Chern-Weil理論入門

Chern-Weil 理論は曲率形式から特性類を構成する方法を与える。微分幾何学と代数的位相幾何学を結びつける美しい理論である。

特性類とは

特性類（characteristic class）はベクトル束の位相的不変量をコホモロジー類として表現したものである。

束 $E\to M$ に対して、特性類 $c(E)\in H^{\ast }(M)$ は連続的な変形で不変であり、束の「ねじれ」を測る。

不変多項式

$\mathfrak{g}={\mathfrak{gl}}_r(\mathbb{R})$ 上の不変多項式とは、$P:\mathfrak{g}\to \mathbb{R}$ で

$$P(gX{g}^{-1})=P(X)(\forall g\in G{L}_r,X\in \mathfrak{g})$$

を満たすものである。多項式を同次 $k$ 次に制限したものを $P_k$ と書く。

不変多項式の例

基本的な不変多項式として次がある。

Chern-Weil 準同型

ベクトル束 $E\to M$ の接続 $\nabla$ と曲率形式 $\Omega$ に対して、$k$ 次不変多項式 $P_k$ から $2k$-形式

$$P_k(\Omega )\in {\Omega }^{2k}(M)$$

が定まる。$\Omega$ を行列として $P_k$ に代入し、外積で計算する。

閉形式であること

$P_k(\Omega )$ は閉形式 $d(P_k(\Omega ))=0$ である。

Bianchi 恒等式 $d\Omega +[\omega ,\Omega ]=0$ と $P$ の不変性から従う。

接続に依存しないこと

$P_k(\Omega )$ のコホモロジー類 $[P_k(\Omega )]\in H^{2k}(M;\mathbb{R})$ は接続 $\nabla$ の選び方によらない。

異なる接続 ${\nabla }_0,{\nabla }_1$ を線型に補間し、ホモトピー公式を用いて示される。

Chern類

複素ベクトル束 $E$ に対して、$k$ 次 Chern 類 $c_k(E)\in H^{2k}(M;\mathbb{R})$ は

$$c_k(E)=\left[{\sigma }_k\left(\frac{i}{2\pi }\Omega \right)\right]$$

で定義される。${\sigma }_k$ は $k$ 次基本対称式であり、$i/(2\pi )$ は正規化因子である。

全 Chern 類

全 Chern 類 $c(E)=1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots$ は

$$c(E)=\left[\det \left(I+\frac{i}{2\pi }\Omega \right)\right]$$

と表される。

線束の場合

線束 $L$（階数 $1$ の複素ベクトル束）では $c_1(L)=[(i/2\pi )\Omega ]$ である。

$c_1(L)$ の $H^2(M;\mathbb{Z})$ への持ち上げは線束を完全に分類する。

Pontryagin類

実ベクトル束 $E$ に対して、複素化 $E\otimes \mathbb{C}$ の Chern 類から Pontryagin 類 $p_k(E)\in H^{4k}(M)$ が定まる。

$$p_k(E)=(-1{)}^k{c}_{2k}(E\otimes \mathbb{C})$$

Euler類

向き付けられた実ベクトル束 $E$（階数 $2n$）に対して Euler 類 $e(E)\in H^{2n}(M)$ が定まる。

曲率形式の Pfaffian として

$$e(E)=\left[\mathrm{Pf}\left(\frac{\Omega }{2\pi }\right)\right]$$

と表される。

Gauss-Bonnetとの関係

接束 $TM$（$2n$ 次元向き付け可能多様体）に対して、Euler 類の積分は Euler 標数を与える。

$${\int }_{M}e(TM)=\chi (M)$$

これは Gauss-Bonnet の定理（$n=1$）の一般化である。

障害理論との関係

特性類は束の切断や構造の存在に対する障害を与える。

$e(E)\ne 0$ ならば $E$ は非零の切断を持たない。$w_1(E)\ne 0$ ならば $E$ は向き付け不可能である。