平均値の定理の応用問題

平均値の定理を用いて不等式を証明する問題を練習する。定理の幾何学的意味を理解して応用する。

問題1：基本的な不等式

$x > 0$ のとき $ln (1 + x) < x$ を示せ。

解答1

$f (t) = ln (1 + t)$ に対して、区間 $[0, x]$ で平均値の定理を適用する。

ある $c \in (0, x)$ が存在して

$\frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = f^{'} (c)$

$f (0) = 0$ , $f^{'} (t) = \frac{1}{1 + t}$ より

$\frac{ln ( 1 + x )}{x} = \frac{1}{1 + c}$

$0 < c < x$ より $1 + c > 1$ なので $\frac{1}{1 + c} < 1$ 。

したがって $ln (1 + x) < x$ 。

問題2：両側からの評価

$x > 0$ のとき $\frac{x}{1 + x} < ln (1 + x) < x$ を示せ。

解答2

上界は問題1で示した。下界を示す。

$f (t) = ln (1 + t)$ に平均値の定理を適用すると、 $\frac{l n ( 1 + x )}{x} = \frac{1}{1 + c}$ （ $0 < c < x$ ）。

$c < x$ より $1 + c < 1 + x$ なので $\frac{1}{1 + c} > \frac{1}{1 + x}$ 。

したがって $ln (1 + x) > \frac{x}{1 + x}$ 。

問題3：三角関数の不等式

$0 < x < \frac{π}{2}$ のとき $sin x < x$ を示せ。

解答3

$f (t) = sin t$ に区間 $[0, x]$ で平均値の定理を適用。

$\frac{sin x - 0}{x - 0} = cos c (0 < c < x)$

$0 < c < \frac{π}{2}$ で $cos c < 1$ なので $\frac{s i n x}{x} < 1$ 、よって $sin x < x$ 。

問題4：指数関数の不等式

$x > 0$ のとき $e^{x} > 1 + x$ を示せ。

解答4

$f (t) = e^{t}$ に区間 $[0, x]$ で平均値の定理を適用。

$\frac{e ^{x} - 1}{x} = e^{c} (0 < c < x)$

$c > 0$ より $e^{c} > 1$ なので $\frac{e ^{x} - 1}{x} > 1$ 、よって $e^{x} > 1 + x$ 。

問題5：Cauchyの平均値の定理

$a < b$ のとき $\frac{e ^{b} - e ^{a}}{b - a} < \frac{e ^{b} + e ^{a}}{2}$ を示せ。

解答5

$f (t) = e^{t}$ に平均値の定理を適用すると、ある $c \in (a, b)$ で

$\frac{e ^{b} - e ^{a}}{b - a} = e^{c}$

$e^{t}$ は凸関数なので、 $c \in (a, b)$ に対して

$e^{c} < \frac{e ^{a} + e ^{b}}{2}$

（凸関数では、区間内の点での値は端点の値の平均より小さい）

したがって $\frac{e ^{b} - e ^{a}}{b - a} < \frac{e ^{a} + e ^{b}}{2}$ 。

問題6： $n$ 乗根の評価

$n \geq 1$ のとき $n n + 1 - n n < \frac{1}{n n n ^{n - 1}}$ を示せ。

解答6

$f (t) = t^{1/ n}$ に区間 $[n, n + 1]$ で平均値の定理を適用。

$(n + 1)^{1/ n} - n^{1/ n} = f^{'} (c) \cdot 1 = \frac{1}{n} c^{1/ n - 1} (n < c < n + 1)$

$c > n$ より $c^{1/ n - 1} < n^{1/ n - 1} = n^{(1 - n) / n}$ 。

$(n + 1)^{1/ n} - n^{1/ n} < \frac{1}{n} \cdot n^{(1 - n) / n} = \frac{1}{n \cdot n ^{(n - 1) / n}} = \frac{1}{n n n ^{n - 1}}$

問題7：逆三角関数

$0 < a < b$ のとき $\frac{b - a}{1 + b ^{2}} < arctan b - arctan a < \frac{b - a}{1 + a ^{2}}$ を示せ。

解答7

$f (t) = arctan t$ に平均値の定理を適用。

$arctan b - arctan a = \frac{1}{1 + c ^{2}} (b - a) (a < c < b)$

$a < c < b$ より $1 + a^{2} < 1 + c^{2} < 1 + b^{2}$ 。

したがって $\frac{1}{1 + b ^{2}} < \frac{1}{1 + c ^{2}} < \frac{1}{1 + a ^{2}}$ 。

これに $(b - a)$ を掛けて結論を得る。

問題8：2つの関数の比較

$x > 0$ のとき $e^{x} > \frac{( 1 + x ) ^{2}}{1 - x + x ^{2}}$ を示せ（ただし $x < 1$ ）。

解答8

$ln (1 + x) > \frac{x}{1 + x}$ （問題2）と $ln (1 - x + x^{2}) < \frac{- x + x ^{2}}{1 - x + x ^{2}} \cdot 2$ （やや複雑）を組み合わせる。

より直接的に： $f (x) = e^{x} (1 - x + x^{2}) - (1 + x)^{2}$ とおき、 $f (0) = 0$ , $f^{'} (x) > 0$ （ $x > 0$ ）を示す方法もある。

$f^{'} (x) = e^{x} (1 - x + x^{2}) + e^{x} (- 1 + 2 x) - 2 (1 + x) = e^{x} (x^{2} + x) - 2 (1 + x) = (1 + x) (x e^{x} - 2)$

$x > 0$ で $x e^{x} > 0$ だが、 $x e^{x} > 2$ かどうかは $x$ による。この問題は別のアプローチが必要。

問題9：Lipschitz条件

$∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ ならば $∣ f (x) - f (y) ∣ \leq M ∣ x - y ∣$ を示せ。

解答9

$x < y$ として平均値の定理を適用。ある $c \in (x, y)$ で

$f (y) - f (x) = f^{'} (c) (y - x)$

$∣ f^{'} (c) ∣ \leq M$ より

$∣ f (y) - f (x) ∣ = ∣ f^{'} (c) ∣∣ y - x ∣ \leq M ∣ y - x ∣$

$x > y$ でも同様。これが Lipschitz 連続性の証明である。