等温座標は曲面上の計量を最も単純な形に表す座標系であり、複素解析との深い関係を持つ。曲面論と Riemann 面を結びつける。
等温座標の定義
曲面上の座標 が等温座標（isothermal coordinates）であるとは、第一基本形式が
の形になることをいう。 は共形因子である。
等温座標では , となる。
幾何学的意味
等温座標では、座標曲線（ 一定または 一定）が直交し、かつ 方向と 方向のスケールが等しい。
平面上の直交座標を曲面に「最も自然に」持ち込んだ座標系といえる。
共形座標
等温座標は共形座標（conformal coordinates）ともいう。座標変換の Jacobian が回転と拡大縮小の合成であり、角度を保存する。
等温座標の存在
任意の滑らかな曲面に等温座標が局所的に存在する。これは偏微分方程式
の解の存在に帰着する（Korn-Lichtenstein の定理）。
より一般に、任意の2次元リーマン多様体に等温座標が存在する。
複素座標
等温座標 に対して とおくと、計量は
と書ける。 を複素座標という。
正則関数と等角写像
等温座標間の座標変換 が計量の形を保つ（ の形にとどまる）条件は、 が正則関数または反正則関数であることである。
正則関数による座標変換は角度を保存する等角写像となる。
Riemann面
曲面に等温座標のアトラス（座標変換が正則関数）を入れたものが Riemann 面である。
向き付け可能な曲面は自然に Riemann 面の構造を持つ。
Gauss曲率の公式
等温座標 における Gauss 曲率は
で与えられる。 は に関する Laplacian である。
定曲率曲面
の曲面は を解くことで分類できる。
立体射影
球面 から北極を除いた部分を平面に立体射影すると、等温座標が得られる。
立体射影は等角写像であり、球面上の角度を平面上に正しく映す。
Laplace-Beltrami作用素
等温座標では Laplace-Beltrami 作用素は
となる。調和関数は を満たす関数である。
一様化定理
任意の単連結 Riemann 面は、Riemann 球面、複素平面、上半平面のいずれかに等角同値である。
これを一様化定理という。Poincaré、Klein、Koebe らによって証明された。
