曲線を y = f(x) に直さずに微分する（陰関数定理の計算問題）

$x^3+y^3=6xy$ を $y$ について解こうとすると、$3$ 次方程式の解の公式が出てきます。それでも接線の傾きは、両辺を微分するだけで $1$ 行で出る。

解いてから微分するのではなく、解けることだけを保証してもらって微分する。これが陰関数定理の使い方です^[1]。

以下は $14$ 問です。円の $1$ 階と $2$ 階から始め、接線、多変数、連立、定理が使えない点まで並べました。

陰関数定理が保証すること

$F(x,y)$ が $C^1$ 級で、点 $(a,b)$ で $F(a,b)=0$ かつ $F_y(a,b)\ne 0$ とします^[1]。

このとき $a$ のある近傍でただ $1$ つの $C^1$ 級関数 $y=f(x)$ が定まり、$f(a)=b$ と $F(x,f(x))=0$ を満たします。

微分は連鎖律から出ます。$F(x,f(x))=0$ の両辺を $x$ で微分して整理する。

$$F_x+F_y\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

$F_y\ne 0$ という仮定が、この割り算をしてよい根拠です。仮定が崩れる点では公式も止まります。

問題 1：円の 1 階微分

$x^2+y^2=25$ で定まる $y=f(x)$ について、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。点 $(3,4)$ での値も出せ。

解答 1

両辺を $x$ で微分します。$y$ は $x$ の関数なので、$y^2$ には連鎖律が掛かる。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

点 $(3,4)$ では $-\frac{3}{4}$ です。半径と接線が直交することが、この式に出ています。

原点から点へ向かうベクトルの傾きが $\frac{y}{x}$ で、接線の傾きがその負の逆数になっている。

問題 2：円の 2 階微分

同じ円について $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を求めよ。

解答 2

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ をもう一度微分します。商の微分で、分子の $y$ にまた $\frac{dy}{dx}$ が出る。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}=-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}$$

もとの式から $x^2+y^2=25$ なので、$-\frac{25}{y^3}$ とまとまります。点 $(3,4)$ では $-\frac{25}{64}$ です。

$y>0$ の側では $2$ 階微分が負で、上に凸。円の上半分の形と合っています。

問題 3：デカルトの葉線の接線

$x^3+y^3=6xy$ の点 $(3,3)$ における接線を求めよ。

解答 3

まず点が曲線上にあることを確かめます。$27+27=54$ で、$6\cdot 9=54$ に一致する。

両辺を微分します。右辺には積の微分が要ります。

$$3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6y+6x\frac{dy}{dx}$$

$\frac{dy}{dx}$ を集めて割ると次の形です。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}$$

$(3,3)$ を入れると $\frac{6-9}{9-6}=-1$ になります。接線は $y=-x+6$ です。

問題 4：水平な接線

$x^2+xy+y^2=3$ の上で、接線が水平になる点を求めよ。

解答 4

微分すると $2x+y+(x+2y)\frac{dy}{dx}=0$ で、傾きは次のとおりです。

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+y}{x+2y}$$

水平は分子が $0$、つまり $y=-2x$ です。もとの式に入れると $x^2-2x^2+4x^2=3x^2=3$ になる。

$x=\pm 1$ から、点は $(1,-2)$ と $(-1,2)$ です。この楕円上では $(-1,2)$ で $y$ が最大になり、$(1,-2)$ で最小になります。

問題 5：垂直な接線

同じ楕円で、接線が垂直になる点を求めよ。

解答 5

垂直は分母が $0$、つまり $x=-2y$ です。$4y^2-2y^2+y^2=3y^2=3$ から $y=\pm 1$。

点は $(-2,1)$ と $(2,-1)$ です。ここでは $F_y=x+2y=0$ なので、陰関数定理は $y$ を $x$ の関数として保証しません。

そのかわり $F_x=2x+y\ne 0$ なので、役割を入れかえて $x$ を $y$ の関数として解けます。

$$\frac{dx}{dy}=-\frac{F_y}{F_x}$$

垂直な接線は $\frac{dx}{dy}=0$ と書けば表せます。$\frac{dy}{dx}$ が書けない点は、逆数のほうで扱う。

問題 6：3 変数の場合

$F(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-6=0$ で $z$ が $x,y$ の関数として定まるとき、$z_x$ と $z_y$ を求めよ。

