逆写像はいつ作れるのか？逆関数定理とヤコビアンの計算問題

$F(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$ は、原点のまわりで逆写像を持ちます。ところが全体では持ちません。$y$ を $2\pi$ ずらすと同じ点へ移るからです。

逆関数定理が保証するのは局所的な逆だけ。判定はヤコビアンが $0$ でないかどうか、その $1$ 点で決まります^[1]。

以下は $14$ 問です。$1$ 変数から始め、極座標と球座標、複素関数に対応する写像、条件が崩れる点、そして定理の仮定を $1$ つ外すと壊れる例まで並べました。

定理と、微分の公式

$f$ が開集合で $C^1$ 級、点 $a$ でヤコビ行列 $Df(a)$ が正則とします^[1]。

このとき $a$ の近傍 $U$ と $f(a)$ の近傍 $V$ があって、$f:U\to V$ は全単射になり、逆写像も $C^1$ 級です。

逆写像の微分は、もとの微分の逆行列です。

$$D(f^{-1})(b)=(Df(a){)}^{-1},b=f(a)$$

$1$ 変数なら $(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}$ という見慣れた形になります。

ヤコビアンは局所的な面積や体積の拡大率です^[2]。$0$ になる点では図形がつぶれ、向きの情報も失われます。

問題 1：1 変数の逆関数の微分

$f(x)=x+e^x$ の逆関数について $(f^{-1}{)}^{\prime }(1)$ を求めよ。

解答 1

逆関数の値を先に押さえます。$f(0)=0+1=1$ なので $f^{-1}(1)=0$ です。

$f^{\prime }(x)=1+e^x$ で $f^{\prime }(0)=2$、$0$ ではありません。定理が使えます。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(1)=\frac{1}{f^{\prime }(0)}=\frac{1}{2}$$

$f^{-1}$ の式は書けません。それでも $1$ 点での微分は出ます。この点が定理の使いどころです。

問題 2：条件が崩れる点

$f(x)=x^3$ について、$x=0$ で逆関数定理が使えるか判定せよ。

解答 2

$f^{\prime }(x)=3x^2$ で $f^{\prime }(0)=0$ です。仮定が満たされないので、定理からは何も言えません。

実際には逆関数 $f^{-1}(y)=y^{1/3}$ が全体で存在します。ヤコビアンが $0$ でないことは、逆が存在するための必要条件ではありません^[3]。

崩れるのは結論の後半です。$y^{1/3}$ は $y=0$ で微分できません。

微分できる逆が存在したとすると、連鎖律から $(f^{-1}{)}^{\prime }(0)\cdot f^{\prime }(0)=1$ となり、左辺が $0$ になって矛盾します。$C^1$ 級の逆を求めるかぎり、仮定は外せません。

問題 3：極座標のヤコビ行列

$F(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ のヤコビ行列と行列式を求め、逆行列も出せ。

解答 3

各成分を $r$ と $\theta$ で偏微分して並べます。

$$DF=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)$$

行列式は $r{\cos }^2\theta +r{\sin }^2\theta =r$ です^[2]。$r\ne 0$ で正則になります。

逆行列は $\frac{1}{r}$ を掛けて成分を入れかえた形です。

$$(DF{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta /r& \cos \theta /r\end{array}\right)$$

第 $1$ 行は $\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}=\cos \theta$ などと合っています。原点では $r=0$ で、角度が決まらない点です。

問題 4：複素の 2 乗に対応する写像

$F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$ について、点 $(1,1)$ の近傍で逆写像が存在するか判定せよ。

解答 4

ヤコビ行列を書きます。

$$DF=\left(\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right)$$

$(1,1)$ では行列式が $4+4=8$ で $0$ ではありません。定理より局所的な逆が存在します。

$F(1,1)=(0,2)$ なので、逆写像は $(0,2)$ のまわりで定義されます。

この $F$ は $w=z^2$ にあたります。$z=1+i$ を $2$ 乗すると $2i$ で、いま出た $(0,2)$ と一致する。

問題 5：ヤコビアンが 0 になる点

同じ $F$ について、ヤコビアンが $0$ になる点を求め、そこでの振る舞いを調べよ。

解答 5

行列式は $4x^2+4y^2$ で、$0$ になるのは原点だけです。

$w=z^2$ では $z$ と $-z$ が同じ点へ移ります。原点のどんな近傍でも、$2$ 点が $1$ 点に重なる。

逆をとろうとすると $z=\pm \sqrt{w}$ で $2$ つに分かれます。一価な逆写像がとれません。

原点で角度が $2$ 倍に引き伸ばされ、面積の比が $0$ につぶれています。ヤコビアンが $0$ になるとは、そういう状況です。

問題 6：3 変数の写像

$F(u,v,w)=(uv,vw,wu)$ のヤコビ行列を求め、点 $(1,1,1)$ で逆写像が存在するか判定せよ。

解答 6

各成分を $u,v,w$ で偏微分します。

$$DF=\left(\begin{array}{ccc}v& u& 0\\ 0& w& v\\ w& 0& u\end{array}\right)$$

$(1,1,1)$ では第 $1$ 行で展開して $1(1-0)-1(0-1)+0=2$ です。$0$ でないので局所的な逆が存在します。

一般には行列式が $2uvw$ になります。どれか $1$ つでも $0$ なら座標軸上の点で、そこでは定理が使えません。

問題 7：複素指数に対応する写像

$F(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$ の点 $(0,0)$ でヤコビ行列とその逆行列を求めよ。

