べき級数の計算問題

べき級数の計算問題を通じて、級数の操作と関数表現を身につける。

問題1：べき級数の和

$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n$ の和を求めよ（$|x|<1$）。

解答1

等比級数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$ の両辺を $x$ で微分する。

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

両辺に $x$ を掛ける。

$$\sum _{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$$

よって

$$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n=\sum _{n=0}^{\infty }n{x}^n+\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}+\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x{)}^2}$$

問題2：べき級数の積分

$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$ の和を求めよ。

解答2

$\frac{1}{1+t^2}={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{t}^{2n}$（$|t|<1$）の両辺を $0$ から $x$ まで積分する。

$${\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{\int }_0^x{t}^{2n}dt$$

$$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$$

問題3：級数の具体値

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}$ を求めよ。

解答3

問題1より ${\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^n=\frac{x}{(1-x{)}^2}$。

$x=\frac{1}{2}$ を代入する。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n}{2^n}=\frac{1/2}{(1-1/2{)}^2}=\frac{1/2}{1/4}=2$$

問題4：べき級数の掛け算

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\right)$ のべき級数表示を求めよ（$|x|<1$）。

解答4

Cauchy 積を計算する。

$${\left(\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n\right)}^2=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{x}^n,c_n=\sum _{k=0}^{n}1\cdot 1=n+1$$

$$=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^n$$

一方 ${\left(\frac{1}{1-x}\right)}^2=\frac{1}{(1-x{)}^2}$ なので、問題1の結果と整合する。

問題5：対数のべき級数

$\ln \frac{1+x}{1-x}$ をべき級数で表せ。

解答5

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$

$\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}-\cdots$

$$\ln \frac{1+x}{1-x}=\ln (1+x)-\ln (1-x)=2x+\frac{2x^3}{3}+\frac{2x^5}{5}+\cdots$$

$$=2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

収束域は $-1<x<1$。

問題6：級数から関数を特定

$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$ について、$f^{\prime }(x)=f(x)$ かつ $f(0)=1$ を確かめ、$f(x)$ を特定せよ。

解答6

項別微分する。

$$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n{x}^{n-1}}{n!}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{x^m}{m!}=f(x)$$

$f(0)=\frac{0^0}{0!}=1$

微分方程式 $y^{\prime }=y$, $y(0)=1$ の解は $y=e^x$ に限る。

したがって $f(x)=e^x$。

問題7：$\pi$ の計算

$\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ を用いて $\pi$ の近似値を級数で求めよ。

解答7

$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$ に $x=1$ を代入。

$$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$$

$$\pi =4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \right)$$

これは Leibniz の公式だが、収束が非常に遅い。実用的には Machin の公式などを使う。