平均値の定理の応用問題｜不等式・単調性・リプシッツ条件・反例

平均値の定理は、区間の両端を結ぶ弦と同じ傾きを持つ接線が内部に必ずある、という主張である。

$f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能なら、ある $c\in (a,b)$ が存在して次が成り立つ。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$$

$c$ の存在だけが言えて、位置は分からない。この形のまま $f^{\prime }$ を上下から押さえるのが、不等式の証明の基本の型である。

<svg viewBox="0 0 460 240" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="60" y1="210" x2="400" y2="210" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="80" y1="190" x2="380" y2="80" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1" stroke-dasharray="5 3"></line>
	<line x1="160" y1="150" x2="350" y2="81" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></line>
	<polyline points="80,190 120,178 160,160 200,140 240,122 280,108 320,96 380,80" fill="none" stroke="#1f1f1f" stroke-width="2"></polyline>
	<line x1="245" y1="119" x2="245" y2="210" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<circle cx="80" cy="190" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<circle cx="380" cy="80" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<circle cx="245" cy="119" r="3" fill="#d0562a"></circle>
	<text x="55" y="30" font-size="11" fill="#1f1f1f">弦と平行な接線が、区間の内部に必ずある</text>
	<text x="76" y="228" font-size="11" fill="#9a9a9a">a</text>
	<text x="241" y="228" font-size="11" fill="#d0562a">c</text>
	<text x="376" y="228" font-size="11" fill="#9a9a9a">b</text>
	<text x="288" y="62" font-size="11" fill="#9a9a9a">弦</text>
	<text x="356" y="98" font-size="11" fill="#d0562a">接線</text>
</svg>

問題 1：対数の上からの評価

$x>0$ のとき $\log (1+x)<x$ を示せ。

解答 1

$f(t)=\log (1+t)$ に区間 $[0,x]$ で平均値の定理を適用する。$f(0)=0$、$f^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}$ である。

$$\frac{\log (1+x)}{x}=\frac{1}{1+c}(0<c<x)$$

$c>0$ より $1+c>1$ なので $\frac{1}{1+c}<1$ である。両辺に $x>0$ を掛けて $\log (1+x)<x$ を得る。

$c$ の位置は分からないが、$c>0$ という一言だけで評価が済んでいる。

問題 2：対数の両側からの評価

$x>0$ のとき $\frac{x}{1+x}<\log (1+x)<x$ を示せ。

解答 2

上からの評価は問題 1 で済んでいる。下からの評価も同じ式から出る。

$c<x$ より $1+c<1+x$ なので $\frac{1}{1+c}>\frac{1}{1+x}$ である。

$$\frac{\log (1+x)}{x}>\frac{1}{1+x}⟹\log (1+x)>\frac{x}{1+x}$$

同じ $c$ に対して 2 つの不等式を当てるだけで、両側の評価が同時に手に入る。$f^{\prime }$ が単調なときはいつでもこの型が使える。

問題 3：正弦関数の評価

$x>0$ のとき $\sin x<x$ を示せ。

解答 3

$f(t)=\sin t$ に区間 $[0,x]$ で平均値の定理を適用する。

$$\frac{\sin x}{x}=\cos c(0<c<x)$$

$0<x\le \frac{\pi }{2}$ のときは $0<c<\frac{\pi }{2}$ なので $\cos c<1$ であり、$\sin x<x$ が従う。

$x>\frac{\pi }{2}$ のときは $\sin x\le 1<\frac{\pi }{2}<x$ なので、平均値の定理を使うまでもない。

場合分けが要るのは、$\cos c<1$ を保証するために $c$ の範囲を押さえる必要があるからである。$c$ の位置が分からない以上、区間全体で $\cos$ が 1 未満になる範囲に限るしかない。

問題 4：指数関数の評価

$x>0$ のとき $e^x>1+x$ を示せ。

解答 4

$f(t)=e^t$ に区間 $[0,x]$ で平均値の定理を適用する。

$$\frac{e^x-1}{x}=e^c(0<c<x)$$

$c>0$ より $e^c>1$ なので、$e^x-1>x$ が従う。

$x<0$ のときも同じ不等式が成り立つ。$c<0$ から $e^c<1$ となり、$x$ で割るときに不等号が逆転して同じ向きに戻る。

問題 5：逆正接関数の両側評価

$0<a<b$ のとき $\frac{b-a}{1+b^2}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{1+a^2}$ を示せ。

