曲率テンソルの添字はなぜ 4 つ必要なのか？

曲率テンソルが測っているのは、共変微分の順番を入れ替えたときに出るずれです。

平らな空間なら、微分の順番はどちらでも同じ答えになります。曲がった空間ではそうならない。この食い違いこそが曲がり具合の正体で、それを 1 つの量にまとめたものが曲率テンソルです。

見た目の添字は 4 つあります。多いように見えて、どれにも役があります。

微分の順番を入れ替える

レヴィ・チヴィタ接続 $\nabla$ に対して、曲率テンソルは次で定義されます^[1]。

$$R(X,Y)Z={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z$$

第 1 項と第 2 項が、$X$ 方向と $Y$ 方向に微分する順番を入れ替えたもの。平らなら差し引き $0$ になるはずの量です。

$[X,Y]$ はベクトル場の括弧積で、$X$ と $Y$ の流れがどれだけ噛み合っていないかを表します。第 3 項はその噛み合わなさを引き算する補正。

言い直すと、曲率は平行移動が道によらないための障害です^[1]。同じ点へ 2 通りの道で運んだとき、答えがそろわない量を測っています。

2 本の矢印は同じベクトルを運んだ結果です。先に横へ進んだか、先に縦へ進んだかだけが違う。届いた先での開きが $R(X,Y)Z$ にあたります。

第 3 項がないと壊れる

${\nabla }_{[X,Y]}Z$ の項は、体裁を整えるための飾りではありません。これがないとテンソルにならないためです。

テンソルであるというのは、関数を掛けたときに素通りするということ。$R(X,Y)(fZ)=fR(X,Y)Z$ が成り立てば、$(R(X,Y)Z{)}_p$ は $Z_p$ という 1 本のベクトルだけで決まります。

実際に $fZ$ を入れて展開すると、ライプニッツ則から $(Yf)Z$ や $(Xf)Z$ の項が湧きます。第 1 項と第 2 項からは $XYf$ と $YXf$ が出てくる。

これらを消してくれるのは第 3 項です。$[X,Y]f=XYf-YXf$ という関係が、余りをちょうど打ち消します^[1]。

$X$ と $Y$ についても同じことが起こります。結果として $R$ は $(1,3)$ 型テンソルになる^[1]。

これは効きの大きい性質です。曲率を知るのに近傍のベクトル場は要らず、点ごとに 3 本のベクトルを入れれば 1 本のベクトルが返る、という装置になります。

平行移動での言い直し

さきほどの図を式にしておきます。$[X,Y]=0$ となる 2 つのベクトル場をとり、$sX$ と $tY$ の流れが作る無限小の平行四辺形を一周させる。運ばれたベクトルの変化は 2 次の精度で次のようになります^[1]。

$$Z_{\text{final}}-Z_{\text{initial}}=stR(X,Y)Z+O(s^2+t^2)$$

$s$ と $t$ の積、つまり囲んだ面積に比例します。輪を半分の大きさにすれば、ずれは 4 分の 1 になる。

ここから平坦性の言い換えが出ます。$R\equiv 0$ であることと、平行移動が道によらないこと、そして局所的に ${\mathbb{R}}^n$ と等長であることは、すべて同値です^[1]。

曲率が消える多様体は、小さく切り取ればユークリッド空間そのもの。逆にいえば、$R$ が $0$ でない限り、どんなに小さく切ってもユークリッド空間には重ならない。

添字 4 つの内訳

$(1,3)$ 型というのは、下に 3 つ、上に 1 つという意味です。入力が 3 つで出力が 1 つ、と読めます。

面を決め、運ぶものを決めれば、ずれが決まる。その対応が線形なので、係数の並びとして 4 つの添字がつきます。

$X$ と $Y$ を入れ替えれば向きが逆になるので $R(X,Y)=-R(Y,X)$ です。ここは定義から即座に出ます。

成分での顔つき

座標基底で $R({\partial }_i,{\partial }_j){\partial }_k=R_{kij}^l{\partial }_l$ と書くと、成分はクリストッフェル記号で表せます^[1][2]。

$$R_{kij}^l={\partial }_i{\Gamma }_{jk}^l-{\partial }_j{\Gamma }_{ik}^l+{\Gamma }_{im}^l{\Gamma }_{jk}^m-{\Gamma }_{jm}^l{\Gamma }_{ik}^m$$

