曲率から特性類を作る（チャーン・ヴェイユ理論の入門）

接続を選ぶと曲率が決まります。ところが接続の選び方は無数にあり、曲率もそのぶん変わる。

それでも、曲率から作ったある種の量は、接続を変えても同じ値になります。この量が特性類で、束のねじれ具合を測る位相不変量^[1]。

以下では不変多項式から出発し、曲率を代入した形式が閉じていること、コホモロジー類が接続に依らないことを確かめ、チャーン類とポントリャーギン類まで扱います。

束のねじれを数で測りたい

ベクトル束が自明かどうかを判定したいとします。自明なら大域的な枠がとれ、そうでなければとれない。

判定を直接やるのは大変です。すべての枠を調べるわけにはいきません。

そこで、自明な束では必ず $0$ になる量を作ります。$0$ でなければ自明ではない、と結論できる^[3]。

特性類とは

各ベクトル束にコホモロジー類を対応させ、引き戻しと両立するものを特性類といいます^[3]。

$f:Y\to X$ に対し $c(f^{\ast }E)=f^{\ast }c(E)$ が成り立つ、という条件。自然変換になっている。

自明束には $0$ を返します。したがって $c(E)\ne 0$ なら $E$ は自明でない。

曲率形式

主束の接続形式 $\omega$ に対し、曲率形式を

$$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$$

で定めます^[6]。カルタンの構造方程式。

リー代数に値をとる $2$ 形式です。ベクトル束なら、$1$ 形式を成分とする行列。

接ベクトル束にとれば、$\Omega (X,Y)$ がリーマン曲率テンソル $R(X,Y)$ になります。

ビアンキ恒等式

曲率形式は $D\Omega =0$ を満たします^[6]。第 2 ビアンキ恒等式。

$D$ は共変外微分です。$\Omega$ を微分すると消える、という主張。

この式が、あとで「閉形式が出る」ことの根拠になります。

不変多項式

リー代数 $\mathfrak{g}$ の上の多項式 $f$ で、随伴作用について不変なものを不変多項式といいます^[1]。

$$f({\mathrm{Ad}}_{g}x)=f(x)$$

が任意の $g$ で成り立つ、という条件。基底のとり替えで値が変わらない量。

行列のリー代数なら、$\mathrm{tr}(X^k)$ や $\det (X)$、$\det (I+tX)$ の係数が該当します。

例：不変多項式を並べる

$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$ の不変多項式は、基本対称式で生成されます。

どれも固有値の対称関数です。共役で変わらない量は、固有値の対称式に限られる。

曲率を代入する

$k$ 次の不変多項式 $f$ に曲率形式を代入します。$\Omega$ は $2$ 形式なので、$f(\Omega )$ は $2k$ 形式。

多項式に行列を入れる操作を、$2$ 形式を成分とする行列に対して行う形です。$2$ 形式どうしは可換なので、順序の問題は起きません。

不変性から、$f(\Omega )$ は主束の上の形式として底空間へ降ります^[1]。枠のとり替えで値が変わらないため。

閉形式になる

$f(\Omega )$ は閉形式です。証明はビアンキ恒等式から出ます^[1]。

$df(\Omega )=Df(\Omega )$ が不変性から言え、$f$ が微分として振る舞うことと $D\Omega =0$ を合わせると $0$ になる。

したがって $f(\Omega )$ はド・ラームコホモロジーの類を定めます。

接続に依らない

${\nabla }_0$ と ${\nabla }_1$ を 2 つの接続とし、${\nabla }_t=(1-t){\nabla }_0+t{\nabla }_1$ で結びます。接続の全体はアフィン空間なので、この直線が引ける。

