ベクトル束の接続（接続形式・ゲージ変換・ホロノミー）

接続は接束に限った話ではありません。多様体の上に載ったベクトル束なら、どれでも同じ定義が通ります。

接束はその特別な場合です。一般の束で見ると、接束にだけある性質と、どの束でも成り立つ性質が分かれて見えてきます。

束と切断

ベクトル束 $E\to M$ とは、$M$ の各点にベクトル空間を 1 つずつ貼り付け、それらが局所的には積の形になっているものです。

各点に元を 1 つずつ、なめらかに選んだものが切断です。全体を ${\Gamma }^{\infty }(E)$ と書きます。

接束 $TM$ はその例で、切断がベクトル場にあたります。ほかにも余接束、テンソル束、複素直線束など、いくらでも例があります。

切断を微分したいのは自然な要求です。ところが接束のときと同じ問題が起きます。異なる点のファイバーは別々のベクトル空間なので、そのままでは差がとれません。

定義は 2 行

接続とは、ベクトル場と切断を受け取って切断を返す写像です。要求は 2 つ。

接束のときと同じ形です。違いは、微分される対象が接ベクトルでなく束の切断だという点だけ。

局所枠 $\{s_{\alpha }\}$ をとると、成分で書けます。接束の枠 $\{E_i\}$ もとると、次の形になります^[1]。

$$({\nabla }_i\psi {)}^{\alpha }={\partial }_i{\psi }^{\alpha }+{\Gamma }_{i\beta }^{\alpha }{\psi }^{\beta }$$

$\Gamma$ の添字のうち、ローマ字は「どの方向へ微分するか」、ギリシャ文字は「束のどの成分か」を指します^[1]。接束では両者が同じ役割になるので、この区別が見えにくくなります。

縦線がファイバーです。底の点が動くとき、隣のファイバーのどの元へ対応させるか。その規約が接続です。

枠を取り替えると余りが出る

局所枠は 1 通りではありません。行列 $g$ で枠を取り替えると、成分は $U^{\prime }=g^{-1}U$ に変わります^[2]。

接続の係数行列 $\Gamma$ の変わり方は、これと違います^[2]。

$${\Gamma }^{\prime }=g^{-1}dg+g^{-1}\Gamma g$$

第 2 項が素直な共役です。余計なのは第 1 項の $g^{-1}dg$ で、枠の回り方そのものが入り込みます。

だから $\Gamma$ はテンソルではありません。枠を選ばないと書けない量で、選び方によって値が変わります。

この余りがあるおかげで、$d^{\nabla }U=dU+\Gamma U$ という組み合わせがきちんと変換します^[2]。$dU$ 側に出る余りと打ち消し合う、という仕掛け。

底に沿って枠を少しずつ回しています。束も接続もそのままなのに、係数だけが増減します。

物理では、この取り替えをゲージ変換と呼びます。$\Gamma$ にあたる量がゲージ場です。

接続の差はテンソル

同じ束の上に接続は無数にあります。2 つの接続の差をとると、余りの項が打ち消し合います^[2]。

${\nabla }^{\prime }-\nabla$ は $\mathrm{End}(\xi )$ に値をもつ 1 形式になります^[2]。枠によらない量、つまりテンソルです。

したがって接続の全体は、ベクトル空間ではなくアフィン空間の構造を持ちます。基準を 1 つ選べば、あとは差で測れる。

曲率

曲率の定義も接束のときと同じ形です^[1]。

$$R^{\nabla }(X,Y)=[{\nabla }_X,{\nabla }_Y]-{\nabla }_{[X,Y]}$$

これは ${\Lambda }^2{T}^{\ast }M\otimes \mathrm{End}(E)$ の切断になります^[1]。$X$ と $Y$ については反対称な 2 形式、束の側については自己準同型。

外微分の言葉でも書けます。$\nabla$ は束に値をもつ形式の外微分 $d^{\nabla }$ に延びますが、普通の外微分と違って $d^{\nabla }\circ d^{\nabla }$ は $0$ になりません^[2]。

そのずれが曲率です。$0$ 階の作用素になるので、テンソルとして扱えます^[2]。

局所枠で計算すると、短い式が出ます^[2]。

$$R^{\nabla }=d\Gamma +\Gamma \wedge \Gamma$$

導出も 3 行で済みます。$(d+\Gamma )(dS+\Gamma S)$ を展開すると $\Gamma dS$ が打ち消し合い、$(d\Gamma +\Gamma \Gamma )S$ だけが残る^[2]。

曲率はテンソルになる

枠を取り替えたときのふるまいが、$\Gamma$ とは違います^[2]。

$$d{\Gamma }^{\prime }+{\Gamma }^{\prime }{\Gamma }^{\prime }=g^{-1}(d\Gamma +\Gamma \Gamma )g$$

余分な項が出ません。単なる行列の共役なので、曲率は枠によらない量です。

$\Gamma$ が座標系のせいで生じる見かけの量を含むのに対し、$R$ は本物の幾何を測る。この対比が、接束のときとまったく同じ形で現れます。

平坦とはなにか

自明な束 $M\times {\mathbb{R}}^k$ に、成分をそのまま微分する接続を入れると、$\Gamma =0$ なので曲率も $0$ です^[2]。