解答 7

$$DF=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right)$$

$(0,0)$ では単位行列になり、逆行列も単位行列です。

行列式は $e^{2x}$ で、どの点でも $0$ になりません。すべての点で局所的な逆が存在します。

$w=e^z$ にあたる写像で、$e^0=1$ の微分が $1$ であることが単位行列に出ています。

問題 8：局所と大域の違い

同じ $F$ が全単射でないことを示せ。

解答 8

$y$ を $2\pi$ 増やしても $\cos y$ と $\sin y$ は変わりません。$F(x,y)=F(x,y+2\pi )$ です。

ヤコビアンはどこでも $0$ でないのに、写像は $1$ 対 $1$ になりません。定理が言うのは局所的な逆だけです^[1]。

$y$ の範囲を幅 $2\pi$ 未満に切れば全単射になります。複素対数に分岐が要るのは、この事情です。

局所と大域を分ける。それがこの定理の性格です。ヤコビアンは $1$ 点の情報しか持ちません。

問題 9：球座標のヤコビアン

$x=\rho \sin \varphi \cos \theta$、$y=\rho \sin \varphi \sin \theta$、$z=\rho \cos \varphi$ のヤコビアンを求めよ。

解答 9

行列式を計算すると次の形になります^[2]。

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}={\rho }^2\sin \varphi$$

$\rho =0$ の原点と、$\varphi =0$ または $\varphi =\pi$ の軸上で $0$ になります。極座標のときの原点と同じ事情です。

体積要素が ${\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$ になるのは、この行列式が拡大率だからです。

問題 10：1 次変換で確かめる

$F(x,y)=(2x+y,x+3y)$ のヤコビアンを求め、面積の拡大率と一致することを確かめよ。

解答 10

$1$ 次変換なのでヤコビ行列は定数行列です。

$$DF=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right),\det DF=5$$

単位正方形の $4$ 頂点は $(0,0)$、$(2,1)$、$(1,3)$、$(3,4)$ へ移ります。この平行四辺形の面積は $2\cdot 3-1\cdot 1=5$ です。

拡大率がそのまま行列式になりました。一般の写像では、この比が点ごとに変わります。

問題 11：逆写像の微分を具体的に出す

$F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$ の $(1,1)$ における逆写像の微分を求めよ。

解答 11

問題 $4$ の行列の逆をとります。

$$DF(1,1)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 2& 2\end{array}\right)$$

$2$ 次の逆行列は、対角を入れかえて非対角の符号を変え、行列式で割る形です。

$$(DF{)}^{-1}=\frac{1}{8}\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1/4& 1/4\\ -1/4& 1/4\end{array}\right)$$

これが $(0,2)$ における $F^{-1}$ の微分です。$F^{-1}$ の式を書かずに求まりました。

問題 12：C^1 級を外すと壊れる

$f(x)=x+2x^2\sin \frac{1}{x}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ について、$f^{\prime }(0)\ne 0$ でも原点の近傍で単射にならないことを示せ。

解答 12

原点での微分を定義から出します。

$$\frac{f(h)}{h}=1+2h\sin \frac{1}{h}\to 1$$

$f^{\prime }(0)=1$ で $0$ ではありません。$x\ne 0$ での導関数は次の形です。

$$f^{\prime }(x)=1+4x\sin \frac{1}{x}-2\cos \frac{1}{x}$$

$x=\frac{1}{2\pi k}$ では $\cos \frac{1}{x}=1$、$\sin \frac{1}{x}=0$ となり、$f^{\prime }(x)=-1$ です。

原点にいくらでも近いところで導関数が負になります。増える区間と減る区間が無限に交互に現れるので、どんな近傍でも単射になりません。

$f^{\prime }$ が原点で連続でないことが原因です。$C^1$ 級という仮定は、$1$ 点での値だけでなく近くでの連続性まで要求しています^[1]。

問題 13：陰関数定理を導く

逆関数定理から陰関数定理を導け。

解答 13

$f(x,y)=0$ を $y$ について解きたいとします。補助的な写像を作ります^[3]。

$$\Phi (x,y)=(x,f(x,y))$$

$\Phi$ のヤコビ行列は、左上が単位行列、左下が $f_x$、右下が $f_y$ という形です。行列式は $\det f_y$ に等しくなります。

仮定から $f_y$ が正則なので、$\Phi$ に逆関数定理が使えます。局所的な逆 ${\Phi }^{-1}(x,z)=(x,\psi (x,z))$ がとれる。

$z=0$ と置いた $g(x)=\psi (x,0)$ が求める陰関数です。$2$ つの定理は同値で、どちらからでも他方が出ます^[4]。

問題 14：逆写像の 2 階の情報

$f(x)=x+e^x$ について $(f^{-1}{)}^{\prime \prime }(1)$ を求めよ。

解答 14

$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$ をもう一度微分します。合成と商が重なる形です。

$$(f^{-1}{)}^{\prime \prime }(y)=-\frac{f^{\prime \prime }(f^{-1}(y))}{[f^{\prime }(f^{-1}(y)){]}^3}$$

$f^{\prime \prime }=e^x$ で $f^{\prime \prime }(0)=1$、$f^{\prime }(0)=2$ です。

$$(f^{-1}{)}^{\prime \prime }(1)=-\frac{1}{8}$$

分母が $3$ 乗になる点が要です。$1$ 階の公式を微分すれば自然に出てきます。

つまずきやすいところ

判定そのものより、定理が何を言っていないかで誤ります。

ヤコビアンは $1$ 点の情報しか持たない。この線を引いておけば、局所と大域を混ぜずに済みます。

よくある誤り

判定はヤコビ行列式が $0$ かどうか、その $1$ 行だけ。あとは、結論が局所に限られることを忘れないだけです。

参考文献

^[1] が定理の主張・逆写像の微分・$C^1$ 級が要る理由、^[2] がヤコビ行列と行列式および極座標の例、^[3] が陰関数定理との関係、^[4] がフランス語での定式化と $2$ つの定理の同値性、^[5] がドイツ語での記述です。