等温座標

等温座標は曲面上の計量を最も単純な形に表す座標系であり、複素解析との深い関係を持つ。曲面論と Riemann 面を結びつける。

等温座標の定義

曲面上の座標 $(u, v)$ が等温座標（isothermal coordinates）であるとは、第一基本形式が

$d s^{2} = λ (u, v) (d u^{2} + d v^{2})$

の形になることをいう。 $λ > 0$ は共形因子である。

等温座標では $E = G = λ$ , $F = 0$ となる。

等温座標では、座標曲線（ $u$ 一定または $v$ 一定）が直交し、かつ $u$ 方向と $v$ 方向のスケールが等しい。

平面上の直交座標を曲面に「最も自然に」持ち込んだ座標系といえる。

等温座標は共形座標（conformal coordinates）ともいう。座標変換の Jacobian が回転と拡大縮小の合成であり、角度を保存する。

任意の滑らかな曲面に等温座標が局所的に存在する。これは偏微分方程式

$Δ u = 0, Δ v = 0$

の解の存在に帰着する（Korn-Lichtenstein の定理）。

より一般に、任意の2次元リーマン多様体に等温座標が存在する。

等温座標 $(u, v)$ に対して $z = u + i v$ とおくと、計量は

$d s^{2} = λ ∣ d z ∣^{2} = λ d z d \overset{z}{ˉ}$

と書ける。 $z$ を複素座標という。

等温座標間の座標変換 $w = f (z)$ が計量の形を保つ（ $d s^{2} = μ ∣ d w ∣^{2}$ の形にとどまる）条件は、 $f$ が正則関数または反正則関数であることである。

正則関数による座標変換は角度を保存する等角写像となる。

曲面に等温座標のアトラス（座標変換が正則関数）を入れたものが Riemann 面である。

向き付け可能な曲面は自然に Riemann 面の構造を持つ。

等温座標 $d s^{2} = λ (d u^{2} + d v^{2})$ における Gauss 曲率は

$K = - \frac{1}{2 λ} Δ lo g λ = - \frac{1}{2 λ} (\frac{\partial ^{2} lo g λ}{\partial u ^{2}} + \frac{\partial ^{2} lo g λ}{\partial v ^{2}})$

で与えられる。 $Δ$ は $(u, v)$ に関する Laplacian である。

$K = const$ の曲面は $Δ lo g λ = - 2 K λ$ を解くことで分類できる。

K = 0

：

λ = const

（平面）

K = 1

：

λ = 4/ (1 + u^{2} + v^{2})^{2}

（球面の立体射影）

K = - 1

：

λ = 4/ (1 - u^{2} - v^{2})^{2}

（Poincaré 円板）

球面 $S^{2}$ から北極を除いた部分を平面に立体射影すると、等温座標が得られる。

立体射影は等角写像であり、球面上の角度を平面上に正しく映す。

等温座標では Laplace-Beltrami 作用素は

$Δ_{g} f = \frac{1}{λ} (\frac{\partial ^{2} f}{\partial u ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial v ^{2}}) = \frac{1}{λ} Δ f$

となる。調和関数は $Δ_{g} f = 0$ を満たす関数である。

任意の単連結 Riemann 面は、Riemann 球面、複素平面、上半平面のいずれかに等角同値である。

これを一様化定理という。Poincaré、Klein、Koebe らによって証明された。