収束するのはどこまでか、べき級数の収束半径と端点の判定

べき級数は、中心からある距離までは収束し、それを超えると発散します。境目の距離が収束半径で、係数の伸び方だけで決まる^[1]。

半径そのものは比か根で出ます。手間がかかるのは、収束するか発散するかが半径では決まらない端点のほうです。

以下は $14$ 問です。比と根の使い分けから始め、欠けた級数、中心をずらした級数、上極限が要る場合、複素の特異点で半径が決まる例まで並べました。

半径を出す 2 つの式

コーシー・アダマールの公式は上極限で書かれます。どんな級数にも当てはまる形です^[1]。

$$\frac{1}{R}=\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}\sqrt[n]{|c_n|}$$

比のほうは、極限が存在する場合だけ使えます。そのかわり計算は楽です。

$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$$

階乗や指数が入っていれば比、$n$ のべきや根号が入っていれば根、と選ぶと早い。どちらでも出る場合は比を選びます。

問題 1：階乗が分母にある

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ の収束半径を求めよ。

解答 1

$c_n=\frac{1}{n!}$ です。比をとると階乗が約分されます。

$$\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1\to \infty$$

$R=\infty$ で、すべての実数と複素数で収束します。$e^x$ の展開なので、当然の結果です。

問題 2：階乗が分子にある

$\sum _{n=0}^{\infty }n!x^n$ の収束半径を求めよ。

解答 2

比が逆になります。$\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\to 0$ です。

$R=0$ で、収束するのは $x=0$ だけ。中心以外のどこでも発散します。

半径が $0$ の級数も定義としては認められます。関数を表さないので、形式的べき級数として扱う場面のもの。

問題 3：根を使う

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^n}{n!}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答 3

$n$ 乗根をとります。スターリングの近似 $n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ を使う。

$$\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}\approx \sqrt[n]{\frac{e^n}{\sqrt{2\pi n}}}=\frac{e}{(2\pi n{)}^{1/(2n)}}\to e$$

$R=\frac{1}{e}$ です。実際に計算すると $n=100$ で $2.632$ となり、$e=2.718$ へゆっくり近づきます。

この級数は比でも出ます。${\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\to e$ を使う形になり、手間はどちらも同じくらいです。

問題 4：中央二項係数

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(2n)!}{(n!{)}^2}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答 4

比をとります。階乗が大きく約分されます。

$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}\to 4$$

$R=\frac{1}{4}$ です。$n=50$ で $3.96$ となり、$4$ に近づいています。

この級数の和は $\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ で、$x=\frac{1}{4}$ で分母が消えます。半径がその点までなのは自然な結果です。

問題 5：端点で挙動が分かれる

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ の収束域を求めよ。

解答 5

$\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{n+1}{n}\to 1$ なので $R=1$ です。端点を別に調べます。

$x=1$ では $\sum \frac{1}{n}$ で、調和級数なので発散します。$x=-1$ では交代級数となり、ライプニッツの判定から収束する。

収束域は $-1\le x<1$ です。同じ半径の両端で答えが分かれました^[1]。

和は $-\log (1-x)$ で、$x=1$ で発散し $x=-1$ で $-\log 2$ になります。級数の挙動と一致しています。

問題 6：多項式の係数

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{n^2+1}{3^n}{x}^n$ の収束半径を求めよ。

解答 6

比をとります。

$$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(n+1{)}^2+1}{3(n^2+1)}\to \frac{1}{3}$$

$R=3$ です。分子の多項式は半径に効きません。$\sqrt[n]{n^2+1}\to 1$ だからです。

半径を決めるのは指数の $3^n$ のほうです。多項式は何次でも $n$ 乗根が $1$ に行くので、無視できます。

問題 7：中心が 0 でない

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n^2+1}$ の収束域を求めよ。

解答 7

$t=x-2$ と置きます。$\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\frac{(n+1{)}^2+1}{n^2+1}\to 1$ で $R=1$ です。

端点を調べます。$t=1$ では $\sum \frac{1}{n^2+1}$ で、$\sum \frac{1}{n^2}$ と比べて収束する。$t=-1$ では絶対収束します。

収束域は $|x-2|\le 1$、つまり $1\le x\le 3$ です。$x$ の範囲に戻すのを忘れないようにします。

係数が $n^2$ で減るときは、端点でも絶対収束します。$n$ の $1$ 乗で減る場合と挙動が変わる点です。

問題 8：項が飛んでいる級数

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{2^n}$ の収束半径を求めよ。

解答 8

奇数次の係数が $0$ なので、比の分母が消えて使えません。$t=x^2$ と置きかえます。

$\sum \frac{t^n}{2^n}$ は等比級数で、$|t|<2$ で収束します。$t=x^2$ に戻すと $x^2<2$ です。

$$R=\sqrt{2}$$

置きかえで直せない形なら、根の公式を使います。$\sqrt[n]{|c_n|}$ は偶数次で $\frac{1}{\sqrt{2}}$、奇数次で $0$ となり、上極限は $\frac{1}{\sqrt{2}}$ です。

