^[1]。どの揺らし方 $h$ に対しても微分が $0$ になる条件は、平均曲率ベクトルが消えること。

$H = 0$

面積が止まる条件と、曲がり方の条件が同じものになりました。変分の言葉と幾何の言葉が、ここで一本につながります。

ラグランジュの方程式

歴史をさかのぼると、最初に立てられたのは偏微分方程式でした。曲面を関数のグラフ $z = f (x, y)$ として表す立場です。

領域 $D$ の上での面積は、次の積分になります^[1]。

$Area (f) = \int_{D} 1 + ∣\nabla f ∣^{2} d x d y$

境界を止めて $f + s h$ と揺らし、 $s$ で微分して $0$ と置く。オイラー・ラグランジュ方程式を整理すると次が出ます^[1]。

$(1 + f_{y}^{2}) f_{xx} - 2 f_{x} f_{y} f_{x y} + (1 + f_{x}^{2}) f_{y y} = 0$

ラグランジュが $1760$ 年に導いた式で、極小曲面方程式と呼ばれます。この式が成り立つことと、平均曲率が $0$ になることは同値です^[1]。

傾きが小さいところでは $f_{x}$ と $f_{y}$ の 2 乗が無視でき、 $f_{xx} + f_{y y} = 0$ に近づきます。ラプラス方程式です。

膜がほとんど平らなら調和関数、大きくたわむと非線形項が効く。この非線形性が、極小曲面論を難しくもし、豊かにもしています。

極小という名前は少し大げさ

$H = 0$ が言っているのは停留であって、最小ではありません。1 階微分が $0$ というだけの条件です。

十分小さい範囲に限れば、実際に面積最小になります^[2]。しかし広い範囲では、面積を減らす揺らし方が見つかることもある。

峠の頂上でも地面は水平です。水平だからといって、そこが谷底とは限りません。

平均曲率が 0 とはどういうことか

点を 1 つとり、法線を含む平面で曲面を切ります。切り口の曲がり具合を法曲率といい、平面の向き $θ$ を変えると値が変わります。

最大と最小の値が主曲率 $κ_{1}, κ_{2}$ です。オイラーの公式によれば、途中の値は次のように書けます。

$k (θ) = κ_{1} cos^{2} θ + κ_{2} sin^{2} θ$

平均曲率の条件 $κ_{1} + κ_{2} = 0$ は、主曲率が符号違いで同じ大きさということ。フランスの事典も、2 つの曲率半径が至るところ逆向きになる条件だと書いています^[3]。

