n を大きくすると何が残るか〜数列の極限の計算問題

$\frac{n^2+3n+1}{2n^2-n+4}$ の極限は $\frac{1}{2}$ です。$n^2$ で割れば $3n$ も $4$ も消え、最高次の係数だけが残る。

数列の極限の計算は、消える項と残る項を見分ける作業です。手は限られていて、割る・有理化する・はさむ・単調性を言う、の $4$ つでほとんど片づきます^[1]。

以下は $15$ 問です。有理式から始め、根号の差、$e$ の形、階乗、漸化式、リーマン和、部分列まで並べました。

4 つの手

順に試す形になります。

$4$ つ目は値を出さずに存在だけを言う手です。単調で有界なら収束する、という定理を使います^[1]。

存在が分かってから漸化式に極限を代入すると、値が出ます。順序を逆にすると、存在しないものに式を当てることになる。

問題 1：有理式

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2+3n+1}{2n^2-n+4}$ を求めよ。

解答 1

分母分子を $n^2$ で割ります。

$$\frac{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}\to \frac{1}{2}$$

分母と分子の次数が同じなら、最高次の係数の比になります。分子の次数が低ければ $0$、高ければ発散です。

問題 2：根号の差

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$ を求めよ。

解答 2

$\infty -\infty$ の形なので、そのままでは判断できません。有理化します。

$$\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to \frac{1}{2}$$

差を分数に直すと、問題 $1$ の形に落ちます。根号の差が出たら有理化、が型です。

問題 3：e の形

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ を求めよ。

解答 3

${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m\to e$ を使います^[1]。$m=\frac{n}{2}$ と置きます。

$${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{2m}={\left[{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m\right]}^2\to e^2$$

$n=10^6$ で $7.389041$ となり、$e^2=7.389056$ に近づいています。

$1^{\infty }$ の形は不定形です。底が $1$ に近づく速さと指数の伸びの兼ね合いで決まります。

問題 4：階乗とべき

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}$ を求めよ。

解答 4

分子分母を項ごとに並べます。

$$\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n}$$

$2$ つ目以降はすべて $1$ 以下です。最初の因子だけ残して押さえます。

$$0<\frac{n!}{n^n}\le \frac{1}{n}\to 0$$

はさみうちで $0$ です。$n^n$ のほうが $n!$ より速く伸びる、と言いかえられます。

問題 5：単調有界を書き切る

$a_1=1$、$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ の極限を求めよ。

解答 5

先に存在を示します。上に有界であることを帰納法で言います。

$a_1=1<2$ です。$a_n<2$ なら $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{4}=2$ になります。

次に単調増加を示します。$a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=-(a_n-2)(a_n+1)$ で、$0<a_n<2$ なら正です。

単調増加で上に有界なので収束します^[1]。極限を $\alpha$ と置いて漸化式に入れます。

$$\alpha =\sqrt{2+\alpha },{\alpha }^2-\alpha -2=0$$

$\alpha =2$ か $\alpha =-1$ で、$a_n>0$ から $\alpha =2$ です。実際に $200$ 回反復すると $2.00000000$ になります。

存在を示さずに代入すると、収束しない数列にも値が出てしまいます。順序が要です。

問題 6：ε-N 論法

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$ を定義から示せ。

解答 6

任意の $\epsilon >0$ に対し、$N$ を $\frac{1}{\epsilon }$ より大きい整数にとります^[1]。

$n>N$ なら次が成り立ちます。

$$\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$$

$N$ が $\epsilon$ に応じて選べる、という順序が定義の中身です。$\epsilon$ を小さくするほど $N$ は大きくなります。

問題 7：n 乗根

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1$ を示せ。

解答 7

$\sqrt[n]{n}=1+h_n$ と置きます。$n\ge 1$ で $h_n\ge 0$ です。

両辺を $n$ 乗し、二項展開の第 $3$ 項だけを残して下から押さえます。

$$n=(1+h_n{)}^n\ge \frac{n(n-1)}{2}{h}_n^2$$

整理すると $h_n^2\le \frac{2}{n-1}$ で、$h_n\to 0$ です。

$n=10^6$ で $1.0000138$ になります。$n$ 乗根はどんな多項式でも $1$ に行く、が結論です。

問題 8：リーマン和に見る

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}$ を求めよ。

解答 8

各項を $\frac{1}{n}$ でくくります。

$$\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}$$

$\frac{1}{1+x^2}$ を $[0,1]$ で $n$ 等分したリーマン和です。

$$\to {\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{4}$$

$n=10^5$ で $0.785396$ となり、$\frac{\pi }{4}=0.785398$ に近づきます。

和が $\frac{1}{n}$ と $\frac{k}{n}$ で書けたら、積分に化けます。項ごとに極限をとると $0$ になってしまう点に注意します。

問題 9：スターリングを使う

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ を求めよ。

解答 9

スターリングの近似 $n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$ を使います^[2]。

$n$ 乗根をとると、根号の因子は $1$ に行きます。

$$\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\approx \frac{1}{e}\cdot (2\pi n{)}^{1/(2n)}\to \frac{1}{e}$$