解答 6

公式の分母が $F_z$ に替わるだけです。他の変数は定数として扱います。

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{6z}=-\frac{x}{3z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{2y}{3z}$$

点 $(1,1,1)$ では $-\frac{1}{3}$ と $-\frac{2}{3}$ です。$z=0$ の点、つまり楕円体の赤道では $F_z=0$ になり、この形では書けません。

問題 7：対数を含む式

$\ln y+\frac{x}{y}=2$ で定まる $y=f(x)$ について、点 $(0,e^2)$ での傾きを求めよ。

解答 7

点の確認から。$x=0$ なら $\ln y=2$ で $y=e^2$ です。

両辺を微分します。第 $2$ 項は商の微分になる。

$$\frac{y^{\prime }}{y}+\frac{y-x{y}^{\prime }}{y^2}=0$$

$x=0$、$y=e^2$ を入れると $\frac{y^{\prime }}{e^2}+\frac{e^2}{e^4}=0$ です。

$$y^{\prime }=-1$$

$y$ について解いた式が書けなくても、$1$ 点での傾きは出ます。陰関数の扱いが効くのはこういう場面です。

問題 8：指数が変数の式

$x^y=y^x$ の点 $(2,4)$ における $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

解答 8

そのままでは微分しにくいので、両辺の対数をとります。

$$y\ln x=x\ln y$$

微分すると次の形です。

$$y^{\prime }\ln x+\frac{y}{x}=\ln y+\frac{x}{y}{y}^{\prime }$$

$y^{\prime }$ を集めます。

$$y^{\prime }=\frac{\ln y-\frac{y}{x}}{\ln x-\frac{x}{y}}$$

$(2,4)$ は $2^4=4^2=16$ で曲線上です。値は $\frac{\ln 4-2}{\ln 2-\frac{1}{2}}\approx -3.177$ になります。

問題 9：陰関数の 1 次近似

$x^2+y^2=25$ の $(3,4)$ の近くで、$x=3.1$ に対応する $y$ を $1$ 次近似で見積もれ。真の値と比べよ。

解答 9

傾きは $-\frac{3}{4}$ でした。接線に乗せて見積もります。

$$y\approx 4-\frac{3}{4}(x-3)=4-0.075=3.925$$

真の値は $\sqrt{25-3.1^2}=3.92301$ です。誤差は $0.002$ ほどで、$2$ 階微分が負であるぶん接線が上に外れています。

問題 10：連立の陰関数

$x^2+y^2+z^2=6$ と $x+y+z=0$ が定める曲線上の点 $(1,-2,1)$ で、$\frac{dy}{dx}$ と $\frac{dz}{dx}$ を求めよ。

解答 10

まず点を確かめます。$1+4+1=6$、$1-2+1=0$ で両方とも満たす。

$y$ と $z$ について解けるかを、ヤコビ行列式で見ます^[1]。

$$\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,z)}=\left|\begin{array}{cc}2y& 2z\\ 1& 1\end{array}\right|=2y-2z=-6\ne 0$$

$0$ でないので解けます。$2$ 本を $x$ で微分して連立にする。

$$2-4y^{\prime }+2z^{\prime }=0,1+y^{\prime }+z^{\prime }=0$$

下の式から $z^{\prime }=-1-y^{\prime }$。上に入れると $-6y^{\prime }=0$ となり、$y^{\prime }=0$、$z^{\prime }=-1$ です。

未知の導関数が $2$ 個なので、式も $2$ 本要ります。連立の陰関数では、ヤコビ行列式が $0$ でないことが解ける条件です。

問題 11：定理が使えない交点

$F(x,y)=x^2-y^2=0$ について、原点の近くで $y=f(x)$ と解けるか判定せよ。

解答 11

$F_y=-2y$ で、原点では $0$ です。仮定が満たされないので、定理からは何も言えません。

実際に解いてみると $y=x$ と $y=-x$ の $2$ 本になります。原点の近くでは $1$ つの $x$ に $2$ つの $y$ が対応するので、関数になりません。

