ベクトル束上の接続

ベクトル束上の接続は、束の切断を微分する方法を与える。接束に限らない一般のベクトル束で共変微分を定義し、曲率やホロノミーの理論へと発展する。

ベクトル束の復習

ベクトル束 $E \to M$ は、各点 $p \in M$ にベクトル空間 $E_{p}$ （ファイバー）を対応させ、局所的に $U \times R^{r}$ と同型になる空間である。

$r$ を束の階数（rank）という。切断 $s : M \to E$ は各点でファイバーの元を選ぶ写像である。

ベクトル束 $E \to M$ 上の接続（connection）または共変微分は、ベクトル場 $X$ と切断 $s$ に対して切断 $\nabla_{X} s$ を返す演算で、次を満たすものである。

\nabla_{f X + g Y} s = f \nabla_{X} s + g \nabla_{Y} s

（

X

について

C^{\infty} (M)

-線型）

\nabla_{X} (s + t) = \nabla_{X} s + \nabla_{X} t

（

s

について加法的）

\nabla_{X} (f s) = X (f) s + f \nabla_{X} s

（Leibniz則）

$E = TM$ （接束）のとき、接続はベクトル場からベクトル場への微分を与える。Levi-Civita 接続はこの特別な場合である。

$E$ の局所自明化 $E ∣_{U} ≅ U \times R^{r}$ において、フレーム ${e_{1}, \dots, e_{r}}$ を取る。接続は

$\nabla e_{j} = i \sum ω^{i}_{j} \otimes e_{i}$

で定まる。 $ω^{i}_{j}$ は $U$ 上の $1$ -形式であり、接続 $1$ -形式という。

接続 $1$ -形式を行列にまとめて $ω = (ω^{i}_{j})$ と書く。これは $gl_{r}$ -値 $1$ -形式である。

切断 $s = \sum_{j} s^{j} e_{j}$ に対して

$\nabla s = i \sum (d s^{i} + j \sum ω^{i}_{j} s^{j}) \otimes e_{i}$

となる。

フレームを $\tilde{e}_{i} = \sum_{j} g^{j}_{i} e_{j}$ （ $g : U \to G L_{r}$ ）と変換すると、接続行列は

$\tilde{ω} = g^{- 1} ω g + g^{- 1} d g$

と変換される。これはゲージ変換と呼ばれる。

任意のベクトル束に接続が存在する。1の分割を用いて局所的な接続を貼り合わせればよい。

接続は一意ではなく、 $End (E)$ -値 $1$ -形式の分だけ自由度がある。

$E$ にファイバー計量 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ が入っているとき、

$X ⟨ s, t ⟩ = ⟨ \nabla_{X} s, t ⟩ + ⟨ s, \nabla_{X} t ⟩$

を満たす接続を計量接続という。接続行列は反対称 $ω + ω^{T} = 0$ （直交フレームで）となる。

曲線 $γ : [0, 1] \to M$ に沿って、 $\nabla_{\overset{γ}{˙}} s = 0$ を満たす切断 $s (t)$ を平行切断という。

初期値 $s (0) \in E_{γ (0)}$ を与えると、平行切断は一意に定まり、平行移動

$P_{γ} : E_{γ (0)} \to E_{γ (1)}$

が定義される。

平行移動は線型同型である。計量接続の場合、平行移動は内積を保つ。

階数 $r$ のベクトル束は、構造群 $G L_{r}$ を持つ主束 $P \to M$ と標準表現の組み合わせで構成できる。

ベクトル束の接続は主束上の接続（主接続）と対応する。ゲージ理論では主束の言葉が使われる。