逆関数定理の計算問題

逆関数定理の計算問題を通じて、逆写像の微分とヤコビ行列の関係を身につける。

問題1：1変数の逆関数の微分

$f(x)=x+e^x$ の逆関数 $f^{-1}$ について、$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)$ を求めよ。

解答1

$f(0)=0+e^0=1$ なので $f^{-1}(1)=0$。

逆関数の微分公式 $(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$ より

$f^{\prime }(x)=1+e^x$ なので $f^{\prime }(0)=2$。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{2}$$

問題2：逆関数定理の適用条件

$f(x)=x^3$ について、$x=0$ の近傍で逆関数定理は適用できるか。

解答2

$f^{\prime }(x)=3x^2$ であり、$f^{\prime }(0)=0$。

逆関数定理は $f^{\prime }(a)\ne 0$ を要求するため、$x=0$ では適用できない。

実際、$f(x)=x^3$ は全射かつ単射で逆関数 $f^{-1}(y)=y^{1/3}$ が存在するが、$(f^{-1}{)}^{\prime }(0)={\lim }_{y\to 0}\frac{y^{1/3}}{y}$ は発散し、$f^{-1}$ は $y=0$ で微分不可能。

問題3：2変数の極座標変換

$F(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ のヤコビ行列とヤコビアンを求めよ。また、逆写像の微分を求めよ。

解答3

$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$ のヤコビ行列は

$$J_F=\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$$

ヤコビアンは $\det J_F=r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$。

$r\ne 0$ で逆行列が存在し

$$J_F^{-1}=\frac{1}{r}\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & r\sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta /r& \cos \theta /r\end{array}\right)$$

これは $\frac{\partial r}{\partial x}=\cos \theta =\frac{x}{r}$ 等と一致する。

問題4：逆写像の存在

$F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$ について、点 $(1,1)$ の近傍で逆写像が存在するか判定せよ。

解答4

ヤコビ行列は

$$J_F=\left(\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right)$$

$(1,1)$ で

$$J_F(1,1)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 2\end{array}\right),\det J_F=4+4=8\ne 0$$

逆関数定理より、$(1,1)$ の近傍で局所的に逆写像が存在する。

$F(1,1)=(0,2)$ なので、$(0,2)$ の近傍で逆写像が定義される。

この $F$ は複素関数 $w=z^2$（$z=x+iy$, $w=u+iv$）に対応する。

問題5：ヤコビアンがゼロになる点

$F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$ でヤコビアンがゼロになる点を求め、その点での振る舞いを調べよ。

解答5

$\det J_F=4x^2+4y^2=4(x^2+y^2)=0$ となるのは原点 $(0,0)$ のみ。

原点で $F(0,0)=(0,0)$。逆関数定理は適用できない。

実際、$w=z^2$ では $z$ と $-z$ が同じ $w$ に移るため、原点の近傍で逆写像は一価にならない。$w=0$ の近傍では、$z=\pm \sqrt{w}$ と2つの分岐が生じる。

問題6：3変数の場合

$F(u,v,w)=(uv,vw,wu)$ のヤコビ行列を求め、点 $(1,1,1)$ で逆写像が存在するか判定せよ。

解答6

$$J_F=\left(\begin{array}{ccc}v& u& 0\\ 0& w& v\\ w& 0& u\end{array}\right)$$

$(1,1,1)$ で

$$J_F=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

行列式を計算：$\det J_F=1(1-0)-1(0-1)+0=1+1=2\ne 0$

逆関数定理より、$(1,1,1)$ の近傍で局所的に逆写像が存在する。

問題7：具体的な逆写像の微分

$F(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$ の点 $(0,0)$ におけるヤコビ行列の逆行列を求めよ。

解答7

$$J_F=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right)$$

$(0,0)$ で $J_F=8=I$。

したがって $J_F^{-1}=I$。

この $F$ は複素指数関数 $w=e^z$ に対応し、$(0,0)$ では $e^z$ の微分が $e^0=1$ であることを反映している。