微分の基本計算問題

微分の基本計算を様々なパターンで練習する。合成関数、対数微分法、媒介変数表示などの技法を身につける。

問題1：合成関数の微分

$f(x)=\sin (x^2+1)$ を微分せよ。

解答1

連鎖律を適用する。外側の関数は $\sin u$、内側は $u=x^2+1$。

$$f^{\prime }(x)=\cos (x^2+1)\cdot 2x=2x\cos (x^2+1)$$

問題2：3重の合成

$f(x)=e^{\sin (\ln x)}$ を微分せよ。

解答2

外から順に微分して連鎖律を適用する。

$$f^{\prime }(x)=e^{\sin (\ln x)}\cdot \cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}=\frac{e^{\sin (\ln x)}\cos (\ln x)}{x}$$

問題3：積の微分

$f(x)=x^2{e}^x\sin x$ を微分せよ。

解答3

積の微分 $(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$ を適用する。

$$f^{\prime }(x)=2x\cdot e^x\sin x+x^2\cdot e^x\sin x+x^2{e}^x\cdot \cos x$$

$$=x{e}^x(2\sin x+x\sin x+x\cos x)=x{e}^x((2+x)\sin x+x\cos x)$$

問題4：商の微分

$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ を微分せよ。

解答4

商の微分 ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ を適用する。

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{2x(x^2-1-x^2-1)}{(x^2-1{)}^2}$$

$$=\frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}$$

問題5：対数微分法

$y=x^x$（$x>0$）を微分せよ。

解答5

両辺の対数を取る。$\ln y=x\ln x$

両辺を $x$ で微分する。$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$

$$y^{\prime }=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1)$$

問題6：対数微分法（複雑な積）

$y=\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1{)}^3}$（$x>1$）を微分せよ。

解答6

$\ln y=2\ln x+\frac{1}{2}\ln (x+1)-3\ln (x-1)$

両辺を微分する。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{3}{x-1}$$

$$y^{\prime }=\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1{)}^3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{3}{x-1}\right)$$

問題7：媒介変数表示

$x=t-\sin t$, $y=1-\cos t$ のとき、$\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

解答7

$$\frac{dx}{dt}=1-\cos t,\frac{dy}{dt}=\sin t$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

半角の公式を使うと $\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}{2{\sin }^2\frac{t}{2}}=\cot \frac{t}{2}$

問題8：媒介変数の2階微分

問題7の曲線について $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を求めよ。

解答8

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$ を $t$ で微分する。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin t\cdot \sin t}{(1-\cos t{)}^2}=\frac{\cos t-1}{(1-\cos t{)}^2}=\frac{-1}{1-\cos t}$$

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-1/(1-\cos t)}{1-\cos t}=\frac{-1}{(1-\cos t{)}^2}$$

問題9：逆三角関数

$f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ を微分せよ。

解答9

$u=\frac{1-x}{1+x}$ とおく。

$$u^{\prime }=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x{)}^2}=\frac{-2}{(1+x{)}^2}$$

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }=\frac{1}{1+\frac{(1-x{)}^2}{(1+x{)}^2}}\cdot \frac{-2}{(1+x{)}^2}$$

$$=\frac{(1+x{)}^2}{(1+x{)}^2+(1-x{)}^2}\cdot \frac{-2}{(1+x{)}^2}=\frac{-2}{2(1+x^2)}=\frac{-1}{1+x^2}$$

実は $\arctan \frac{1-x}{1+x}=\frac{\pi }{4}-\arctan x$ なので、微分が $-\frac{1}{1+x^2}$ となるのは当然。

問題10：双曲線関数

$f(x)=\mathrm{arcsinh}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ を微分せよ。

解答10

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$$

$$=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$