閉じた道を一周すると矢印が回る「ホロノミー」が現れる

球面の上でベクトルを 1 周させると、出発したときと向きが違います。同じ道具で同じだけ運んだのに、戻ってきた矢印が回っている。

このずれの全体が作る群がホロノミー群です。曲率という局所の量が、閉曲線という大域の対象を通して群の形で現れる^[1]。

以下では平行移動を微分方程式として定義し、ずれが囲む面積に比例する様子を確かめ、アンブローズ・シンガーの定理とベルジェの分類まで進みます。

平行移動の定義

曲線 $c:[a,b]\to M$ と初期ベクトル $\xi \in T_{c(a)}M$ をとります。曲線に沿ったベクトル場 $V(t)$ で

$$\frac{DV}{dt}=0,V(a)=\xi$$

を満たすものが、$\xi$ を平行移動したものです^[2]。

座標で書けば ${\dot{V}}^k+{\Gamma }_{ij}^k{\dot{c}}^i{V}^j=0$ で、$V$ について 1 階線型の常微分方程式。

解が必ず 1 つ存在する

線型の初期値問題なので、ピカール・リンデレフの定理から解が一意に存在します^[3]。

したがって平行移動は $T_{c(a)}M\to T_{c(b)}M$ の写像を定めます。線型方程式なので、この写像も線型。

逆向きにたどれば逆写像が出るので、同型写像になります。潰れることはありません。

長さと角度が保たれる

レヴィ・チヴィタ接続では、平行移動が内積を保ちます^[2]。

理由は計量との両立です。$\frac{d}{dt}g(V,W)=g(\frac{DV}{dt},W)+g(V,\frac{DW}{dt})$ で、両方が平行なら右辺が $0$。

内積が定数なので、長さも角度も動きません。移動の結果は直交変換になります。

道に依存する

始点と終点が同じでも、通る道が違えば結果が違います^[2]。

平坦なら一致します。曲率が $0$ であることと、局所的に道に依らないことが同値。

道に依存するからこそ、閉曲線を 1 周したときにずれが残ります。ずれが群をなす。

球面の上で 1 周する

北極から赤道へ下り、赤道を進み、北極へ戻る道を考えます。

3 辺とも大円なので、矢印と進行方向のなす角は変わりません。それでも戻ったときには $90$ 度回っています。

回転角は囲んだ面積に等しくなります。この三角形は球面の $1/8$ で面積 $\pi /2$、回転角も $\pi /2$^[3]。

例：緯線に沿った平行移動

北緯 $\theta$ の緯線を 1 周します。緯線は大円ではないので、測地線ではありません。

平行移動したベクトルは、$2\pi (1-\cos \theta )$ だけ回ります。囲む球冠の面積がちょうどこの値。

赤道では $\theta =\pi /2$ で回転角が $2\pi$、つまり回転なしと同じです。赤道が大円であることに対応する。

例：フーコーの振り子

緯度 $\lambda$ で振り子を吊ると、振動面が 1 日で $2\pi \sin \lambda$ だけ回ります。

これは緯線に沿った平行移動のホロノミーそのものです。振り子の振動面が平行移動される量として現れる。

極では 1 日で 1 回転、赤道では回りません。実験室で測れるホロノミー。

例：円錐を切り開く

頂角のある円錐を、母線に沿って切り開くと扇形になります。扇形の中心角を $2\pi -\delta$ とする。

頂点を囲むループを 1 周すると、$\delta$ だけ回転が残ります。この $\delta$ が角度の欠損。

青が実際の扇形、赤の破線が足りないぶんです。円錐の上を歩いた人には、この欠損が見えません。

曲率は頂点だけに集まっています。頂点を除けば平坦なのに、頂点を囲むとホロノミーが残る。

ずれは面積に比例する

小さな閉曲線では、ずれは囲む面積に比例します。比例係数がガウス曲率。

単位球面なら曲率が $1$ なので、回転角がそのまま面積です。曲率が大きいほど、同じ面積でずれが大きくなる。

平面では曲率が $0$ なので、どんな閉曲線を回ってもずれません。

ループを縮めると比例が見える

閉曲線を小さくしていったとき、回転角がどう変わるかを描きます。

ループを縮めると回転角も減り、面積と同じ速さで $0$ に近づきます。単位球面では両者が一致する。

半径を半分にすれば面積は $1/4$ になり、回転角も $1/4$ です。長さに比例しないところが要点。

主束のホロノミー

ベクトル束ではなく主束で定式化すると、ホロノミーが構造群の部分群として出ます。

水平な持ち上げをとり、ファイバーの中でどれだけずれたかを見る形です。ゲージ理論ではこのずれがウィルソンループ。

アンブローズ・シンガーの定理も、主束の言葉で述べるのが本来の形になります^[4]。

ホロノミー群の定義

点 $p$ を始点かつ終点とする閉曲線の全体をとり、それぞれに沿った平行移動を集めます。

$${\mathrm{Hol}}_p(\nabla )=\{P_{\gamma }:T_{p}M\to T_{p}M\mid \gamma \text{は}p\text{を基点とする閉曲線}\}$$