前半 2 つが $\Gamma$ の微分の差、後半 2 つが $\Gamma$ どうしの積の差。この組み合わせがちょうどテンソルになる、という点が要です。

$\Gamma$ 自体はテンソルではありません。座標を換えると 2 階微分の項が余分に付きます。差と積を上のように組むと、その余りが打ち消し合う。

ある 1 点で $\Gamma =0$ となる座標をとれば、積の項が落ちて見通しがよくなります。その点での値は ${\partial }_i{\Gamma }_{jk}^l-{\partial }_j{\Gamma }_{ik}^l$ だけ^[1]。

つまり曲率が拾っているのは $\Gamma$ の 1 階微分です。$\Gamma$ そのものは座標で消せても、その微分までは消せません。

添字を全部下ろす

計量で上の添字を下ろすと、対称性が見やすくなります。

$$R_{ijkl}=g_{im}{R}_{jkl}^m$$

この形で書くと、$R_{ijkl}=⟨R({\partial }_k,{\partial }_l){\partial }_j,{\partial }_i⟩$ という内積の値になります^[1]。

対称性が成分を削る

$R_{ijkl}$ には 4 つの関係式があります^[1]。

2 番目は計量との両立から出ます。$⟨R(X,Y)Z,Z⟩=0$ を示し、$Z$ について極形式をとる筋道です^[1]。

3 番目は独立ではありません。1 番目、2 番目、4 番目から導かれます。

これらを課すと、独立な成分の個数がぐっと減ります。$n$ 次元での個数は次のとおり^[1]。

$$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$$

素朴に数えれば $n^4$ 個ありました。4 次元なら $256$ 個です。対称性を入れると $20$ 個まで落ちます。

3 次元なら $6$ 個、2 次元ならたった $1$ 個。次元が下がるほど、曲率の自由度は急速にしぼみます。

独立成分を数える

$\frac{n^2(n^2-1)}{12}$ という個数は、対称性から順に絞れば手で出せます。

まず $(i,j)$ が反対称なので、この組は $\frac{n(n-1)}{2}$ 通り。$(k,l)$ も同じで、両方あわせて $N=\frac{n(n-1)}{2}$ 個の組が 2 つ並ぶ形になります。

次に組の入れ替えが対称なので、$N$ 個から重複を許して 2 つ選ぶ数、つまり $\frac{N(N+1)}{2}$ まで落ちます。

最後に第一ビアンキ恒等式が効きます。この条件が新しく課すのは 4 つの添字がすべて違うときだけで、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)$ 個の関係式になる。

$$\frac{N(N+1)}{2}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}\right)=\frac{n^2(n^2-1)}{12}$$

$n=4$ で確かめると $N=6$ なので $21-1=20$。$n=3$ なら $6-0=6$ で、$n=2$ なら $1-0=1$ です。

2 次元では 1 つだけ

$n=2$ で残る 1 個は $R_{1212}$ です。ほかの成分は反対称性から $0$ になるか、符号違いでこれに帰着します。

面の曲がり具合を表す数が 1 つしかない、ということ。それがガウス曲率で、$R_{1212}$ を計量の行列式で割った量になります。

曲面には向きも傾きもあるのに、内在的な曲がりは 1 つの数で足ります。ガウスの驚異の定理が言っているのは、この数が曲面の内側だけで決まるという事実です。

高い次元では話が変わります。同じ点でも、どの 2 次元の面を見るかで曲がり方が違う。だから面を指定する添字が 2 つ要ります。

球面と双曲平面で計算する

数を入れて確かめます。単位球面 $S^2$ を球面座標でとると、計量は $g_{\theta \theta }=1$、$g_{\phi \phi }={\sin }^2\theta$ です。

成分の定義に沿って計算すると $R_{\phi \theta \phi }^{\theta }={\sin }^2\theta$ が出ます。添字を下ろした $R_{1212}$ も ${\sin }^2\theta$^[1]。

