曲率形式はベクトル束の接続から定まる -形式であり、接続の「曲がり具合」を測る。リーマン曲率テンソルの一般化であり、特性類の構成に用いられる。
曲率の定義
ベクトル束 上の接続 に対して、曲率（curvature） を
で定義する。 は の各ファイバー上の自己準同型を与える。
テンソル性
は のそれぞれについて -線型である。
したがって は -値 -形式、すなわち である。
接続行列との関係
局所フレーム で接続行列 を取ると、曲率形式は
で与えられる。成分では
となる。これを構造方程式という。
ゲージ変換
フレームを で変換すると、曲率形式は
と変換される。 は -値 -形式として随伴表現で変換する。
平坦接続
となる接続を平坦接続という。
平坦接続では、平行移動が経路のホモトピー類のみに依存する（後述）。局所的には自明な接続と同型である。
Bianchi恒等式
曲率形式は Bianchi 恒等式
を満たす。外微分を と定義すると、 と書ける。
接束の場合
で Levi-Civita 接続を取ると、曲率形式はリーマン曲率テンソル に対応する。
線束の場合
階数 のベクトル束（線束）では、 となり、曲率形式は通常の -形式である。
複素線束では曲率形式を 倍して実 -形式とすることが多い。
曲率とトポロジー
曲率形式の積分は位相不変量を与える。線束 上の曲率 に対して
は第一 Chern 類であり、 の位相を決定する。
曲率の不変多項式
は閉形式であり、そのコホモロジー類は接続の取り方によらない。
これが Chern-Weil 理論の基礎であり、特性類を曲率から構成する。
Yang-Mills方程式
物理学では、曲率形式を場の強さ（field strength）という。Yang-Mills 方程式
は曲率形式の「発散」がゼロという条件であり、ゲージ場の運動方程式を与える。
反自己双対接続
4次元多様体で （反自己双対）を満たす接続をインスタントンという。
インスタントンは Yang-Mills 方程式を満たし、トポロジーと解析を結びつける重要な対象である。