解答 5

$f(t)=\arctan t$ に区間 $[a,b]$ で平均値の定理を適用する。

$$\arctan b-\arctan a=\frac{b-a}{1+c^2}(a<c<b)$$

$a<c<b$ より $1+a^2<1+c^2<1+b^2$ である。逆数を取ると不等号が反転する。

$$\frac{1}{1+b^2}<\frac{1}{1+c^2}<\frac{1}{1+a^2}$$

各辺に $b-a>0$ を掛ければ結論が出る。$a=1$、$b=1.1$ とすれば $0.0452<0.0479<0.05$ で、実際に成り立っている。

問題 6：平方根の差の評価

$0<a<b$ のとき $\frac{b-a}{2\sqrt{b}}<\sqrt{b}-\sqrt{a}<\frac{b-a}{2\sqrt{a}}$ を示せ。

解答 6

$f(t)=\sqrt{t}$ に区間 $[a,b]$ で平均値の定理を適用する。$f^{\prime }(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}$ である。

$$\sqrt{b}-\sqrt{a}=\frac{b-a}{2\sqrt{c}}(a<c<b)$$

$\sqrt{t}$ は増加するので $2\sqrt{a}<2\sqrt{c}<2\sqrt{b}$ となり、逆数を取って各辺に $b-a$ を掛ければよい。

$a=100$、$b=101$ とすると $0.04975<\sqrt{101}-10<0.05$ が得られる。真の値は $0.049876$ で、上下からよく挟まれている。

平方根の近似値を手で求めるときの標準的な道具である。

問題 7：$n$ 乗根の差の評価

$n\ge 2$ のとき $\sqrt[n]{n+1}-\sqrt[n]{n}<\frac{1}{n\sqrt[n]{n^{n-1}}}$ を示せ。

解答 7

$f(t)=t^{1/n}$ に区間 $[n,n+1]$ で平均値の定理を適用する。

$$(n+1{)}^{1/n}-n^{1/n}=\frac{1}{n}{c}^{\frac{1}{n}-1}(n<c<n+1)$$

$n\ge 2$ では $\frac{1}{n}-1<0$ なので、$t^{\frac{1}{n}-1}$ は狭義単調減少である。$c>n$ から次が従う。

$$c^{\frac{1}{n}-1}<n^{\frac{1}{n}-1}=\frac{1}{n^{\frac{n-1}{n}}}$$

$$(n+1{)}^{1/n}-n^{1/n}<\frac{1}{n{n}^{\frac{n-1}{n}}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{n^{n-1}}}$$

$n=1$ を除いてあるのは、そこで等号になるからである。$\frac{1}{n}-1=0$ となって $c^0=n^0=1$ が成り立ち、実際に左辺も右辺も 1 になる。

指数が負であることが評価の要になっている。仮定の範囲を書くときは、こうした境目を確かめる。

問題 8：双曲線正接の評価

$x>0$ のとき $\tanh x<x$ を示せ。

解答 8

$f(t)=\tanh t$ に区間 $[0,x]$ で平均値の定理を適用する。$\tanh 0=0$ であり、導関数は $\frac{1}{{\cosh }^{2}t}$ である。

$$\frac{\tanh x}{x}=\frac{1}{{\cosh }^{2}c}(0<c<x)$$

$c>0$ では $\cosh c>1$ なので $\frac{1}{{\cosh }^{2}c}<1$ である。したがって $\tanh x<x$ が成り立つ。

$\sin x<x$ と同じ形の議論である。$0$ で値も傾きも一致し、そこから先で傾きが 1 を下回る関数は、すべて同じ型で押さえられる。

問題 9：リプシッツ条件

$f$ が区間で微分可能で $|f^{\prime }|\le M$ を満たすとき、$|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$ を示せ。

