収束半径の計算問題

収束半径の計算問題を通じて、べき級数の収束域を判定する技術を身につける。

問題1：比判定法

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ の収束半径を求めよ。

解答1

$a_n=\frac{1}{n!}$ として比判定法を適用する。

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0(n\to \infty )$$

$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }(n+1)=\infty$$

収束半径は $R=\infty$。すべての $x\in \mathbb{R}$ で収束する。これは $e^x$ のマクローリン級数である。

問題2：根判定法

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^n}{n!}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答2

$a_n=\frac{n^n}{n!}$ として根判定法を適用する。

Stirling の公式 $n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ より

$$\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}\approx \sqrt[n]{\frac{n^n}{\sqrt{2\pi n}(n/e{)}^n}}=\sqrt[n]{\frac{e^n}{\sqrt{2\pi n}}}\to e$$

$$R=\frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{e}$$

問題3：比判定法（標準形）

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答3

$a_n=\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}$ として

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!{)}^2}\cdot \frac{(n!{)}^2}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}$$

$$=\frac{4n^2+6n+2}{n^2+2n+1}\to 4(n\to \infty )$$

$$R=\frac{1}{4}$$

問題4：端点での収束

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ の収束半径と収束域を求めよ。

解答4

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n}{n+1}\to 1$ より $R=1$。

端点を調べる。

$x=1$：$\sum \frac{1}{n}$ は調和級数で発散。

$x=-1$：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ は交代級数で収束（Leibniz 判定法）。

収束域は $-1\le x<1$（$x=-1$ を含み、$x=1$ を含まない）。

これは $-\ln (1-x)$ のマクローリン級数である。

問題5：複雑な係数

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^2+1}{3^n}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答5

$a_n=\frac{n^2+1}{3^n}$ として

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1{)}^2+1}{3^{n+1}}\cdot \frac{3^n}{n^2+1}=\frac{(n+1{)}^2+1}{3(n^2+1)}$$

$$\to \frac{n^2}{3n^2}=\frac{1}{3}(n\to \infty )$$

$R=3$

分子の多項式の次数は収束半径に影響しない。指数関数的な $3^n$ が本質的である。

問題6：0でない中心

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n^2+1}$ の収束域を求めよ。

解答6

$t=x-2$ とおくと $\sum \frac{t^n}{n^2+1}$。

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2+1}{(n+1{)}^2+1}\to 1$ より $R=1$。

$t=1$（$x=3$）：$\sum \frac{1}{n^2+1}$ は $\sum \frac{1}{n^2}$ と比較して収束。

$t=-1$（$x=1$）：$\sum \frac{(-1{)}^n}{n^2+1}$ は絶対収束。

収束域は $1\le x\le 3$（両端点を含む）。