数列の極限の計算問題

数列の極限の計算問題を通じて、様々な極限計算のテクニックを身につける。

問題1：基本的な極限

$n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 3 n + 1}{2 n ^{2} - n + 4}$ を求めよ。

解答1

分母・分子を $n^{2}$ で割る。

$\frac{n ^{2} + 3 n + 1}{2 n ^{2} - n + 4} = \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n ^{2}}}$

$n \to \infty$ で $\frac{1}{n}, \frac{1}{n ^{2}} \to 0$ なので

$n \to \infty lim \frac{n ^{2} + 3 n + 1}{2 n ^{2} - n + 4} = \frac{1 + 0 + 0}{2 - 0 + 0} = \frac{1}{2}$

問題2：根号を含む極限

$n \to \infty lim (n^{2} + n - n)$ を求めよ。

解答2

有理化する。

$n^{2} + n - n = \frac{( n ^{2} + n - n ) ( n ^{2} + n + n )}{n ^{2} + n + n} = \frac{n ^{2} + n - n ^{2}}{n ^{2} + n + n}$

$= \frac{n}{n ^{2} + n + n} = \frac{1}{1 + \frac{1}{n} + 1}$

$n \to \infty$ で

$n \to \infty lim (n^{2} + n - n) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

問題3：指数関数型

$n \to \infty lim (1 + \frac{2}{n})^{n}$ を求めよ。

解答3

$(1 + \frac{1}{m})^{m} \to e$ を利用する。 $m = \frac{n}{2}$ とおくと

$(1 + \frac{2}{n})^{n} = (1 + \frac{1}{m})^{2 m} = [(1 + \frac{1}{m})^{m}]^{2} \to e^{2}$

問題4：階乗を含む極限

$n \to \infty lim \frac{n !}{n ^{n}}$ を求めよ。

解答4

$\frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n}{n \cdot n \cdot n \dots n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \dots \frac{n}{n}$

各因子は $\frac{k}{n} \leq 1$ で、 $\frac{1}{n} \to 0$ なので

$0 \leq \frac{n !}{n ^{n}} \leq \frac{1}{n} \to 0$

はさみうちの原理より $n \to \infty lim \frac{n !}{n ^{n}} = 0$ 。

問題5：漸化式で定まる数列

$a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ で定まる数列 ${a_{n}}$ の極限を求めよ。

解答5

極限が存在すると仮定して $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ とおく。

$a_{n + 1} = 2 + a_{n}$ で $n \to \infty$ とすると $α = 2 + α$ 。

両辺を2乗して $α^{2} = 2 + α$ 、 $α^{2} - α - 2 = 0$ 、 $(α - 2) (α + 1) = 0$ 。

$a_{n} > 0$ より $α = 2$ 。

極限の存在は、 ${a_{n}}$ が単調増加かつ上に有界（ $a_{n} < 2$ ）であることから従う（証明略）。

問題6：積の極限

$n \to \infty lim k = 1 \prod n (1 + \frac{1}{k ^{2}})$ を求めよ。

解答6

$1 + \frac{1}{k ^{2}} = \frac{k ^{2} + 1}{k ^{2}} = \frac{( k - 1 ) ( k + 1 ) + 2}{k ^{2}}$

これは複雑なので別のアプローチを取る。

$k = 1 \prod n \frac{k ^{2} + 1}{k ^{2}} = k = 1 \prod n \frac{k ^{2} + 1}{k ^{2}}$

対数を取る： $\sum_{k = 1}^{n} ln (1 + \frac{1}{k ^{2}}) \approx \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2}}$ は収束（ $\to \frac{π ^{2}}{6}$ ）。

したがって積は有限値に収束する。正確な値は

$k = 1 \prod \infty (1 + \frac{1}{k ^{2}}) = \frac{sinh π}{π}$

問題7： $ε$ - $N$ 論法

$n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0$ を $ε$ - $N$ 論法で示せ。

解答7

任意の $ε > 0$ に対して、 $N = ⌈ \frac{1}{ε} ⌉$ （ $\frac{1}{ε}$ 以上の最小の整数）と取る。

$n > N$ のとき

$\frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} \leq ε$

よって $n \to \infty lim \frac{1}{n} = 0$ 。

問題8：Cauchy列

$a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k !}$ が Cauchy 列であることを示せ。

解答8

$m > n$ のとき

$∣ a_{m} - a_{n} ∣ = k = n + 1 \sum m \frac{1}{k !} < k = n + 1 \sum m \frac{1}{2 ^{k - 1}} < k = n + 1 \sum \infty \frac{1}{2 ^{k - 1}} = \frac{1}{2 ^{n - 1}}$

$k! \geq 2^{k - 1}$ （ $k \geq 1$ ）を用いた。

任意の $ε > 0$ に対して、 $N$ を $\frac{1}{2 ^{N - 1}} < ε$ となるよう取れば、 $m > n > N$ で $∣ a_{m} - a_{n} ∣ < ε$ 。

よって ${a_{n}}$ は Cauchy 列であり、 $R$ の完備性から収束する（極限は $e - 1$ ）。