置換積分で迷うのは「どこを u と置くか」の一点だけ

$\int x\sqrt{1-x^2}dx$ で $u=1-x^2$ と置くのは、微分した $-2x$ が式の中にあるからです。$\int \sqrt{1-x^2}dx$ では $x$ がないので、同じ置換は使えません。

置換で迷うのは「どこを $u$ と置くか」の一点だけ。判断の材料は、$u$ の微分が被積分関数の中に見えるかどうかです^[1]。

以下は $15$ 問です。微分が見えている型から始め、三角置換、有理化、ワイエルシュトラス置換、定積分で範囲を変える手順、置換が使えない場合まで並べました。

置換を選ぶ 2 つの型

見分けは $2$ 通りしかありません。

前者は素直な置換で、後者は逆向きの置換です。逆向きでは $x=\phi (t)$ が単射であることが要ります^[1]。

定積分では範囲も一緒に移します。移してしまえば $x$ に戻す必要はありません。

問題 1：微分が見えている型

$\int x\sqrt{1-x^2}dx$ を計算せよ。

解答 1

$u=1-x^2$ と置きます。$du=-2xdx$ で、$xdx$ が式の中にあります。

$$\int x\sqrt{1-x^2}dx=-\frac{1}{2}\int \sqrt{u}du=-\frac{1}{3}{u}^{3/2}+C$$

$u$ を戻して $-\frac{1}{3}(1-x^2{)}^{3/2}+C$ です。

$x$ が $1$ つ余分にあることが置換の合図でした。なければ次数が合わず、この手は使えません。

問題 2：三角関数の冪

$\int {\sin }^{3}x\cos xdx$ を計算せよ。

解答 2

$u=\sin x$ と置くと $du=\cos xdx$ です。

$$\int u^{3}du=\frac{u^4}{4}+C=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$$

$\cos x$ が $1$ つ残っている形が目印です。奇数個あれば $1$ つを $du$ に使い、残りは $1-{\sin }^{2}x$ に直します。

問題 3：対数が出る型

$\int \frac{x}{x^2+1}dx$ を計算せよ。

解答 3

分子が分母の微分の定数倍です。$u=x^2+1$ で $du=2xdx$。

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\frac{1}{2}\ln |u|+C=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$$

$\frac{f^{\prime }}{f}$ の形なら答えは $\ln |f|$ です。分母が $2$ 次でも $10$ 次でも同じ。

問題 4：a² − x² 型

$\int \sqrt{4-x^2}dx$ を計算せよ。

解答 4

$x=2\sin \theta$ と置きます。$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ にとれば単射です^[2]。

$dx=2\cos \theta d\theta$、$\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$ になります。

$$\int 4{\cos }^2\theta d\theta =2\theta +2\sin \theta \cos \theta +C$$

$\theta =\arcsin \frac{x}{2}$、$\cos \theta =\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$ を戻します。

$$=2\arcsin \frac{x}{2}+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C$$

問題 5：a² + x² 型

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ を計算せよ。

解答 5

$x=\tan \theta$ と置きます^[2]。$dx={\sec }^2\theta d\theta$、$\sqrt{x^2+1}=\sec \theta$ です。

$$\int \sec \theta d\theta =\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C=\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+C$$

答えは $\mathrm{arsinh}x$ です。根号の中が和のときは正接、差のときは正弦、と対応しています。

問題 6：x² − a² 型

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-4}}$（$x>2$）を計算せよ。

解答 6

$x=2\sec \theta$、$0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ と置きます^[2]。

$dx=2\sec \theta \tan \theta d\theta$、$\sqrt{x^2-4}=2\tan \theta$ です。

$$\int \sec \theta d\theta =\ln |\sec \theta +\tan \theta |+C=\ln \left|x+\sqrt{x^2-4}\right|+C^{\prime }$$

$\theta$ の範囲を切ったのは、$\tan \theta \ge 0$ を確保して絶対値を外すためです。

問題 7：指数を含む

$\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}dx$ を計算せよ。

解答 7

$u=e^x$ と置くと $du=e^{x}dx$ で、分子がそのまま $du$ になります。

$$\int \frac{du}{1+u^2}=\arctan u+C=\arctan (e^x)+C$$

$e^{2x}=(e^x{)}^2$ と見るところが要です。指数の $2$ を係数と見ると置換に気づけません。

問題 8：根号を有理化する

$\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}$ を計算せよ。

解答 8

$u=\sqrt{x}$ と置きます。$x=u^2$、$dx=2udu$ です。

$$\int \frac{2u}{1+u}du=2\int \left(1-\frac{1}{1+u}\right)du=2u-2\ln (1+u)+C$$

$$=2\sqrt{x}-2\ln (1+\sqrt{x})+C$$

分数式は割り算で $1$ 次と定数に分けます。$0$ から $1$ までの定積分なら $2-2\ln 2=0.6137$ です。

問題 9：定積分で範囲を移す

${\int }_0^1{x}^2\sqrt{1-x^3}dx$ を計算せよ。

解答 9

$u=1-x^3$ と置きます。$du=-3x^{2}dx$ です。

範囲も移します。$x=0$ で $u=1$、$x=1$ で $u=0$ になる。

$$-\frac{1}{3}{\int }_1^0\sqrt{u}du=\frac{1}{3}{\int }_0^1\sqrt{u}du=\frac{2}{9}$$

