平均値の定理を用いて不等式を証明する問題を練習する。定理の幾何学的意味を理解して応用する。
問題1：基本的な不等式
x>0 のとき ln(1+x)<x を示せ。
解答1
f(t)=ln(1+t) に対して、区間 [0,x] で平均値の定理を適用する。
ある c∈(0,x) が存在して
x−0f(x)−f(0)=f′(c)
f(0)=0, f′(t)=1+t1 より
xln(1+x)=1+c1
0<c<x より 1+c>1 なので 1+c1<1。
したがって ln(1+x)<x。
問題2：両側からの評価
x>0 のとき 1+xx<ln(1+x)<x を示せ。
解答2
上界は問題1で示した。下界を示す。
f(t)=ln(1+t) に平均値の定理を適用すると、xln(1+x)=1+c1（0<c<x）。
c<x より 1+c<1+x なので 1+c1>1+x1。
したがって ln(1+x)>1+xx。
問題3：三角関数の不等式
0<x<2π のとき sinx<x を示せ。
解答3
f(t)=sint に区間 [0,x] で平均値の定理を適用。
x−0sinx−0=cosc(0<c<x)
0<c<2π で cosc<1 なので xsinx<1、よって sinx<x。
問題4：指数関数の不等式
x>0 のとき ex>1+x を示せ。
解答4
f(t)=et に区間 [0,x] で平均値の定理を適用。
xex−1=ec(0<c<x)
c>0 より ec>1 なので xex−1>1、よって ex>1+x。
問題5：Cauchyの平均値の定理
a<b のとき b−aeb−ea<2eb+ea を示せ。
解答5
f(t)=et に平均値の定理を適用すると、ある c∈(a,b) で
b−aeb−ea=ec
et は凸関数なので、c∈(a,b) に対して
ec<2ea+eb
（凸関数では、区間内の点での値は端点の値の平均より小さい）
したがって b−aeb−ea<2ea+eb。
問題6：n 乗根の評価
n≥1 のとき nn+1−nn<nnnn−11 を示せ。
解答6
f(t)=t1/n に区間 [n,n+1] で平均値の定理を適用。
(n+1)1/n−n1/n=f′(c)⋅1=n1c1/n−1(n<c<n+1)
c>n より c1/n−1<n1/n−1=n(1−n)/n。
(n+1)1/n−n1/n<n1⋅n(1−n)/n=n⋅n(n−1)/n1=nnnn−11
問題7：逆三角関数
0<a<b のとき 1+b2b−a<arctanb−arctana<1+a2b−a を示せ。
解答7
f(t)=arctant に平均値の定理を適用。
arctanb−arctana=1+c21(b−a)(a<c<b)
a<c<b より 1+a2<1+c2<1+b2。
したがって 1+b21<1+c21<1+a21。
これに (b−a) を掛けて結論を得る。
問題8：2つの関数の比較
x>0 のとき ex>1−x+x2(1+x)2 を示せ（ただし x<1）。
解答8
ln(1+x)>1+xx（問題2）と ln(1−x+x2)<1−x+x2−x+x2⋅2（やや複雑）を組み合わせる。
より直接的に：f(x)=ex(1−x+x2)−(1+x)2 とおき、f(0)=0, f′(x)>0（x>0）を示す方法もある。
f′(x)=ex(1−x+x2)+ex(−1+2x)−2(1+x)=ex(x2+x)−2(1+x)=(1+x)(xex−2)
x>0 で xex>0 だが、xex>2 かどうかは x による。この問題は別のアプローチが必要。
問題9：Lipschitz条件
∣f′(x)∣≤M ならば ∣f(x)−f(y)∣≤M∣x−y∣ を示せ。
解答9
x<y として平均値の定理を適用。ある c∈(x,y) で
f(y)−f(x)=f′(c)(y−x)
∣f′(c)∣≤M より
∣f(y)−f(x)∣=∣f′(c)∣∣y−x∣≤M∣y−x∣
x>y でも同様。これが Lipschitz 連続性の証明である。