$t$ で微分して積分すると、$f({\Omega }_1)-f({\Omega }_0)$ が完全形式になることが示せます^[1]。

コホモロジー類としては同じです。接続の選び方に依らない量が、こうして手に入る。

チャーン・ヴェイユ準同型

不変多項式からコホモロジーへの写像が定まりました。

$$\mathbb{C}[\mathfrak{g}{]}^G⟶H_{\mathrm{dR}}^{\ast }(M;\mathbb{C})$$

これがチャーン・ヴェイユ準同型です^[1]。代数の準同型になっている。

微分幾何の計算から位相の情報が出る、という橋がここに架かります。

3 歩目までは接続に依存し、4 歩目で依存が消えます。消え方を保証するのが上の 2 つの補題。

3 歩目までは選び方に引きずられています。4 歩目で商をとり、依存が落ちる。

コホモロジーをとる操作が、余分な情報を捨てる働きをしています。

曲率が変わっても類が動かない様子

接続を動かすと曲率形式が変わりますが、積分した値は動きません。

青い曲線が上下に波打っても、囲む面積は変わりません。赤い破線がその平均。

差が完全形式になっている、というのがこの絵の内容です。積分すればストークスの定理で消える。

チャーン類

複素ベクトル束 $E$ に対し、$\det \left(I+\frac{it}{2\pi }\Omega \right)$ を $t$ で展開します。

$$\det \left(I+\frac{it}{2\pi }\Omega \right)=\sum _k{c}_k(E)t^k$$

の係数がチャーン類です^[2,5]。$c_k$ は $2k$ 次のコホモロジー類。

$2\pi$ で割り、$i$ を掛けるのは、整数係数のコホモロジーに値が入るようにするため。規格化の定数。

全チャーン類とホイットニー和

$c(E)=1+c_1(E)+c_2(E)+\cdots$ を全チャーン類といいます。

直和については

$$c(E\oplus F)=c(E)⌣c(F)$$

が成り立ちます^[2,5]。行列式が対角ブロックで積に分かれることから出る。

$\det$ を使う定義が、この積の形を自然に出しています。

例：直線束の第 1 チャーン類

複素直線束では $c_1$ だけが残ります。曲率は $1$ 次の行列、つまり $2$ 形式そのもの。

$$c_1(L)=\frac{i}{2\pi }\Omega$$

です。$c_1$ は複素直線束を完全に分類します^[2]。$H^2(X;\mathbb{Z})$ との間に 1 対 1 の対応がある。

例：${\mathbb{CP}}^1$ の接束

リーマン球面の複素接束について $c_1$ を積分すると $2$ になります^[5]。

$0$ でないので、この束は自明ではありません。至るところ $0$ でない切断が存在しない。

実の言葉に直せば、球面に接する零点のないベクトル場が作れない、という事実です。毛玉の定理^[2]。

巻きつきの数として見る

$c_1$ が $2$ になる、というのは何を数えているのか。境界での回転数として読めます。

境界を 1 周するあいだに、矢印は 2 回転します。中央の弧が、たまった角度。

回転数が $0$ でないと、内部を零点なしで埋められません。$c_1=2$ が言っているのはこの障害^[2]。

例：曲率の積分が回転数になる

直線束で $c_1$ を積分すると、境界での接続形式の回転数が出ます。ストークスの定理で境界へ落とす形。

平坦な接続なら曲率が $0$ ですが、境界での回転数が消えるとは限りません。可縮でない領域では差が残る。

第 1 チャーン類が整数値をとるのは、この回転数が整数だから。連続に動かしても飛ばない量。

例：ガウス・ボネとの一致

$2$ 次元では $c_1$ の積分がオイラー標数に一致します。${\mathbb{CP}}^1$ では $\chi =2$ で、上の値と合う。

一般に、複素多様体の接束の $c_1$ と実の接束のオイラー類が対応します。

ガウス・ボネの定理は、この対応の $2$ 次元での姿になっています。曲率の積分が位相不変量になる、という共通の構図。

ポントリャーギン類

実ベクトル束では、複素化してからチャーン類をとります。

$$p_k(E)=(-1{)}^k{c}_{2k}(E\otimes \mathbb{C})$$

がポントリャーギン類です^[4]。$4k$ 次のコホモロジーに入る。

奇数番目のチャーン類は $2$ 捩れを除いて消えます。実の束を複素化すると、共役で移り合う対称性が入るため。

オイラー類

向き付けられた偶数階数の実ベクトル束には、オイラー類が定まります。

曲率形式のパフィアンから作ります。$\mathrm{Pf}(\Omega )$ を $(2\pi {)}^n$ で割った形。

接束のオイラー類を積分するとオイラー標数が出ます。これがチャーン・ガウス・ボネの定理。

障害としての読み方

特性類は、束が良い性質を持つことの障害として読めます^[3]。

$c_1\ne 0$ なら、零点のない切断が作れません。$c(E)\ne 1$ なら、束は自明でない。

「作れない理由」を数で書き下したもの、という位置づけになります。作れる場合には $0$ になる。

特性数と不変量

特性類の積を基本類と対にすると、整数が出ます。特性数と呼ばれる量。

コボルディズム類がこの数で決まります。2 つの多様体がコボルダントであることと、特性数がそろうことが同値^[3]。

ヒルツェブルフの符号数定理は、符号数をポントリャーギン数で書く公式です^[4]。

有理係数までしか出ない

チャーン・ヴェイユの構成は、実または複素係数のコホモロジーに値をとります。

したがって捩れの情報は落ちます。シュティーフェル・ホイットニー類のような $\mathbb{Z}/2$ 係数の類は、この方法では作れません。

微分幾何で見えるのは、実係数に写した像だけ、ということ。位相の側から見ると情報が減っています。

よくある誤り

参考文献