微分の基本計算で落ちるのは連鎖律のいちばん内側の因子

$e^{\sin (\ln x)}$ を微分すると、外側から $3$ 回ぶんの因子が掛かります。落としやすいのは真ん中の $\cos (\ln x)$ ではなく、いちばん内側の $\frac{1}{x}$ のほう。

微分の計算で誤るところは決まっています。連鎖律の内側を落とす、対数微分法で $y$ を掛け戻し忘れる、媒介変数で $2$ 階微分の分母を間違える。この $3$ つです^[1]。

以下は $15$ 問です。連鎖律から始め、積と商、対数微分法、媒介変数表示、逆関数の微分、微分できない点まで並べました。

3 つの規則

覚えるのは $3$ つで、あとは組み合わせです。

連鎖律をライプニッツの記法で書くと、分数の約分のように見えます^[1]。実際には約分ではありませんが、$3$ 段でも $4$ 段でも同じ形で伸びる。

問題 1：合成関数

$f(x)=\sin (x^2+1)$ を微分せよ。

解答 1

外側が $\sin u$、内側が $u=x^2+1$ です。

$$f^{\prime }(x)=\cos (x^2+1)\cdot 2x=2x\cos (x^2+1)$$

内側の微分 $2x$ を掛けるところが連鎖律です。$\cos (x^2+1)$ で止めると誤りになります。

問題 2：3 段の合成

$f(x)=e^{\sin (\ln x)}$ を微分せよ。

解答 2

外から順に微分し、すべて掛けます。

$$f^{\prime }(x)=e^{\sin (\ln x)}\cdot \cos (\ln x)\cdot \frac{1}{x}$$

段の数だけ因子が並びます。$4$ 段でも $5$ 段でも、内側へ進むごとに $1$ つ増えるだけです。

問題 3：3 つの積

$f(x)=x^2{e}^x\sin x$ を微分せよ。

解答 3

$3$ つの積では、$1$ つずつ微分して足します。

$$f^{\prime }(x)=2x{e}^x\sin x+x^2{e}^x\sin x+x^2{e}^x\cos x$$

共通因子でくくると見やすくなります。

$$f^{\prime }(x)=x{e}^x((2+x)\sin x+x\cos x)$$

$n$ 個の積なら $n$ 項です。項数が増えるときは、次の問題の対数微分法へ切りかえます。

問題 4：商

$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}$ を微分せよ。

解答 4

商の公式に入れます。分子の順序に注意します。

$$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x^2-1)-(x^2+1)\cdot 2x}{(x^2-1{)}^2}=\frac{-4x}{(x^2-1{)}^2}$$

$2x$ でくくると括弧の中が $-2$ になり、大きく簡単になりました。展開してから整理するより、くくるほうが速い。

問題 5：対数微分法の基本

$y=x^x$（$x>0$）を微分せよ。

解答 5

底も指数も $x$ なので、べき関数の公式も指数関数の公式も使えません。両辺の対数をとります^[2]。

$$\ln y=x\ln x$$

両辺を微分します。左辺には連鎖律が掛かり、$\frac{y^{\prime }}{y}$ になる。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$$

$$y^{\prime }=x^x(\ln x+1)$$

最後に $y$ を掛け戻すのを忘れないところが要です。$\frac{y^{\prime }}{y}$ で止めると答えになりません。

問題 6：対数微分法で積を分ける

$y=\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1{)}^3}$（$x>1$）を微分せよ。

解答 6

対数をとると、積と商が和と差になります^[2]。

$$\ln y=2\ln x+\frac{1}{2}\ln (x+1)-3\ln (x-1)$$

微分すると、各項が $\frac{1}{\text{中身}}$ の形になる。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{3}{x-1}$$

$$y^{\prime }=\frac{x^2\sqrt{x+1}}{(x-1{)}^3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{2(x+1)}-\frac{3}{x-1}\right)$$

商の公式を直接使うと、分母が $(x-1{)}^6$ まで膨らみます。因子が $3$ つ以上なら対数微分法のほうが速い。

問題 7：媒介変数表示

$x=t-\sin t$、$y=1-\cos t$ について $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

解答 7

半径 $1$ の円が転がる軌跡、サイクロイドです^[3]。

$t$ での微分を先に出します。

$$\frac{dx}{dt}=1-\cos t,\frac{dy}{dt}=\sin t$$

割り算で $t$ が消えます。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$$

半角の公式で整理すると $\cot \frac{t}{2}$ です^[3]。$t\to 0$ で発散し、そこが尖点にあたります。

問題 8：媒介変数の 2 階微分

問題 $7$ の曲線について $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を求めよ。

解答 8

$\frac{dy}{dx}$ をもう一度 $t$ で微分し、それを $\frac{dx}{dt}$ で割ります。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

分子を計算します。

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\sin t}{1-\cos t}\right)=\frac{\cos t(1-\cos t)-{\sin }^{2}t}{(1-\cos t{)}^2}=\frac{-1}{1-\cos t}$$

$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$ で割って次を得ます。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-1}{(1-\cos t{)}^2}$$

