曲率形式

曲率形式はベクトル束の接続から定まる $2$-形式であり、接続の「曲がり具合」を測る。リーマン曲率テンソルの一般化であり、特性類の構成に用いられる。

曲率の定義

ベクトル束 $E\to M$ 上の接続 $\nabla$ に対して、曲率（curvature）$F^{\nabla }$ を

$$F^{\nabla }(X,Y)s={\nabla }_X{\nabla }_{Y}s-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}s-{\nabla }_{[X,Y]}s$$

で定義する。$F^{\nabla }(X,Y)$ は $E$ の各ファイバー上の自己準同型を与える。

テンソル性

$F^{\nabla }(X,Y)s$ は $X,Y,s$ のそれぞれについて $C^{\infty }(M)$-線型である。

したがって $F^{\nabla }$ は $\mathrm{End}(E)$-値 $2$-形式、すなわち $F^{\nabla }\in {\Omega }^2(M;\mathrm{End}(E))$ である。

接続行列との関係

局所フレーム $\{e_i\}$ で接続行列 $\omega =({\omega }^i{}_j)$ を取ると、曲率形式は

$$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$$

で与えられる。成分では

$${\Omega }^i{}_j=d{\omega }^i{}_j+\sum _k{\omega }^i{}_k\wedge {\omega }^k{}_j$$

となる。これを構造方程式という。

ゲージ変換

フレームを $g:U\to G{L}_r$ で変換すると、曲率形式は

$$\tilde{\Omega }=g^{-1}\Omega g$$

と変換される。$\Omega$ は ${\mathfrak{gl}}_r$-値 $2$-形式として随伴表現で変換する。

平坦接続

$F^{\nabla }=0$ となる接続を平坦接続という。

平坦接続では、平行移動が経路のホモトピー類のみに依存する（後述）。局所的には自明な接続と同型である。

Bianchi恒等式

曲率形式は Bianchi 恒等式

$$d\Omega =\Omega \wedge \omega -\omega \wedge \Omega$$

を満たす。外微分を $d^{\nabla }\Omega =d\Omega +[\omega ,\Omega ]$ と定義すると、$d^{\nabla }\Omega =0$ と書ける。

接束の場合

$E=TM$ で Levi-Civita 接続を取ると、曲率形式はリーマン曲率テンソル $R$ に対応する。

$${\Omega }^i{}_j=\frac{1}{2}\sum _{k,l}{R}^i{}_{jkl}d{x}^k\wedge d{x}^l$$

線束の場合

階数 $1$ のベクトル束（線束）では、$\mathrm{End}(E)\cong \mathbb{R}$ となり、曲率形式は通常の $2$-形式である。

複素線束では曲率形式を $i$ 倍して実 $2$-形式とすることが多い。

曲率とトポロジー

曲率形式の積分は位相不変量を与える。線束 $L$ 上の曲率 $\Omega$ に対して

$$c_1(L)=\left[\frac{i}{2\pi }\Omega \right]\in H^2(M;\mathbb{R})$$

は第一 Chern 類であり、$L$ の位相を決定する。

曲率の不変多項式

$\mathrm{tr}({\Omega }^k)$ は閉形式であり、そのコホモロジー類は接続の取り方によらない。

これが Chern-Weil 理論の基礎であり、特性類を曲率から構成する。

Yang-Mills方程式

物理学では、曲率形式を場の強さ（field strength）という。Yang-Mills 方程式

$$d^{\ast \nabla }\Omega =0$$

は曲率形式の「発散」がゼロという条件であり、ゲージ場の運動方程式を与える。

反自己双対接続

4次元多様体で $\ast \Omega =-\Omega$（反自己双対）を満たす接続をインスタントンという。

インスタントンは Yang-Mills 方程式を満たし、トポロジーと解析を結びつける重要な対象である。