2 次元では $R_{1212}=K(g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2)$ という関係があるので、ガウス曲率が読み取れます^[1]。

$$K=\frac{R_{1212}}{g_{11}{g}_{22}-g_{12}^2}=\frac{{\sin }^2\theta }{{\sin }^2\theta }=1$$

$\theta$ が消えました。球面はどこでも同じだけ曲がっている、という当たり前の事実が式の上で出ます。

双曲平面も見ておきます。上半平面に $g=y^{-2}(d{x}^2+d{y}^2)$ を入れると $R_{1212}=-1/y^4$、$\det g=1/y^4$ となり、$K=-1$^[1]。

こちらも $y$ が消えます。見た目には上へ行くほど縮む計量なのに、曲がり具合は一様。

測地線のずれで測る

もう一つの読み方が、隣り合う測地線の離れ方です。こちらのほうが図に描きやすい。

測地線の族 ${\gamma }_s$ を考え、$s$ 方向の変分ベクトルを $J$ とします。この $J$ が次の式をみたします^[1]。

$$\frac{D^{2}J}{d{t}^2}+R(\dot{\gamma },J)\dot{\gamma }=0$$

ヤコビ方程式と呼ばれる式で、解をヤコビ場といいます。素直に読むと、隣の測地線との隔たりの加速度が曲率で決まるという主張。

導出も短い。$[T,J]=0$ と ${\nabla }_{T}T=0$ を使うだけで、${\nabla }_T{\nabla }_{T}J={\nabla }_T{\nabla }_{J}T=R(T,J)T$ が出ます^[1]。

曲率 $K=1$ の球面で、大円に直交する成分について書き下すと、次の形になります^[1]。

$$J^{\prime \prime }+J=0,J(t)=A\cos t+B\sin t$$

$J(0)=0$ から出発した解は $t=\pi$ でまた $0$ に戻ります。北極を出た大円が南極で再会する、あの現象。この点を共役点と呼びます。

曲率 $K=-1$ の双曲空間では符号が反転します^[1]。

$$J^{\prime \prime }-J=0,J(t)=A\cosh t+B\sinh t$$

こちらは指数的に開いていくだけで、二度と交わりません。共役点が存在しない。

平坦なら $J^{\prime \prime }=0$ なので、隔たりは $t$ に比例して伸びます。3 つを並べると、正の曲率は寄せ、負の曲率は離すという役割がはっきりします。

縦軸が隔たり $J$、横軸が測地線に沿った時間です。青は寄せられて $0$ に戻り、灰色はまっすぐ伸び、橙は加速して開きます。

断面曲率へ落とす

4 つの添字を持つ量は、そのままでは扱いにくい。$2$ 次元の面を 1 つ選んで、数 1 つに縮める方法があります。

接空間の $2$ 平面 $\sigma$ を、一次独立な $u,v$ が張るものとします。断面曲率は次で定義されます^[1]。

$$K(u,v)=\frac{⟨R(u,v)v,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2\Vert v{\Vert }^2-⟨u,v{⟩}^2}$$

分母は $u$ と $v$ が張る平行四辺形の面積の 2 乗です。この割り算のおかげで、値は $u,v$ の選び方によらず、平面 $\sigma$ だけで決まります^[1]。

意味は素直で、その 2 平面に沿って測地線を流したときのガウス曲率にあたります。曲率テンソルを「面ごとの数値」に読み替えたもの。

驚くのはその逆で、すべての 2 平面での $K$ が分かれば $R$ が完全に復元されます^[1]。$⟨R(u,v)v,u⟩$ が $u$ と $v$ について 2 次形式なので、極形式で成分が取り出せるためです。

情報が減っているように見えて、じつは減っていません。4 添字の量と、面に対する関数は、同じだけの中身を持っています。

半径 $1$ の球面で緯線に沿って一周すると、戻ってきた矢印の回転角が、その緯線が囲む面積とぴったり一致します。輪を小さくすれば角も小さくなる。

小さな輪での回転角を面積で割った値が、その点での曲率です。曲率テンソルは、この操作を「どの向きの輪か」まで込めて書いたものだと言えます。

定曲率なら計量だけで書ける

どの点のどの 2 平面でも $K(\sigma )=\kappa$ が成り立つ空間を、定曲率空間と呼びます。このとき曲率テンソルは計量だけで書けてしまいます^[1]。

$$R(X,Y)Z=\kappa (⟨Y,Z⟩X-⟨X,Z⟩Y)$$

成分では $R_{ijkl}=\kappa (g_{ik}{g}_{jl}-g_{il}{g}_{jk})$ となります。$20$ 個あったはずの自由度が、数 $\kappa$ ひとつに縮む。