問題 9：上極限が要る例

$c_n=2^n$（$n$ が偶数）、$c_n=3^n$（$n$ が奇数）とした級数の収束半径を求めよ。

解答 9

比は極限を持ちません。偶数から奇数へ移るとき $\frac{3^{n+1}}{2^n}\to \infty$、奇数から偶数へ移るとき $\frac{2^{n+1}}{3^n}\to 0$ です。

根なら問題なく出ます。$\sqrt[n]{|c_n|}$ は $2$ と $3$ を交互にとり、上極限は $3$ です。

$$R=\frac{1}{3}$$

確かめます。$|x|=\frac{1}{3}$ では奇数番目の項が $1$ のままで、$0$ に行きません。$|x|<\frac{1}{3}$ なら偶数番目も奇数番目も等比で押さえられます。

比が使えるのは極限が存在する場合だけ。上極限の公式はどんな場合でも通ります^[1]。

問題 10：対数を含む係数

$\sum _{n=2}^{\infty }(\log n)x^n$ の収束半径を求めよ。

解答 10

根をとります。$\sqrt[n]{\log n}$ は $1$ に収束します。$n=10000$ で $1.00022$ です。

$R=1$ になります。$\sqrt[n]{n}\to 1$ と同じ事情で、対数も多項式も半径には効きません。

半径に効くのは指数的に伸び縮みする部分だけ。$a^n$ や $n!$ や $n^n$ が入っていないかを先に見ます。

問題 11：分母に指数と n がある

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n{2}^n}$ の収束域を求めよ。

解答 11

比から $R=2$ です。端点を調べます。

$x=2$ では $\sum \frac{1}{n}$ となり発散します。$x=-2$ では交代級数となり収束する。

収束域は $-2\le x<2$ です。$\sum \frac{x^n}{n}$ を $\frac{x}{2}$ で書き直した形なので、問題 $5$ と同じ挙動になります。

問題 12：実軸に特異点がないのに半径が有限

$\frac{1}{1+x^2}$ の $x=0$ のまわりの展開について、収束半径を求めよ。

解答 12

幾何級数から $\sum (-1{)}^n{x}^{2n}$ で、$|x^2|<1$、つまり $R=1$ です。

実数の範囲では、この関数はどこでも定義されていてなめらかです。それでも $|x|>1$ では級数が発散する。

理由は複素数の側にあります。$x=\pm i$ で分母が $0$ になり、中心からの距離が $1$ です^[1]。

収束半径は、中心から最も近い特異点までの距離に等しくなります。実軸だけを見ていると説明がつかない現象です。

問題 13：項別微分と半径

$\sum c_n{x}^n$ の収束半径が $R$ のとき、項別に微分した級数の収束半径を求めよ。

解答 13

微分した級数は $\sum n{c}_n{x}^{n-1}$ です。係数に $n$ が掛かりました。

根をとると $\sqrt[n]{n|c_n|}=\sqrt[n]{n}\cdot \sqrt[n]{|c_n|}$ で、$\sqrt[n]{n}\to 1$ です。上極限は変わりません。

半径は $R$ のままです。積分しても同じで、係数に $\frac{1}{n+1}$ が掛かるだけなので変わりません。

端点での挙動は変わります。$\sum \frac{x^n}{n}$ は $x=-1$ で収束しますが、微分した $\sum x^{n-1}$ は $x=-1$ で発散する。

問題 14：2 つの級数の積

収束半径が $R_1$ と $R_2$ の級数を掛けたとき、積の収束半径はどうなるか。

解答 14

コーシー積は $\min (R_1,R_2)$ 以上の半径を持ちます。どちらの円の内側でも両方が絶対収束するので、積も収束するからです。

等号になるとは限りません。$\frac{1}{1-x}$ と $1-x$ はどちらも半径 $1$ ですが、積は $1$ で半径が $\infty$ になる。

特異点が打ち消し合うと半径が伸びます。積のほうが素直な関数になる場合です。

半径だけでは決まらないこと

端点の挙動は係数の細かい形で決まります。半径を出したところで、まだ $2$ 点残っている。

端点の判定は、$x$ に値を入れて数の級数として調べる。べき級数の問題ではなく、級数の収束判定の問題に変わります。

よくある誤り

半径は係数の指数的な伸びだけで決まり、端点は別問題。この $2$ 段構えで見れば、どの級数でも手順は同じです。

参考文献

^[1] が収束半径の定義・コーシー・アダマールの公式・比による式・端点の挙動・特異点との関係、^[2] がドイツ語での定式化、^[3] がべき級数と項別微分、^[4] がスターリングの近似、^[5] がコーシー積です。