収束半径の計算問題を通じて、べき級数の収束域を判定する技術を身につける。
問題1：比判定法
n=0∑∞n!xn の収束半径を求めよ。
解答1
an=n!1 として比判定法を適用する。
anan+1=(n+1)!n!=n+11→0(n→∞)
R=n→∞liman+1an=n→∞lim(n+1)=∞
収束半径は R=∞。すべての x∈R で収束する。これは ex のマクローリン級数である。
問題2：根判定法
n=1∑∞n!nnxn の収束半径を求めよ。
解答2
an=n!nn として根判定法を適用する。
Stirling の公式 n!≈2πn(en)n より
nan=nn!nn≈n2πn(n/e)nnn=n2πnen→e
R=limn→∞n∣an∣1=e1
問題3：比判定法（標準形）
n=0∑∞(n!)2(2n)!xn の収束半径を求めよ。
解答3
an=(n!)2(2n)! として
anan+1=((n+1)!)2(2n+2)!⋅(2n)!(n!)2=(n+1)2(2n+2)(2n+1)
=n2+2n+14n2+6n+2→4(n→∞)
R=41
問題4：端点での収束
n=1∑∞nxn の収束半径と収束域を求めよ。
解答4
anan+1=n+1n→1 より R=1。
端点を調べる。
x=1：∑n1 は調和級数で発散。
x=−1：∑n(−1)n は交代級数で収束（Leibniz 判定法）。
収束域は −1≤x<1（x=−1 を含み、x=1 を含まない）。
これは −ln(1−x) のマクローリン級数である。
問題5：複雑な係数
n=0∑∞3nn2+1xn の収束半径を求めよ。
解答5
an=3nn2+1 として
anan+1=3n+1(n+1)2+1⋅n2+13n=3(n2+1)(n+1)2+1
→3n2n2=31(n→∞)
R=3
分子の多項式の次数は収束半径に影響しない。指数関数的な 3n が本質的である。
問題6：0でない中心
n=0∑∞n2+1(x−2)n の収束域を求めよ。
解答6
t=x−2 とおくと ∑n2+1tn。
anan+1=(n+1)2+1n2+1→1 より R=1。
t=1（x=3）：∑n2+11 は ∑n21 と比較して収束。
t=−1（x=1）：∑n2+1(−1)n は絶対収束。
収束域は 1≤x≤3（両端点を含む）。