これがホロノミー群です^[1]。合成と逆で閉じているので群になる。

道をつなげば合成、逆にたどれば逆元です。群であることは定義からすぐ出ます。

基点への依存

$p$ と $q$ を道 $\gamma$ で結ぶと、${\mathrm{Hol}}_q=P_{\gamma }{\mathrm{Hol}}_p{P}_{\gamma }^{-1}$ が成り立ちます^[1]。

共役でしか変わらないので、群としての同型類は基点に依りません。連結な多様体なら、どこで測っても同じ群。

抽象的な群としては 1 つに決まるが、どの部分群として実現されるかは基点で変わる、という形。

制限ホロノミー群

可縮な閉曲線だけを使ったものを制限ホロノミー群 ${\mathrm{Hol}}_p^0$ といいます。

これは連結なリー部分群になり、${\mathrm{Hol}}_p$ の単位元成分に一致します^[1,5]。

商 ${\mathrm{Hol}}_p/{\mathrm{Hol}}_p^0$ は基本群の像です。曲率で決まる部分と、位相で決まる部分に分かれる。

平坦でもホロノミーが残る

曲率が $0$ なら制限ホロノミー群は自明です。ところが全体のホロノミー群は自明とは限りません^[1]。

メビウスの帯がその例になります。曲率は $0$ ですが、帯を 1 周すると向きが裏返る。

平坦性は局所の性質で、ホロノミーは大域の性質です。両者が食い違う場面。

例：円柱と円錐

円柱は平坦です。切り開けば平面になり、ホロノミーは自明。

円錐も頂点を除けば平坦です。ところが頂点を回るループでは、角度の欠損ぶんだけ回転が残ります。

曲率は頂点 1 点に集中しています。デルタ関数のような形で曲率が入っている、という見方。

アンブローズ・シンガーの定理

ホロノミー群のリー代数は、曲率が張ります^[4]。

正確には、$p$ から水平な道でつながる各点 $q$ での曲率 ${\Omega }_q(X,Y)$ の全体が、${\mathrm{Hol}}_p$ のリー代数を生成する。

曲率は無限小のホロノミーである、という言い方がこの定理の中身です。小さなループの寄与を集めると、群の全体が出てくる。

曲率が無限小のホロノミー

小さな平行四辺形を 1 周したときのずれは

$$P_{\gamma }=\mathrm{id}+R(X,Y){\epsilon }^2+O({\epsilon }^3)$$

の形になります^[4]。$\epsilon$ は辺の長さ。

$1$ 次の項がありません。往復で打ち消されるため、効いてくるのは面積の次数から。

この式が、曲率テンソルの定義そのものになっている流儀もあります。

リーマン多様体のホロノミー

レヴィ・チヴィタ接続では平行移動が内積を保つので、ホロノミー群は $O(n)$ の部分群です。

向きも保つなら $SO(n)$ の部分群になります。向き付け可能な連結多様体ならこちら。

ここからさらに小さくなるかどうかが、多様体の特別な構造と対応します^[5]。

ホロノミーが小さいと構造が入る

ホロノミー群が保つテンソルは、平行なテンソル場として多様体の上に載ります。

たとえば $U(n)$ に落ちれば概複素構造が平行になり、ケーラー多様体です。$SU(n)$ ならカラビ・ヤウ。

群が小さくなるほど、平行なテンソルが増えて構造が豊かになります。ホロノミーは構造の指標。

ベルジェの分類

単連結、既約、対称でないリーマン多様体のホロノミー群は、次のいずれかに限られます^[6]。

$Sp(n)\subset SU(2n)\subset U(2n)\subset SO(4n)$ という包含があります。ハイパーケーラーならカラビ・ヤウ、カラビ・ヤウならケーラー^[6]。

ベルジェが 1955 年に示したときは可能性の列挙で、すべてが実際に現れることの確認には時間がかかりました。$G_2$ と $\mathrm{Spin}(7)$ の例が作られたのは 1980 年代以降。

例外的ホロノミーが使われる場面

$G_2$ や $\mathrm{Spin}(7)$ をホロノミーに持つ多様体は、リッチ平坦です。

弦理論のコンパクト化で $6$ 次元のカラビ・ヤウが使われるのも、リッチ平坦という条件から。ホロノミーを小さくすることが、方程式を満たすことに直結します。

分類の表が、幾何と物理の対応表として読まれる場面。

平行移動から接続を復元する

平行移動が分かれば、接続をとり戻せます。

$${\nabla }_{X}V=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{P_h^0{V}_{\gamma (h)}-V_{\gamma (0)}}{h}$$

移動してきたものと元のものを、同じ接空間で引き算する形です^[2]。

接続と平行移動は同じ構造の別の書き方になります。微分方程式で書くか、その解で書くかの違い。

よくある誤り

参考文献