重積分の計算問題

重積分の計算問題を通じて、積分順序の変更や変数変換の技術を身につける。

問題1：累次積分

$\iint_{D} x y d A$ を計算せよ。ただし $D = {(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 2}$ 。

$\iint_{D} x y d A = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y d y d x = \int_{0}^{1} x [\frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{2} d x$

$= \int_{0}^{1} 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{1} = 1$

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x$ を積分順序を変えて計算せよ。

積分領域は $0 \leq x \leq 1$ , $x \leq y \leq 1$ 、つまり $0 \leq x \leq y$ , $0 \leq y \leq 1$ 。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y = \int_{0}^{1} e^{y^{2}} \cdot y d y$

$u = y^{2}$ , $d u = 2 y d y$ と置換すると

$= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u} d u = \frac{1}{2} (e - 1)$

$e^{y^{2}}$ は原始関数が初等関数で表せないが、積分順序を変えることで計算できた。

$\iint_{D} x^{2} + y^{2} d A$ を計算せよ。ただし $D$ は $x^{2} + y^{2} \leq 4$ の円板。

極座標 $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , $d A = r d r d θ$ を用いる。

$\iint_{D} x^{2} + y^{2} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} r \cdot r d r d θ$

$= \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{2} r^{2} d r = 2 π \cdot [\frac{r ^{3}}{3}]_{0}^{2} = 2 π \cdot \frac{8}{3} = \frac{16 π}{3}$

$\iint_{D} (x + y) d A$ を計算せよ。ただし $D$ は頂点 $(0, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, 1)$ の三角形。

$D = {(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x}$

$\iint_{D} (x + y) d A = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (x + y) d y d x$

$= \int_{0}^{1} [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{1 - x} d x = \int_{0}^{1} (x (1 - x) + \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}) d x$

$= \int_{0}^{1} (x - x^{2} + \frac{1 - 2 x + x ^{2}}{2}) d x = \int_{0}^{1} (\frac{1}{2} - \frac{x ^{2}}{2}) d x$

$= [\frac{x}{2} - \frac{x ^{3}}{6}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

$\iint_{D} e^{(x - y) / (x + y)} d A$ を計算せよ。ただし $D$ は $x \geq 0$ , $y \geq 0$ , $1 \leq x + y \leq 2$ の領域。

$u = x + y$ , $v = x - y$ と変換する。 $x = \frac{u + v}{2}$ , $y = \frac{u - v}{2}$ 。

ヤコビアンは

$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( u , v )} = 1/2 1/2 1/2 - 1/2 = - \frac{1}{2}$

$∣ J ∣ = \frac{1}{2}$

$x \geq 0$ , $y \geq 0$ より $- u \leq v \leq u$ 。 $1 \leq u \leq 2$ 。

$\iint_{D} e^{v / u} \cdot \frac{1}{2} d u d v = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \int_{- u}^{u} e^{v / u} d v d u$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} [u e^{v / u}]_{- u}^{u} d u = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u (e - e^{- 1}) d u$

$= \frac{e - e ^{- 1}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 ( e - e ^{- 1} )}{4} = \frac{3 ( e ^{2} - 1 )}{4 e}$

$∭_{V} z d V$ を計算せよ。ただし $V$ は $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1$ , $z \geq 0$ の上半球。

球座標 $x = ρ sin ϕ cos θ$ , $y = ρ sin ϕ sin θ$ , $z = ρ cos ϕ$ , $d V = ρ^{2} sin ϕ d ρ d ϕ d θ$ 。

上半球は $0 \leq ρ \leq 1$ , $0 \leq ϕ \leq π /2$ , $0 \leq θ \leq 2 π$ 。

$∭_{V} z d V = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} ρ cos ϕ \cdot ρ^{2} sin ϕ d ρ d ϕ d θ$

$= 2 π \int_{0}^{π /2} sin ϕ cos ϕ d ϕ \int_{0}^{1} ρ^{3} d ρ = 2 π \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{4}$