全微分の計算問題

全微分の計算問題を通じて、近似や誤差評価の技術を身につける。

問題1：全微分の計算

$f(x,y)=x^{2}y+x{y}^3$ の全微分 $df$ を求めよ。

解答1

全微分の定義より

$$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+y^3,\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+3x{y}^2$$

$$df=(2xy+y^3)dx+(x^2+3x{y}^2)dy$$

問題2：近似値の計算

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ として、$(3.02,3.97)$ における $f$ の近似値を全微分を用いて求めよ。

解答2

$(x_0,y_0)=(3,4)$ のまわりで近似する。$f(3,4)=5$。

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

$(3,4)$ で $f_x=\frac{3}{5}$, $f_y=\frac{4}{5}$。

$dx=0.02$, $dy=-0.03$ として

$$df\approx \frac{3}{5}(0.02)+\frac{4}{5}(-0.03)=0.012-0.024=-0.012$$

$$f(3.02,3.97)\approx 5+(-0.012)=4.988$$

真の値は $\sqrt{9.1204+15.7609}=\sqrt{24.8813}\approx 4.9881$ で、近似は良好。

問題3：誤差の伝播

直方体の体積 $V=xyz$ において、$x=2\pm 0.01$, $y=3\pm 0.02$, $z=4\pm 0.01$ のとき、$V$ の誤差を見積もれ。

解答3

$dV=yzdx+xzdy+xydz$

$(x,y,z)=(2,3,4)$ で

$$dV=(3\cdot 4)(0.01)+(2\cdot 4)(0.02)+(2\cdot 3)(0.01)$$

$$=0.12+0.16+0.06=0.34$$

$V=24$ なので、相対誤差は $\frac{0.34}{24}\approx 1.4\%$。

最大誤差を考えるときは絶対値を取って加える：$|dV|\le 12(0.01)+8(0.02)+6(0.01)=0.34$。

問題4：全微分可能性の判定

$f(x,y)=\sqrt{|xy|}$ は原点で全微分可能か調べよ。

解答4

偏微分を調べる。$x\ne 0$ で

$$f_x(x,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{|h\cdot 0|}-0}{h}=0$$

同様に $f_y(0,y)=0$。原点で $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。

全微分可能なら $f(h,k)-f(0,0)=f_x(0,0)h+f_y(0,0)k+o(\sqrt{h^2+k^2})$ が成り立つはず。

$f(h,h)=\sqrt{h^2}=|h|$ なので、$h=k$ の方向では

$$\frac{f(h,h)}{\sqrt{h^2+h^2}}=\frac{|h|}{\sqrt{2}|h|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\nrightarrow 0$$

したがって原点で全微分可能でない。偏微分は存在するが全微分可能とは限らない例。

問題5：3変数の全微分

$w=x^2+y^2+z^2$ で $x=r\sin \varphi \cos \theta$, $y=r\sin \varphi \sin \theta$, $z=r\cos \varphi$ のとき、$dw$ を $dr$, $d\varphi$, $d\theta$ で表せ。

解答5

$w=r^2$ なので $dw=2rdr$。

連鎖律で確認：

$$dw=2xdx+2ydy+2zdz$$

$dx=\sin \varphi \cos \theta dr+r\cos \varphi \cos \theta d\varphi -r\sin \varphi \sin \theta d\theta$ 等を代入して計算すると

$$2xdx+2ydy+2zdz=2rdr$$

となる（$d\varphi$, $d\theta$ の項は消える）。

問題6：接平面

$z=x^2+y^2$ の点 $(1,2,5)$ における接平面の方程式を求めよ。

解答6

$F(x,y,z)=x^2+y^2-z=0$ とおく。

$\nabla F=(2x,2y,-1)$、点 $(1,2,5)$ で $\nabla F=(2,4,-1)$。

接平面：$2(x-1)+4(y-2)-1(z-5)=0$

$$2x+4y-z=5$$

別解：$z-5=f_x(1,2)(x-1)+f_y(1,2)(y-2)=2(x-1)+4(y-2)$