解答 9

$x\ne y$ とし、小さいほうを左端にして平均値の定理を適用する。ある $c$ が両者のあいだにあって次が成り立つ。

$$f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$$

絶対値を取れば $|f(y)-f(x)|=|f^{\prime }(c)||y-x|\le M|y-x|$ となる。$x=y$ のときは両辺が 0 で成り立つ。

これがリプシッツ連続性である。導関数が有界という局所的な条件から、任意の 2 点の関係が出るところに定理の働きがある。

問題 10：導関数が 0 なら定数

区間 $I$ で $f^{\prime }=0$ ならば $f$ は $I$ 上で定数であることを示せ。

解答 10

$I$ の任意の 2 点 $x<y$ を取る。平均値の定理からある $c\in (x,y)$ で次が成り立つ。

$$f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)=0$$

したがって $f(y)=f(x)$ であり、$f$ は定数である。

定義域が区間であることが要る。$I=(0,1)\cup (2,3)$ のように離れた 2 つの区間では、それぞれ別の定数を取る関数が反例になる。

平均値の定理は 2 点を区間で結べるときにしか使えない。この仮定は落とせない。

問題 11：導関数が一致すれば差は定数

区間 $I$ で $f^{\prime }=g^{\prime }$ ならば、$f-g$ は定数であることを示せ。

解答 11

$h=f-g$ と置くと $h^{\prime }=f^{\prime }-g^{\prime }=0$ である。前問により $h$ は定数である。

不定積分に積分定数が付く理由がこれである。同じ導関数を持つ関数がほかにないことは、平均値の定理から出ている。

問題 12：単調性の判定

区間 $I$ で $f^{\prime }>0$ ならば $f$ は $I$ 上で狭義単調増加であることを示せ。

解答 12

$x<y$ を $I$ の点とする。平均値の定理からある $c\in (x,y)$ で $f(y)-f(x)=f^{\prime }(c)(y-x)$ である。

$f^{\prime }(c)>0$ と $y-x>0$ から $f(y)>f(x)$ が従う。

逆は成り立たない。$f(x)=x^3$ は狭義単調増加だが $f^{\prime }(0)=0$ である。$f^{\prime }>0$ は十分条件であって必要条件ではない。

問題 13：コーシーの平均値の定理

$f,g$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分可能とする。ある $c\in (a,b)$ で $(f(b)-f(a))g^{\prime }(c)=(g(b)-g(a))f^{\prime }(c)$ が成り立つことを示し、$0<a<b$ のとき $\frac{b^2-a^2}{b^3-a^3}=\frac{2}{3c}$ となる $c\in (a,b)$ があることを導け。

解答 13

次の関数を用意する。

$$h(t)=(f(b)-f(a))g(t)-(g(b)-g(a))f(t)$$

$h(a)$ と $h(b)$ を計算すると、どちらも $f(b)g(a)-f(a)g(b)$ になって一致する。ロルの定理からある $c\in (a,b)$ で $h^{\prime }(c)=0$ となり、これが主張の式である。

$f(t)=t^2$、$g(t)=t^3$ を取る。$f^{\prime }(c)=2c$、$g^{\prime }(c)=3c^2$ である。

$$(b^2-a^2)\cdot 3c^2=(b^3-a^3)\cdot 2c$$

$0<a<c$ より $c\ne 0$ なので、両辺を $c$ で割って整理すると $\frac{b^2-a^2}{b^3-a^3}=\frac{2}{3c}$ を得る。

$a=1$、$b=2$ では $c=\frac{14}{9}\approx 1.556$ となり、たしかに区間の内部にある。

問題 14：指数関数の平均の不等式

$a<b$ のとき $\frac{e^b-e^a}{b-a}<\frac{e^a+e^b}{2}$ を示せ。

解答 14

$m=\frac{a+b}{2}$、$h=\frac{b-a}{2}>0$ と置く。$e^a=e^{m-h}$、$e^b=e^{m+h}$ である。

$$\frac{e^b-e^a}{b-a}=e^m\frac{e^h-e^{-h}}{2h},\frac{e^a+e^b}{2}=e^m\frac{e^h+e^{-h}}{2}$$

$e^m>0$ で割れるので、示すべきは $e^h-e^{-h}<h(e^h+e^{-h})$ である。

$\phi (h)=h(e^h+e^{-h})-(e^h-e^{-h})$ と置くと $\phi (0)=0$ で、導関数は次のようになる。

$${\phi }^{\prime }(h)=(e^h+e^{-h})+h(e^h-e^{-h})-(e^h+e^{-h})=h(e^h-e^{-h})$$

$h>0$ では $e^h>e^{-h}$ なので ${\phi }^{\prime }(h)>0$ である。問題 12 により $\phi$ は狭義単調増加なので、$\phi (h)>\phi (0)=0$ が従う。

平均値の定理から $\frac{e^b-e^a}{b-a}=e^c$ となる $c\in (a,b)$ が取れるので、この不等式は $e^c<\frac{e^a+e^b}{2}$ と読める。

