Chern-Weil 理論は曲率形式から特性類を構成する方法を与える。微分幾何学と代数的位相幾何学を結びつける美しい理論である。
特性類とは
特性類（characteristic class）はベクトル束の位相的不変量をコホモロジー類として表現したものである。
束 に対して、特性類 は連続的な変形で不変であり、束の「ねじれ」を測る。
不変多項式
上の不変多項式とは、 で
を満たすものである。多項式を同次 次に制限したものを と書く。
不変多項式の例
基本的な不変多項式として次がある。
Chern-Weil 準同型
ベクトル束 の接続 と曲率形式 に対して、 次不変多項式 から -形式
が定まる。 を行列として に代入し、外積で計算する。
閉形式であること
は閉形式 である。
Bianchi 恒等式 と の不変性から従う。
接続に依存しないこと
のコホモロジー類 は接続 の選び方によらない。
異なる接続 を線型に補間し、ホモトピー公式を用いて示される。
Chern類
複素ベクトル束 に対して、 次 Chern 類 は
で定義される。 は 次基本対称式であり、 は正規化因子である。
全 Chern 類
全 Chern 類 は
と表される。
線束の場合
線束 （階数 の複素ベクトル束）では である。
の への持ち上げは線束を完全に分類する。
Pontryagin類
実ベクトル束 に対して、複素化 の Chern 類から Pontryagin 類 が定まる。
Euler類
向き付けられた実ベクトル束 （階数 ）に対して Euler 類 が定まる。
曲率形式の Pfaffian として
と表される。
Gauss-Bonnetとの関係
接束 （ 次元向き付け可能多様体）に対して、Euler 類の積分は Euler 標数を与える。
これは Gauss-Bonnet の定理（）の一般化である。
障害理論との関係
特性類は束の切断や構造の存在に対する障害を与える。
ならば は非零の切断を持たない。 ならば は向き付け不可能である。