上下が入れかわった符号と、$-\frac{1}{3}$ の符号が打ち消し合いました。範囲を移せば $x$ に戻す手間がありません^[1]。

問題 10：ワイエルシュトラス置換

$\int \frac{dx}{2+\cos x}$ を計算せよ。

解答 10

$t=\tan \frac{x}{2}$ と置きます。三角関数の有理式が、$t$ の有理式に変わります^[3]。

$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$

代入して整理します。

$$\int \frac{2dt}{2(1+t^2)+(1-t^2)}=\int \frac{2dt}{t^2+3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{t}{\sqrt{3}}+C$$

$0$ から $2\pi$ までの定積分は $\frac{2\pi }{\sqrt{3}}=3.6276$ です。ただし $x=\pi$ で $t$ が発散するので、そこで区間を割って極限をとります^[3]。

問題 11：置換が単射でない場合

${\int }_{-1}^1{x}^{2}dx$ を $u=x^2$ と置いて計算するとどうなるか。

解答 11

$x=-1$ でも $x=1$ でも $u=1$ です。範囲を移すと ${\int }_1^1$ になり、値が $0$ と出ます。

正しい値は $\frac{2}{3}$ で、合いません。$u=x^2$ が $[-1,1]$ で単射でないことが原因です^[1]。

逆向きの置換では、$x$ と $u$ が $1$ 対 $1$ に対応することが要ります。原点で切って $2{\int }_0^1$ にすれば、各区間で単射になり正しく出ます。

三角置換で $\theta$ の範囲を切るのも同じ理由です。範囲を書かずに置換すると、この落とし穴に落ちます。

問題 12：対称性で消す

${\int }_{-2}^2\frac{x^3}{1+x^4}dx$ を計算せよ。

解答 12

被積分関数は奇関数です。$x\to -x$ で分子の符号が変わり、分母は変わりません。

$x\to -x$ の置換で、積分が自分自身の符号違いに等しくなります。したがって値は $0$ です。

原始関数を求めても出ますが、対称性を見れば計算が要りません。範囲が原点対称かどうかを先に見ます。

問題 13：範囲を折り返す

${\int }_0^{\pi /2}\frac{{\sin }^{n}x}{{\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x}dx$ を求めよ。$n$ は正の数とする。

解答 13

$x\to \frac{\pi }{2}-x$ と置きます。範囲は $\frac{\pi }{2}$ から $0$ へ移り、向きが戻ります。

$\sin$ と $\cos$ が入れかわるので、次の積分になります。

$$J={\int }_0^{\pi /2}\frac{{\cos }^{n}x}{{\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x}dx$$

置換で移った先なので $I=J$ です。一方 $I+J$ は被積分関数の和が $1$ になり、$\frac{\pi }{2}$ に等しい。

$$I=\frac{\pi }{4}$$

$n$ によらず同じ値です。$n=1$ でも $n=7$ でも数値計算で $0.785398$ になります。

問題 14：置換のあと部分分数へ

$\int \frac{dx}{e^x+e^{-x}+2}$ を計算せよ。

解答 14

分母分子に $e^x$ を掛けます。

$$\int \frac{e^{x}dx}{e^{2x}+2e^x+1}=\int \frac{e^{x}dx}{(e^x+1{)}^2}$$

$u=e^x+1$ と置くと $du=e^{x}dx$ です。

$$\int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C=-\frac{1}{e^x+1}+C$$

分母が平方に因数分解できた時点で、置換の形が見えます。掛け算で形を整えてから置換する、という順序です。

問題 15：置換しても進まない場合

$\int e^{-x^2}dx$ に置換が効かない理由を述べよ。

解答 15

$u=x^2$ と置くと $du=2xdx$ ですが、式の中に $x$ がありません。$dx=\frac{du}{2\sqrt{u}}$ と書き直すと、根号が新しく出てきます。

$$\int \frac{e^{-u}}{2\sqrt{u}}du$$

もとより難しくなりました。この積分の原始関数は初等関数で書けないことが知られています。

置換は形を変える道具であって、書けないものを書けるようにはしません。手が止まったら、初等関数で書けるかどうかを疑います。

つまずきやすいところ

置換そのものより、周辺の処理で誤ります。

$u$ を決めたら $du$ と範囲も同時に決める。$3$ つを $1$ 組で動かせば、途中で食い違いません。

よくある誤り

$u$ の微分が式の中に見えるか。この $1$ 問に答えられれば、置換の型はその場で決まります。

参考文献

^[1] が置換積分の規則・定積分での範囲の移し方・単射性の条件、^[2] が $3$ つの三角置換と角の範囲、^[3] がワイエルシュトラス置換の公式と $x=\pi$ での特異点、^[4] がドイツ語での定式化、^[5] が誤差関数と初等関数で書けない積分です。