分母で割るのを忘れると $\frac{-1}{1-\cos t}$ で止まります。$2$ 階微分でいちばん多い誤りです。

問題 9：逆三角関数

$f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ を微分せよ。

解答 9

$u=\frac{1-x}{1+x}$ と置きます。商の微分で $u^{\prime }=\frac{-2}{(1+x{)}^2}$ です。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }=\frac{(1+x{)}^2}{(1+x{)}^2+(1-x{)}^2}\cdot \frac{-2}{(1+x{)}^2}$$

分母を展開すると $2(1+x^2)$ になり、$(1+x{)}^2$ が約分されます。

$$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{1+x^2}$$

答えが $\arctan x$ の微分の符号違いになりました。実際 $x>-1$ では $f(x)=\frac{\pi }{4}-\arctan x$ です。

問題 10：逆双曲線関数

$f(x)=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ を微分せよ。

解答 10

対数の中を $u$ と置きます。$u^{\prime }=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ です。

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

分子と分母で $x+\sqrt{x^2+1}$ が約分されます。この関数は $\mathrm{arsinh}x$ で、導関数はいまの形です^[4]。

問題 11：逆関数の微分

$f(x)=x^5+x+1$ の逆関数について $(f^{-1}{)}^{\prime }(3)$ を求めよ。

解答 11

$f(1)=1+1+1=3$ なので $f^{-1}(3)=1$ です。

$f^{\prime }(x)=5x^4+1$ で $f^{\prime }(1)=6$ になります。

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(3)=\frac{1}{f^{\prime }(1)}=\frac{1}{6}$$

$f^{-1}$ の式は $5$ 次方程式を解くことになり書けません。それでも $1$ 点での微分は出ます。

問題 12：絶対値を含む関数

$f(x)=x|x|$ が $x=0$ で微分可能かを調べ、導関数を求めよ。

解答 12

定義から差分商を見ます。

$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{h|h|}{h}=|h|\to 0$$

$f^{\prime }(0)=0$ で微分できます。$x>0$ では $f=x^2$ で $f^{\prime }=2x$、$x<0$ では $f=-x^2$ で $f^{\prime }=-2x$ です。

まとめると $f^{\prime }(x)=2|x|$ になります。$1$ 階は微分できますが、$f^{\prime }$ は $x=0$ で微分できません。

$|x|$ そのものは $x=0$ で微分できません。左右の差分商が $-1$ と $1$ に分かれるからです。

問題 13：微分できるのに導関数が連続でない

$f(x)=x^2\sin \frac{1}{x}$（$x\ne 0$）、$f(0)=0$ の導関数を求め、$x=0$ での連続性を調べよ。

解答 13

原点では差分商が $h\sin \frac{1}{h}$ で、$0$ に収束します。$f^{\prime }(0)=0$ です。

$x\ne 0$ では積と連鎖律を使います。

$$f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$$

$x\to 0$ で第 $1$ 項は $0$ に行きますが、第 $2$ 項は $-1$ と $1$ のあいだを振動します。極限がありません。

$f^{\prime }$ は原点で定義されているのに連続でない。微分可能性と導関数の連続性は別の条件です。

問題 14：高階微分の一般項

$f(x)=\frac{1}{1-x}$ の $n$ 階導関数を求めよ。

解答 14

$1$ 階から順に出します。$f^{\prime }(x)=(1-x{)}^{-2}$、$f^{\prime \prime }(x)=2(1-x{)}^{-3}$、$f^{\prime \prime \prime }(x)=6(1-x{)}^{-4}$ です。

規則が見えました。微分するたびに指数が $1$ 下がり、その絶対値が係数に掛かる。

$$f^{(n)}(x)=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$$

内側の微分 $-1$ と、外側から出る負号が打ち消し合うので、符号はつねに正です。

$x=0$ を入れると $f^{(n)}(0)=n!$ で、マクローリン係数は $1$ になります。$\frac{1}{1-x}$ の展開が等比級数であることと合っています。

問題 15：ライプニッツの公式

$f(x)=x^2{e}^x$ の $n$ 階導関数を求めよ。

解答 15

積の高階微分には二項係数が出ます。

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

$u=x^2$ は $3$ 階以上で $0$ になるので、和は $3$ 項で止まります。

$$f^{(n)}(x)=e^x\left(x^2+2nx+n(n-1)\right)$$

$n=1$ で $e^x(x^2+2x)$、$n=2$ で $e^x(x^2+4x+2)$ です。直接 $2$ 回微分した結果と合います。

多項式と指数の積では、この公式が効きます。片方が有限回で消えるからです。

つまずきやすいところ

計算そのものより、規則の当て方で誤ります。

規則を当てる前に、どの形かを見分ける。合成なのか積なのか、それだけ決まれば手は自動的に決まります。

よくある誤り

どの規則を当てるかは、式の形だけで決まる。そこを見分けてから手を動かせば、あとは代入です。

参考文献

^[1] が連鎖律とライプニッツ記法での書き方、^[2] が対数微分法と積を和に直す仕組み、^[3] がサイクロイドの媒介変数表示・尖点・弧長と面積、^[4] が逆双曲線関数の対数表示と導関数、^[5] がライプニッツの公式と高階微分です。