局所的に自明化できる接続も同じです。局所枠を選んで $\Gamma =0$ にできるなら、曲率は恒等的に $0$ になります^[2]。

逆向きも成り立ちます。曲率が消えれば、各点のまわりで平行な枠が作れる。だから曲率は、局所的に自明化できるかどうかの障害です。

大域では話が変わります。曲率が $0$ でも、輪を一周すると枠が戻らないことがある。

輪を一周して戻ったとき、ファイバーの元は最初と同じにはなりません。生じた変換の全体をホロノミー群と呼びます。

平坦な束でも、底が単連結でなければホロノミーが残ります。局所的な平坦さと、大域的な自明性は別の話です。

平行移動で言いかえる

接続は、曲線に沿った運び方としても読めます。

底空間の曲線 $\gamma$ に沿って、切断 $s$ が ${\nabla }_{\dot{\gamma }}s=0$ をみたすとき、$s$ は平行だといいます。成分で書けば線形の常微分方程式です。

$$\frac{d{\psi }^{\alpha }}{dt}+{\Gamma }_{i\beta }^{\alpha }\frac{d{x}^i}{dt}{\psi }^{\beta }=0$$

初期値を決めれば解が一意に定まります。始点のファイバーから終点のファイバーへの線形同型が、これで手に入る。

接束のときと同じ構図です。違うのはファイバーが接空間でなく、束が与える一般のベクトル空間だという点だけ。

計量的な接続なら、この同型が内積を保ちます。運んでも長さと角度が変わらない、ということ^[1]。

捩れは接束だけの概念

一般の束で定義できない量もあります。捩れがそれです^[1]。

$$T^{\nabla }(X,Y)={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]$$

この式には ${\nabla }_{X}Y$ が出てきます。$Y$ をベクトル場としても切断としても読む必要があるので、$E=TM$ でなければ書けません^[1]。

括弧積 $[X,Y]$ も接束の構造です。だから捩れは、束が接束であることに強く依存した概念になります。

同じ理由で、曲率テンソルの対称性も減ります。一般の束では、最初の 2 つの引数についての反対称性しか成り立ちません^[1]。

計量的な接続を入れると、束の側についての反対称性が足されます。捩れがなければ第一ビアンキ恒等式が加わり、レヴィ・チヴィタ接続ならすべての対称性がそろう^[1]。

対称性の多さは、接束に特有の構造から来ていた。一般の束から眺めると、その事情がよく見えます。

計量と両立する接続

束に各ファイバーの内積 $h$ が入っているとき、次をみたす接続を計量的と呼びます^[1]。

$$X⟨\psi ,\varphi ⟩=⟨{\nabla }_X\psi ,\varphi ⟩+⟨\psi ,{\nabla }_X\varphi ⟩$$

正規直交枠をとると、接続 1 形式が反対称になります^[1]。

$${\omega }_{\alpha }^{\beta }=-{\omega }_{\beta }^{\alpha }$$

対角成分が消え、独立な成分の数がぐっと減ります。計算するときの手数が変わってくる部分です。

このとき曲率も、内積に関して歪対称な自己準同型に値をとります^[1]。

作った束へ延ばす

$E$ の接続があれば、$E$ から作った束にも接続が入ります。ライプニッツ則を要求するだけで決まります^[1]。

同じ要領で、任意のテンソル冪にも延びます。$\mathrm{End}(E)$ を $E^{\ast }\otimes E$ と見れば、そこにも接続が入る^[1]。

接束の場合に、1 形式やテンソル場を微分できたのと同じ仕組みです。特別なことは何もしていません。

どこで役に立つか

一般の束で接続を考える動機は、応用の側にもあります。

物理では、電磁場が複素直線束の接続として書けます。ゲージ場 $A$ が $\Gamma$ にあたり、場の強さ $F$ が曲率にあたる。ゲージ変換は枠の取り替えそのものです^[2]。

$\Gamma$ が枠に依存し、$F$ が依存しないという構図が、そのまま「ポテンシャルは測れず、場は測れる」という物理の事情になります。

複素幾何では、正則直線束の接続からチャーン類が出ます。数論的な文脈でも、束と接続の言葉が使われる。

接束は、多様体に最初からくっついている束です。そこだけを見ていると、接束特有の性質と一般の性質が混ざって見えます^[3]。

一般の束へ持ち上げてみると、どれが本質でどれが偶然かが分かれます。捩れが接束にしかないこと、対称性の多くが計量とレヴィ・チヴィタ性から来ていること。接続という概念の輪郭が、そこではっきりします。

曲率から不変量へ

一般の束で接続を考える利点は、そこから位相的な不変量が作れる点にあります。

曲率は $\mathrm{End}(E)$ に値をもつ 2 形式でした。行列式や跡のような不変式を当てると、普通の微分形式が得られます。

できあがる形式は閉じていて、接続の選び方を変えても、コホモロジー類が変わりません。これがチャーン・ヴェイユ理論の筋道です^[2]。

接続は選び方に自由度がありました。その自由度を消した先に、束そのものの不変量が残る。接束を離れて一般の束を考える理由が、ここにあります。

参考文献