べき級数の計算問題を通じて、級数の操作と関数表現を身につける。
問題1：べき級数の和
n=0∑∞(n+1)xn の和を求めよ（∣x∣<1）。
解答1
等比級数 ∑n=0∞xn=1−x1 の両辺を x で微分する。
n=1∑∞nxn−1=(1−x)21
両辺に x を掛ける。
n=1∑∞nxn=(1−x)2x
よって
n=0∑∞(n+1)xn=n=0∑∞nxn+n=0∑∞xn=(1−x)2x+1−x1=(1−x)21
問題2：べき級数の積分
n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1 の和を求めよ。
解答2
1+t21=∑n=0∞(−1)nt2n（∣t∣<1）の両辺を 0 から x まで積分する。
∫0x1+t2dt=n=0∑∞(−1)n∫0xt2ndt
arctanx=n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1
問題3：級数の具体値
n=1∑∞2nn を求めよ。
解答3
問題1より ∑n=1∞nxn=(1−x)2x。
x=21 を代入する。
n=1∑∞2nn=(1−1/2)21/2=1/41/2=2
問題4：べき級数の掛け算
(n=0∑∞xn)(n=0∑∞xn) のべき級数表示を求めよ（∣x∣<1）。
解答4
Cauchy 積を計算する。
(n=0∑∞xn)2=n=0∑∞cnxn,cn=k=0∑n1⋅1=n+1
=n=0∑∞(n+1)xn
一方 (1−x1)2=(1−x)21 なので、問題1の結果と整合する。
問題5：対数のべき級数
ln1−x1+x をべき級数で表せ。
解答5
ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯
ln(1−x)=−x−2x2−3x3−4x4−⋯
ln1−x1+x=ln(1+x)−ln(1−x)=2x+32x3+52x5+⋯
=2n=0∑∞2n+1x2n+1
収束域は −1<x<1。
問題6：級数から関数を特定
f(x)=∑n=0∞n!xn について、f′(x)=f(x) かつ f(0)=1 を確かめ、f(x) を特定せよ。
解答6
項別微分する。
f′(x)=n=1∑∞n!nxn−1=n=1∑∞(n−1)!xn−1=m=0∑∞m!xm=f(x)
f(0)=0!00=1
微分方程式 y′=y, y(0)=1 の解は y=ex に限る。
したがって f(x)=ex。
問題7：π の計算
arctan1=4π を用いて π の近似値を級数で求めよ。
解答7
arctanx=x−3x3+5x5−7x7+⋯ に x=1 を代入。
4π=1−31+51−71+⋯
π=4(1−31+51−71+⋯)
これは Leibniz の公式だが、収束が非常に遅い。実用的には Machin の公式などを使う。