定理は必要十分ではない点に注意が要ります。$F_y=0$ でも解ける場合はある。$y^3=x$ が例で、原点で $F_y=3y^2=0$ ですが $y=x^{1/3}$ と解けます。

ただし $y=x^{1/3}$ は原点で微分できません。$C^1$ 級という結論のほうが崩れています。

問題 12：円の端点

$x^2+y^2=25$ の点 $(5,0)$ で、$y$ を $x$ の関数として解けるか判定せよ。

解答 12

$F_y=2y=0$ なので、定理は使えません。実際、$x$ が $5$ を少しでも超えると点がなくなります。

役割を入れかえると解けます。$F_x=2x=10\ne 0$ なので、$x=g(y)$ が定まる。

$$x=\sqrt{25-y^2},\frac{dx}{dy}=-\frac{y}{x}$$

$(5,0)$ では $\frac{dx}{dy}=0$ です。曲線としては何も特別なことは起きておらず、$y$ を主役にしたことだけが問題でした。

交点の場合と違い、こちらは座標の選び方の問題です。$2$ つを区別して扱います。

問題 13：陰関数定理から逆関数定理を出す

$y=f(x)$ が $C^1$ 級で $f^{\prime }(a)\ne 0$ のとき、逆関数が局所的に存在することを陰関数定理から導け。

解答 13

$F(y,x)=f(x)-y$ と置きます。変数の順を入れかえて、$x$ を従属変数と見る。

$F$ は $C^1$ 級で、$F(f(a),a)=0$ です。$x$ についての偏微分は $F_x=f^{\prime }(x)$ で、$x=a$ で $0$ ではありません。

陰関数定理より、$y=f(a)$ の近くでただ $1$ つの $C^1$ 級関数 $x=g(y)$ が定まり、$f(g(y))=y$ を満たします。これが逆関数です。

微分も公式から出ます。

$$\frac{dg}{dy}=-\frac{F_y}{F_x}=-\frac{-1}{f^{\prime }(x)}=\frac{1}{f^{\prime }(g(y))}$$

逆関数定理と陰関数定理はたがいに導き合えます。どちらを先に置くかは教科書によって違う。

問題 14：2 階微分を一般の形で

$F(x,y)=0$ で定まる $y=f(x)$ について、$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を $F$ の偏微分で表せ。

解答 14

$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ をもう一度微分します。$F_x$ と $F_y$ はどちらも $x$ と $y$ の関数なので、連鎖律が両方に掛かる。

$$\frac{d}{dx}{F}_x=F_{xx}+F_{xy}\frac{dy}{dx},\frac{d}{dx}{F}_y=F_{yx}+F_{yy}\frac{dy}{dx}$$

商の微分に入れて $\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$ を代入し、分母を払うと次の形にまとまります。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{F_{xx}{F}_y^2-2F_{xy}{F}_x{F}_y+F_{yy}{F}_x^2}{F_y^3}$$

円で確かめます。$F_{xx}=F_{yy}=2$、$F_{xy}=0$ なので、分子は $2\cdot 4y^2+2\cdot 4x^2=8(x^2+y^2)$ です。

分母は $8y^3$ なので、$-\frac{x^2+y^2}{y^3}$ になり、問題 $2$ の答えと一致します。

つまずきやすいところ

計算そのものより、どこで公式が止まるかの判断で誤ります。

どれも $F=0$ という式そのものに戻れば判断がつきます。式を見ずに公式だけ当てると外します。

よくある誤り

微分するだけなら解く必要はない。この一点が陰関数の扱いの中身で、あとは連鎖律を落とさないことだけです。

参考文献

^[1] が定理の主張・ヤコビ行列による導関数の公式・円と交差する曲線の例、^[2] がドイツ語での定式化、^[3] がフランス語での記述と逆関数定理との関係、^[4] がデカルトの葉線の媒介変数表示、^[5] が逆関数定理です。