ロピタルの定理の計算問題

ロピタルの定理を用いた極限計算の問題を練習する。不定形の判定と適用条件に注意する。

問題1：$\frac{0}{0}$ 型

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$ を求めよ。

解答1

$x\to 0$ で分子・分母ともに $0$ に収束するので $\frac{0}{0}$ 型。ロピタルの定理を適用。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{3x^2}$$

まだ $\frac{0}{0}$ 型なので再度適用。

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin x}{6x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\cos x}{6}=-\frac{1}{6}$$

問題2：$\frac{\infty }{\infty }$ 型

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{e^x}$ を求めよ。

解答2

$x\to \infty$ で分子・分母ともに $\infty$ なので $\frac{\infty }{\infty }$ 型。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{e^x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{e^x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2}{e^x}=0$$

指数関数は多項式より速く増大する。

問題3：$0\cdot \infty$ 型

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x$ を求めよ。

解答3

$x\to 0^{+}$ で $x\to 0$, $\ln x\to -\infty$ なので $0\cdot \infty$ 型。変形して $\frac{\infty }{\infty }$ 型にする。

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{1/x}$$

ロピタルの定理を適用。

$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(-x)=0$$

問題4：$\infty -\infty$ 型

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ を求めよ。

解答4

通分して $\frac{0}{0}$ 型にする。

$$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\sin x}{x\sin x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{\sin x+x\cos x}$$

$$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{\cos x+\cos x-x\sin x}=\frac{0}{2}=0$$

問題5：$1^{\infty }$ 型

$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}$ を求めよ。

解答5

$y=(1+x{)}^{1/x}$ とおき、$\ln y=\frac{\ln (1+x)}{x}$ を考える。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1/(1+x)}{1}=1$$

$\ln y\to 1$ より $y\to e$。

問題6：$0^0$ 型

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^x$ を求めよ。

解答6

$y=x^x$ とおき、$\ln y=x\ln x$。問題3より $x\ln x\to 0$。

$\ln y\to 0$ より $y\to e^0=1$。

問題7：${\infty }^0$ 型

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{1/x}$ を求めよ。

解答7

$y=x^{1/x}$ とおき、$\ln y=\frac{\ln x}{x}$。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1/x}{1}=0$$

$\ln y\to 0$ より $y\to 1$。

問題8：ロピタル適用不可の例

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}$ を求めよ。

解答8

ロピタルを形式的に適用すると $\lim \frac{1+\cos x}{1}$ となるが、$\cos x$ は振動して極限が存在しない。

しかし元の極限は存在する。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{\sin x}{x}\right)=1+0=1$$

ロピタルの定理は「微分した極限が存在すれば」使えるが、存在しなくても元の極限は存在しうる。

問題9：繰り返し適用

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$ を求めよ。

解答9

3回ロピタルを適用する。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{3x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{6x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{6}=\frac{1}{6}$$

これは $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$ のテイラー展開からも確認できる。

問題10：三角関数の極限

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$ を求めよ。

解答10

$$\tan x-\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x=\sin x\cdot \frac{1-\cos x}{\cos x}$$

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{1}{\cos x}$$

$\frac{\sin x}{x}\to 1$, $\frac{1-\cos x}{x^2}\to \frac{1}{2}$, $\frac{1}{\cos x}\to 1$

答えは $1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$