微分の基本計算を様々なパターンで練習する。合成関数、対数微分法、媒介変数表示などの技法を身につける。
問題1：合成関数の微分
f(x)=sin(x2+1) を微分せよ。
解答1
連鎖律を適用する。外側の関数は sinu、内側は u=x2+1。
f′(x)=cos(x2+1)⋅2x=2xcos(x2+1)
問題2：3重の合成
f(x)=esin(lnx) を微分せよ。
解答2
外から順に微分して連鎖律を適用する。
f′(x)=esin(lnx)⋅cos(lnx)⋅x1=xesin(lnx)cos(lnx)
問題3：積の微分
f(x)=x2exsinx を微分せよ。
解答3
積の微分 (uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′ を適用する。
f′(x)=2x⋅exsinx+x2⋅exsinx+x2ex⋅cosx
=xex(2sinx+xsinx+xcosx)=xex((2+x)sinx+xcosx)
問題4：商の微分
f(x)=x2−1x2+1 を微分せよ。
解答4
商の微分 (vu)′=v2u′v−uv′ を適用する。
f′(x)=(x2−1)22x(x2−1)−(x2+1)⋅2x=(x2−1)22x(x2−1−x2−1)
=(x2−1)2−4x
問題5：対数微分法
y=xx（x>0）を微分せよ。
解答5
両辺の対数を取る。lny=xlnx
両辺を x で微分する。yy′=lnx+x⋅x1=lnx+1
y′=y(lnx+1)=xx(lnx+1)
問題6：対数微分法（複雑な積）
y=(x−1)3x2x+1（x>1）を微分せよ。
解答6
lny=2lnx+21ln(x+1)−3ln(x−1)
両辺を微分する。
yy′=x2+2(x+1)1−x−13
y′=(x−1)3x2x+1(x2+2(x+1)1−x−13)
問題7：媒介変数表示
x=t−sint, y=1−cost のとき、dxdy を求めよ。
解答7
dtdx=1−cost,dtdy=sint
dxdy=dx/dtdy/dt=1−costsint
半角の公式を使うと 1−costsint=2sin22t2sin2tcos2t=cot2t
問題8：媒介変数の2階微分
問題7の曲線について dx2d2y を求めよ。
解答8
dx2d2y=dxd(dxdy)=dtdxdtd(dxdy)
dxdy=1−costsint を t で微分する。
dtd(1−costsint)=(1−cost)2cost(1−cost)−sint⋅sint=(1−cost)2cost−1=1−cost−1
dx2d2y=1−cost−1/(1−cost)=(1−cost)2−1
問題9：逆三角関数
f(x)=arctan1+x1−x を微分せよ。
解答9
u=1+x1−x とおく。
u′=(1+x)2−(1+x)−(1−x)=(1+x)2−2
f′(x)=1+u21⋅u′=1+(1+x)2(1−x)21⋅(1+x)2−2
=(1+x)2+(1−x)2(1+x)2⋅(1+x)2−2=2(1+x2)−2=1+x2−1
実は arctan1+x1−x=4π−arctanx なので、微分が −1+x21 となるのは当然。
問題10：双曲線関数
f(x)=arcsinh(x)=ln(x+x2+1) を微分せよ。
解答10
f′(x)=x+x2+11⋅(1+x2+1x)
=x+x2+11⋅x2+1x2+1+x=x2+11