ただし $c$ の位置が分からない以上、$e^c$ を端点の値の平均と直接比べることはできない。凸関数だからという理由づけも通らない。実際 $a=0$、$b=1$ で $c$ を $1$ に近く取れば $e^c$ は $\frac{1+e}{2}\approx 1.86$ を超える。

$c$ が特定の値であることを使わずに、両辺を直接比べる形へ書き換えるのがこの問題の要点である。

問題 15：$c$ を具体的に求める

$f(x)=x^2$ について、区間 $[a,b]$ で平均値の定理を満たす $c$ を求めよ。$f(x)=x^3$、$[0,1]$ ではどうか。

解答 15

$\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$ であり、$f^{\prime }(c)=2c$ なので $c=\frac{a+b}{2}$ である。区間の中点になる。

$f(x)=x^3$、$[0,1]$ では $\frac{1-0}{1-0}=1=3c^2$ より $c=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577$ である。中点ではない。

中点になるのは 2 次以下の多項式に限られる。中点を当てにした議論はここで破綻する。

問題 16：$c$ の位置の極限

$f(t)=e^t$ について、区間 $[0,x]$ の $c$ を $x$ の式で表し、$x\to 0$ での $\frac{c}{x}$ の極限を求めよ。

解答 16

$\frac{e^x-1}{x}=e^c$ より $c=\log \frac{e^x-1}{x}$ である。

$\frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots$ なので、$\log (1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\cdots$ を使う。

$$c=\left(\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}\right)-\frac{1}{2}{\left(\frac{x}{2}\right)}^2+\cdots =\frac{x}{2}+\frac{x^2}{24}+\cdots$$

したがって $\frac{c}{x}\to \frac{1}{2}$ である。$x=0.01$ で数値を出すと $\frac{c}{x}=0.50042$ となり、これと合う。

区間を縮めれば $c$ は中点に近づく。ただしこれは極限の話であって、有限の区間では中点からずれている。

問題 17：仮定を落とすと成り立たない

$f(x)=|x|$ を区間 $[-1,1]$ で考え、平均値の定理の結論が成り立たないことを確かめよ。

解答 17

$f(-1)=f(1)=1$ なので、弦の傾きは 0 である。結論が成り立つなら $f^{\prime }(c)=0$ となる $c\in (-1,1)$ があるはずである。

ところが $f^{\prime }(x)=1$（$x>0$）、$f^{\prime }(x)=-1$（$x<0$）で、$x=0$ では微分できない。傾きが 0 になる点はどこにもない。

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	<line x1="100" y1="170" x2="360" y2="170" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
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	<polyline points="130,90 230,170 330,90" fill="none" stroke="#1f1f1f" stroke-width="2"></polyline>
	<circle cx="130" cy="90" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<circle cx="330" cy="90" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<text x="55" y="30" font-size="11" fill="#1f1f1f">弦は水平なのに、傾き 0 の接線はどこにもない</text>
	<text x="336" y="86" font-size="11" fill="#d0562a">弦</text>
	<text x="55" y="204" font-size="11" fill="#9a9a9a">原点で微分できず、定理の仮定を満たしていない</text>
</svg>

原因は $x=0$ で微分可能でないことにある。開区間の内部 1 点でも微分可能性が欠けると、結論は保証されない。

端点での連続性も落とせない。$0\le x<1$ で $f(x)=x$、$f(1)=0$ と定めると、$(0,1)$ では $f^{\prime }=1$ なのに弦の傾きは 0 になる。

問題 18：ベクトル値関数では成り立たない

$f(t)=(\cos t,\sin t)$ を $[0,2\pi ]$ で考え、平均値の定理が成り立たないことを確かめよ。

解答 18

$f(2\pi )-f(0)=(0,0)$ である。結論が成り立つなら、ある $c$ で $f^{\prime }(c)=(0,0)$ でなければならない。

ところが $f^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$ の長さは常に 1 で、0 になることはない。

各成分に別々の $c$ を取れば等式は作れるが、同じ $c$ で両成分をそろえることができない。等式としての平均値の定理は、実数値関数に限った主張である。

代わりに使えるのは不等式の形である。$|f^{\prime }(t)|\le M$ なら $|f(b)-f(a)|\le M(b-a)$ が成り立ち、こちらはベクトル値でも正しい。

つまずきやすいところ

誤りの多くは、$c$ に何かを期待するところから起きる。

いずれも定理の主張に戻れば防げる。$c$ について言えるのは「区間の内部にある」ことだけである。

参考文献