完備で単連結という条件を足すと、そういう空間は 3 つしかありません。キリング・ホップの定理と呼ばれる分類です^[1]。

完備なだけで単連結でない場合は、この 3 つを離散群で割った商になります。平坦なトーラスがその例で、曲率は $0$ でも形はユークリッド空間と違う。

微分にも恒等式がある

成分どうしの関係だけでなく、微分についての関係もあります。第二ビアンキ恒等式です^[1]。

$$({\nabla }_{X}R)(Y,Z)+({\nabla }_{Y}R)(Z,X)+({\nabla }_{Z}R)(X,Y)=0$$

証明は正規座標を使うと短い。$\Gamma (p)=0$ の点では共変微分が偏微分に落ちるので、偏微分の可換性から出ます^[1]。

この恒等式を縮約すると、アインシュタイン方程式の左辺が自動的に保存量になります。曲率の対称性が物理の保存則を支えている、という筋です。

長さを測る式にも曲率が出る

測地線が本当に最短かどうかを調べると、そこにも曲率が顔を出します。弧長で径数づけた測地線 $\gamma$ を端点を止めたまま揺らし、エネルギーの 2 階微分をとります^[1]。

$$\frac{d^2}{d{s}^2}{|}_{s=0}E({\gamma }_s)={\int }_0^L\left({\Vert \frac{DV}{dt}\Vert }^2-⟨R(\dot{\gamma },V)\dot{\gamma },V⟩\right)dt$$

第 1 項は揺らし方の激しさで、いつも $0$ 以上です。第 2 項に曲率が入り、符号が逆に付きます。

正の曲率のところでは第 2 項が引き算として効くので、2 階微分が負になりうる。つまり揺らしたほうがエネルギーが下がる、最短ではない、という事態が起きます。

負の曲率なら第 2 項は足し算に転じ、2 階微分はいつも正。測地線は必ず局所最短になります。

ヤコビ場の $J$ が $0$ になる点を共役点と呼びました。共役点を越えると測地線は最短をやめる、というのは、この式から出る帰結です^[1]。

最短でいられる限界の時刻を切断点といいます。球面なら対蹠点がそれで、そこから先はどちら回りでも同じ長さ。

1854 年のゲッティンゲン

この量が生まれた場面にも触れておきます。1854 年 6 月 10 日、リーマンはゲッティンゲンで教授資格講演をおこないました^[1]。

演題はガウスが指定したもので、幾何学の基礎にある仮説について、というものでした。審査員席にはそのガウスが座っています。

そこでリーマンが示したのは、距離が点ごとに変わる空間という考え方です。曲がった空間を、外側の入れ物なしに内側だけで語る枠組み。

添字を 4 つ持つ量は、その枠組みの中心にあります。のちにクリストッフェルとリッチ・クルバストロが計算の形に整え、アインシュタインが物理へ持ち込みました^[1]。

潮汐力として読む

一般相対性理論では、時空の曲率が重力そのものです。フランスの講義録は、リーマンが 1854 年の時点で測地線のずれとして曲がりを捉えていた、と述べています^[1]。

自由落下する 2 つの物体は、それぞれ測地線を進みます。互いの隔たりが勝手に伸び縮みするなら、そこに曲率がある。

地球へ落ちていく 2 点は、どちらも地心を目指すので横向きには近づきます。縦方向には、下のほうが強く引かれて離れる。これが潮汐力で、ヤコビ方程式の $R$ が担っている部分です。

重力加速度そのものは座標のとり方で消せます。自由落下する箱の中では重力を感じません。消せないのは隔たりの変化のほうで、それが曲率の消せなさに対応しています。

参考文献