偏微分の計算問題

偏微分の計算問題を通じて、多変数関数の微分の技術を身につける。

問題1：基本的な偏微分

$f (x, y) = x^{3} y + x y^{2} - 3 x y$ について、 $f_{x}$ , $f_{y}$ , $f_{x y}$ を求めよ。

解答1

$y$ を定数とみなして $x$ で微分する。

$f_{x} = 3 x^{2} y + y^{2} - 3 y$

$x$ を定数とみなして $y$ で微分する。

$f_{y} = x^{3} + 2 x y - 3 x$

$f_{x}$ を $y$ で微分する。

$f_{x y} = 3 x^{2} + 2 y - 3$

検算として $f_{y x} = 3 x^{2} + 2 y - 3$ も確認できる（Schwarzの定理）。

問題2：合成関数の偏微分

$z = f (x, y) = e^{x y}$ について、 $\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}$ を求めよ。

解答2

$\frac{\partial z}{\partial x} = y e^{x y}$

$\frac{\partial ^{2} z}{\partial y \partial x} = e^{x y} + x y e^{x y} = (1 + x y) e^{x y}$

問題3：連鎖律

$z = x^{2} + y^{2}$ で $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ のとき、 $\frac{\partial z}{\partial r}$ と $\frac{\partial z}{\partial θ}$ を求めよ。

解答3

連鎖律より

$\frac{\partial z}{\partial r} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r}$

$= 2 x \cdot cos θ + 2 y \cdot sin θ = 2 r cos^{2} θ + 2 r sin^{2} θ = 2 r$

$\frac{\partial z}{\partial θ} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial θ} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial θ}$

$= 2 x \cdot (- r sin θ) + 2 y \cdot r cos θ = - 2 r^{2} cos θ sin θ + 2 r^{2} sin θ cos θ = 0$

直接 $z = r^{2}$ とすれば $\frac{\partial z}{\partial r} = 2 r$ , $\frac{\partial z}{\partial θ} = 0$ と一致する。

問題4：高階偏微分

$f (x, y) = sin (x + y) + sin (x - y)$ について、 $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}}$ を求めよ。

解答4

$f_{x} = cos (x + y) + cos (x - y)$

$f_{xx} = - sin (x + y) - sin (x - y)$

$f_{y} = cos (x + y) - cos (x - y)$

$f_{y y} = - sin (x + y) - sin (x - y)$

$f_{xx} + f_{y y} = - 2 sin (x + y) - 2 sin (x - y) = - 2 f$

これは波動方程式 $f_{xx} - f_{y y} = 0$ の解ではなく、Helmholtz 方程式の形をしている。

問題5：勾配ベクトル

$f (x, y, z) = x^{2} + 2 y^{2} + 3 z^{2}$ の点 $(1, 1, 1)$ における勾配ベクトル $\nabla f$ を求めよ。

解答5

$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (2 x, 4 y, 6 z)$

$(1, 1, 1)$ で $\nabla f = (2, 4, 6)$ 。

勾配ベクトルは $f$ が最も急に増加する方向を指す。大きさ $∣\nabla f ∣ = 4 + 16 + 36 = 56 = 214$ が最大の方向微分係数。

問題6：Laplacian

$f (x, y) = e^{x} sin y$ について、 $Δ f = f_{xx} + f_{y y}$ を求めよ。

解答6

$f_{x} = e^{x} sin y, f_{xx} = e^{x} sin y$

$f_{y} = e^{x} cos y, f_{y y} = - e^{x} sin y$

$Δ f = e^{x} sin y - e^{x} sin y = 0$

$f$ は調和関数（ $Δ f = 0$ ）である。 $e^{z} = e^{x} (cos y + i sin y)$ の虚部が調和関数になることと対応する。

問題7：極値問題

$f (x, y) = x^{2} + x y + y^{2} - 3 x$ の極値を求めよ。

解答7

$f_{x} = 2 x + y - 3 = 0, f_{y} = x + 2 y = 0$

第2式より $x = - 2 y$ 。第1式に代入して $- 4 y + y - 3 = 0$ 、 $y = - 1$ 、 $x = 2$ 。

停留点は $(2, - 1)$ 。

$f_{xx} = 2, f_{y y} = 2, f_{x y} = 1$

$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} = 4 - 1 = 3 > 0, f_{xx} = 2 > 0$

よって $(2, - 1)$ で極小値 $f (2, - 1) = 4 - 2 + 1 - 6 = - 3$ を取る。