$n=10^4$ で $0.368083$ となり、$\frac{1}{e}=0.367879$ に近づいています。

対数をとって平均に直す手もあります。$\frac{1}{n}\sum \ln \frac{k}{n}$ が ${\int }_0^1\ln xdx=-1$ に行く形です。

問題 10：無限積

$\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+\frac{1}{k^2}\right)$ が収束することを示せ。

解答 10

対数をとって和に直します。

$$\ln \prod _{k=1}^n\left(1+\frac{1}{k^2}\right)=\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k^2}\right)$$

$\ln (1+t)\le t$ なので、和は $\sum \frac{1}{k^2}$ で上から押さえられます。

この級数は収束するので、対数の側が有界です。単調増加でもあるので収束します。

値は $\frac{\sinh \pi }{\pi }=3.676078$ です。数値計算でも $3.67606$ まで一致します。

問題 11：コーシー列

$a_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}$ がコーシー列であることを示せ。

解答 11

$m>n$ として差を評価します。$k!\ge 2^{k-1}$ を使います。

$$|a_m-a_n|=\sum _{k=n+1}^m\frac{1}{k!}<\sum _{k=n+1}^{\infty }\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}$$

任意の $\epsilon >0$ に対し、$\frac{1}{2^{N-1}}<\epsilon$ となる $N$ をとれば条件が満たされます。

実数は完備なので収束します^[1]。極限は $e-1$ です。

極限の値を知らないまま収束が言えるところが、コーシー列の使いどころになります。

問題 12：チェザロ平均

$a_n\to L$ のとき、平均 $\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}$ も $L$ に収束することを示せ。

解答 12

$L=0$ の場合に帰着できます。$a_n-L$ を考えればよいからです。

$\epsilon >0$ に対し、$n>N$ で $|a_n|<\frac{\epsilon }{2}$ となる $N$ をとります。

和を $2$ つに割ります。前半は項数が $N$ で固定なので、$n$ で割れば $0$ に行く。後半は各項が $\frac{\epsilon }{2}$ 未満です。

$$\left|\frac{a_1+\cdots +a_n}{n}\right|\le \frac{|a_1|+\cdots +|a_N|}{n}+\frac{\epsilon }{2}$$

$n$ を十分大きくとれば全体が $\epsilon$ 未満になります。

逆は成り立ちません。$a_n=(-1{)}^n$ は収束しませんが、平均は $0$ に行きます。

問題 13：部分列で割れる

$a_n=(-1{)}^n\left(1+\frac{1}{n}\right)$ が収束しないことを示せ。

解答 13

偶数番目だけとると $1+\frac{1}{n}\to 1$ です。奇数番目は $-1$ に行きます。

収束する数列は、どの部分列も同じ値に収束します。$2$ つの部分列が違う値に行くので、全体は収束しない。

有界ではあるので、収束する部分列は存在します。集積点が $1$ と $-1$ の $2$ つある形です。

問題 14：有理数の範囲では極限が外へ出る

$b_1=1$、$b_{n+1}=\frac{b_n}{2}+\frac{1}{b_n}$ の極限を求め、有理数列であることを確かめよ。

解答 14

各項は有理数です。有理数を割ったり足したりしても有理数のままだからです。

極限を $\beta$ と置くと $\beta =\frac{\beta }{2}+\frac{1}{\beta }$ で、${\beta }^2=2$ になります。

$\beta =\sqrt{2}$ で、有理数ではありません。有理数の数列が有理数でない値に収束しています。

有理数の範囲では「収束する数列の極限がその中にある」とは限りません。実数の完備性が効くのは、まさにこの点です^[1]。

問題 15：項ごとの極限で誤る例

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n}$ を、項ごとに極限をとって求めるとどうなるか。

解答 15

各項は $\frac{1}{n}\to 0$ です。項ごとに極限をとると、$0$ を足しているように見えます。

ところが実際の和は $n\cdot \frac{1}{n}=1$ で、極限も $1$ です。

項数が $n$ とともに増えることが原因です。有限個の和なら項ごとに極限をとれますが、項数が動くときは使えません。

問題 $8$ でリーマン和として扱ったのも同じ事情です。項数と項の大きさの両方が動く和は、まとめて評価します。

つまずきやすいところ

手の順序と、極限の交換で誤ります。

まず不定形かどうかを見分け、次に $4$ つの手を順に当てる。当たらなければ、はさむか単調性へ回します。

よくある誤り

消える項と残る項を見分ける。それが数列の極限の計算のほとんどです。

参考文献

^[1] が数列の極限の定義・単調収束定理・はさみうち・コーシー列と完備性・$e$ の定義、^[2] がスターリングの近似、^[3] がドイツ語での定式化、^[4] がリーマン和と定積分、^[5] がチェザロ総和です。