陰関数定理の計算問題

陰関数定理の計算問題を通じて、陰関数の微分と接線の求め方を身につける。

問題1：陰関数の1階微分

$x^{2} + y^{2} = 25$ で定まる陰関数 $y = f (x)$ について、 $\frac{d y}{d x}$ を求めよ。

両辺を $x$ で微分する。 $y$ は $x$ の関数なので連鎖律を適用する。

$2 x + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

点 $(3, 4)$ では $\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{4}$ となる。

$x^{2} + y^{2} = 25$ について、 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ を求めよ。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ をもう一度 $x$ で微分する。

$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{y \cdot 1 - x \cdot \frac{d y}{d x}}{y ^{2}} = - \frac{y - x \cdot ( - \frac{x}{y} )}{y ^{2}}$

$= - \frac{y + \frac{x ^{2}}{y}}{y ^{2}} = - \frac{y ^{2} + x ^{2}}{y ^{3}} = - \frac{25}{y ^{3}}$

点 $(3, 4)$ では $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = - \frac{25}{64}$ となる。

曲線 $x^{3} + y^{3} = 6 x y$ の点 $(3, 3)$ における接線の方程式を求めよ。

まず点 $(3, 3)$ が曲線上にあることを確認： $27 + 27 = 54 = 6 \cdot 9$ 。

両辺を $x$ で微分する。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d y}{d x} = 6 y + 6 x \frac{d y}{d x}$

$(3 y^{2} - 6 x) \frac{d y}{d x} = 6 y - 3 x^{2}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 y - 3 x ^{2}}{3 y ^{2} - 6 x} = \frac{2 y - x ^{2}}{y ^{2} - 2 x}$

$(3, 3)$ で $\frac{d y}{d x} = \frac{6 - 9}{9 - 6} = \frac{- 3}{3} = - 1$

接線： $y - 3 = - 1 (x - 3)$ 、すなわち $y = - x + 6$

$F (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2} - 6 = 0$ で $z$ が $x, y$ の関数として定まるとき、 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求めよ。

陰関数定理より

$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F _{x}}{F _{z}} = - \frac{2 x}{6 z} = - \frac{x}{3 z}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F _{y}}{F _{z}} = - \frac{4 y}{6 z} = - \frac{2 y}{3 z}$

点 $(1, 1, 1)$ では $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{1}{3}$ , $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{2}{3}$ となる。

$F (x, y) = x^{2} - y^{2} = 0$ について、原点の近傍で $y = f (x)$ と解けるか判定せよ。

$F_{y} = - 2 y$ であり、原点 $(0, 0)$ で $F_{y} (0, 0) = 0$ となる。

陰関数定理の条件 $F_{y} \neq = 0$ を満たさないため、原点近傍で一意な陰関数は定まらない。

実際、 $x^{2} = y^{2}$ の解は $y = x$ と $y = - x$ の2本の直線であり、原点で交差する。原点近傍で $y$ は $x$ の一価関数にならない。

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ 上の点で、接線が水平になる点を求めよ。

$2 x + y + x \frac{d y}{d x} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$ より

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

水平な接線は $\frac{d y}{d x} = 0$ なので $2 x + y = 0$ 、つまり $y = - 2 x$ 。

曲線に代入： $x^{2} + x (- 2 x) + (- 2 x)^{2} = x^{2} - 2 x^{2} + 4 x^{2} = 3 x^{2} = 3$

$x = \pm 1$ , $y = \mp 2$ より、点は $(1, - 2)$ と $(- 1, 2)$ 。