$θ = 45$ 度と $135$ 度では法曲率が $0$ になります。その 2 方向を漸近方向と呼び、曲面はそこでまっすぐ。

一方の向きに山、直角の向きに谷。極小曲面のすべての点が、この鞍の形をしています。平らな点は例外で、平面そのものの場合だけ。

ガウス曲率はいつも負

主曲率の積がガウス曲率でした。 $κ_{2} = - κ_{1}$ なので、次のようになります。

$K = κ_{1} κ_{2} = - κ_{1}^{2} \leq 0$

平面を除けば、極小曲面の点はすべて双曲的です^[3]。球のようにふくらんだ点は 1 つもありません。

この事実から、コンパクトな極小曲面が存在しないことも出ます^[2]。閉じた曲面ならどこかに正の曲率の点が要るのに、それが許されないためです。

石鹸膜がいつも枠を必要とするのは、そのためです。枠のない閉じた膜は、極小曲面になれません。

石鹸膜と石鹸玉は別物

石鹸膜と石鹸玉は、条件が違います。

膜の両側は同じ空気なので、圧力差がありません。圧力差がないとき、膜は面積の停留点に落ち着きます^[3]。

石鹸玉は内側に空気を閉じ込めているので、内外に圧力差があります。このときは体積を固定したうえで面積を最小にするので、平均曲率は $0$ ではなく一定値になる。

球面は $κ_{1} = κ_{2} = 1/ r$ で、平均曲率が正の定数です。極小曲面ではありません。

石鹸膜

両側が同じ圧力。平均曲率が 0 で、鞍の形が並ぶ

石鹸玉

内外に圧力差。平均曲率が 0 でない定数で、球にふくらむ

懸垂面

平面のほかに、いちばん古くから知られている例が懸垂面です。オイラーが $1744$ 年に記述しました^[1]。

作り方は単純で、懸垂線 $z \mapsto (cosh z, 0, z)$ を $z$ 軸のまわりに回すだけ。できあがる曲面は次の式で表されます^[1]。

$x^{2} + y^{2} = cosh^{2} z$

等角な径数づけも書けます^[1]。

$X (u, v) = (cos u cosh v, sin u cosh v, v)$

ボンネが $1860$ 年に、平面を除けば回転面の極小曲面はこれしかないことを示しました^[1]。ドイツの講義録も同じ主張を挙げています^[2]。

円柱と比べると、面積の差がはっきりします。高さ $2$ 、半径 $cosh 1$ の円柱と、同じ 2 つの円を境界にもつ懸垂面を計算した例があります^[2]。

$Area (K) = 2 π (\frac{1}{2} sinh 2 + 1) \approx 2 π \times 2.81$

$Area (Z) = 4 π cosh 1 \approx 2 π \times 3.09$

くびれているぶん、懸垂面のほうが狭くなります。石鹸膜が 2 つの輪の間で内側へへこむのは、この差を稼いでいるためです。

常螺旋面

もう 1 つの古典が常螺旋面です。ムーニエが $1776$ 年に極小曲面だと見抜きました^[2]^[3]。

直線を軸に沿って回しながら平行移動して作る、螺旋階段の形です。平面を除けば、線織面で極小になるのはこれだけ^[3]。

回転面の代表と線織面の代表が、それぞれ 1 つずつに決まる。極小という条件が、いかにきついかを表しています。

2 つは同じ膜を曲げただけ

ここからが面白いところ。懸垂面と常螺旋面は、伸び縮みなしに移り合えます。

複素平面上の正則零曲線 $Z (z) = (cos z, sin z, - i z)$ を用意します^[1]。その実部に位相を掛けると、極小曲面の族ができます。

$X^{t} (z) = ℜ (e^{i t} Z (z))$

成分で書くと次のようになります^[1]。

$X^{t} = cos t (cos x cosh y, sin x cosh y, y) + sin t (sin x sinh y, - cos x sinh y, x)$

$t = 0$ が懸垂面、 $t = \pm π /2$ が常螺旋面です^[1]。途中の $t$ でも、すべて極小曲面のまま。

この族を随伴族と呼びます^[2]。 $t = π /2$ にあたる曲面はもとの曲面の共役極小曲面といいます。

移り合う途中で長さは変わりません。だから懸垂面と常螺旋面は等長で、内在的な幾何としては同じものです。

石鹸膜を切って、伸ばさずにねじるだけで螺旋階段になる。実際に手で試せる変形です。

停留と最小の距離

$H = 0$ は 1 階の条件でした。2 階まで見ると、面積が本当に最小かどうかが分かります。

十分小さい範囲に限れば最小になります。極小曲面の各点には近傍があり、その中でのコンパクトな変形はすべて面積を増やす^[2]。

大域では話が変わります。2 つの輪に張った石鹸膜を思い浮かべると分かりやすい。

輪の間隔を広げていくと、くびれがどんどん細くなります。ある間隔を超えると懸垂面が存在しなくなり、膜は切れて 2 枚の円板に落ちる。

切れる直前にも懸垂面は 2 つ存在していて、細いほうは面積の停留点でありながら最小ではありません。停留と最小の差が、目に見える形で出ます。

膜が縮もうとする理由

物理の側の事情も一言で書けます。液体の膜は、面積に比例した表面エネルギーを持ちます。

エネルギーを下げようとすれば、膜は面積を減らす方向へ動く。動けなくなった位置が、面積の停留点です。

枠に張った膜が動きを止めたとき、そこが極小曲面。石鹸水と針金があれば、偏微分方程式の解が数秒で目の前に現れます。

プラトー問題

物理の側から来た問いもあります。ベルギーのプラトーが $1873$ 年に、針金の枠を石鹸水に浸す実験を重ねました^[1]。

そこから出た予想が、 $R^{3}$ の閉じた単純曲線は必ず極小曲面を張る、というもの。プラトー問題と呼ばれます^[1]。

ラドーが $1930$ 年、ダグラスが $1932$ 年に、それぞれ肯定的に解決しました^[1]^[3]。フランスの事典も同じ年号を挙げています。

実験が先で、証明が半世紀以上あとに来た。極小曲面論が解析と幾何の交点にある理由が、この経緯に出ています。

調和写像として見る

証明の道具になったのは等角径数づけです。等角な写像については、極小であることと調和であることが同値になります^[1]。

調和なら複素解析が使えます。 $X$ を正則零曲線の実部として書ける、という表示がそこから出ます。

$R^{3}$ ではワイエルシュトラス表示という具体的な形になります^[1]。正則関数を 2 つ選ぶと、極小曲面が 1 つできあがる。

シェルクの曲面もこの流儀で作れます。グラフ表示は次のとおり^[2]。

$φ (x, y) = ln (\frac{cos y}{cos x})$

極小曲面を作る問題が、正則関数を選ぶ問題に化けました。幾何の問題が複素解析の問題へ翻訳される、その典型例です。

参考文献

Forstnerič F. *Minimal surfaces for undergraduates*. arXiv:2101.01375, 2021.

Baum H. *Minimalflächen und holomorphe Funktionen*. Sommerkurs, Humboldt-Universität zu Berlin, 2008.

Ferréol R. *Surface minimale*. Encyclopédie des formes mathématiques remarquables.

枠に張った石鹸膜は面積の停留点に落ち着き、その条件が平均曲率ゼロという 1 行になります。主曲率が符号違いで打ち消し合うので、すべての点が鞍の形。ラグランジュが 1760 年に立てた方程式、懸垂面と常螺旋面が伸び縮みなしに移り合う随伴族、プラトーの実験と 1930 年代の解決、そして停留であって最小とは限らない事情までを追います。