置換積分の計算問題

置換積分は積分計算の最も基本的な技法である。様々なパターンを通じて、適切な置換の選び方を身につける。

問題1：基本的な置換

$\int x 1 - x^{2} d x$ を計算せよ。

解答1

$u = 1 - x^{2}$ とおく。 $d u = - 2 x d x$ より $x d x = - \frac{1}{2} d u$ 。

$\int x 1 - x^{2} d x = - \frac{1}{2} \int u d u = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = - \frac{1}{3} (1 - x^{2})^{3/2} + C$

問題2：三角関数の置換

$\int sin^{3} x cos x d x$ を計算せよ。

解答2

$u = sin x$ とおく。 $d u = cos x d x$ 。

$\int sin^{3} x cos x d x = \int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4} + C = \frac{sin ^{4} x}{4} + C$

問題3： $a^{2} - x^{2}$ 型

$\int 4 - x^{2} d x$ を計算せよ。

解答3

$x = 2 sin θ$ とおく。 $d x = 2 cos θ d θ$ 、 $4 - x^{2} = 2 cos θ$ 。

$\int 4 - x^{2} d x = \int 2 cos θ \cdot 2 cos θ d θ = 4 \int cos^{2} θ d θ$

$= 4 \cdot \frac{1}{2} (θ + sin θ cos θ) + C = 2 θ + 2 sin θ cos θ + C$

$θ = arcsin \frac{x}{2}$ , $sin θ = \frac{x}{2}$ , $cos θ = \frac{4 - x ^{2}}{2}$ より

$= 2 arcsin \frac{x}{2} + \frac{x 4 - x ^{2}}{2} + C$

問題4： $x^{2} + a^{2}$ 型

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 1}$ を計算せよ。

解答4

$x = tan θ$ とおく。 $d x = sec^{2} θ d θ$ 、 $x^{2} + 1 = sec θ$ 。

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = \int \frac{sec ^{2} θ}{sec θ} d θ = \int sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C$

$tan θ = x$ , $sec θ = x^{2} + 1$ より

$= ln ∣ x + x^{2} + 1 ∣ + C = arcsinh (x) + C$

問題5： $x^{2} - a^{2}$ 型

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 4}$ （ $x > 2$ ）を計算せよ。

解答5

$x = 2 sec θ$ とおく。 $d x = 2 sec θ tan θ d θ$ 、 $x^{2} - 4 = 2 tan θ$ 。

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 4} = \int \frac{2 sec θ tan θ}{2 tan θ} d θ = \int sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C$

$sec θ = \frac{x}{2}$ , $tan θ = \frac{x ^{2} - 4}{2}$ より

$= ln \frac{x + x ^{2} - 4}{2} + C = ln ∣ x + x^{2} - 4 ∣ + C^{'}$

問題6：分母に $e^{x}$ を含む

$\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x$ を計算せよ。

解答6

$u = e^{x}$ とおく。 $d u = e^{x} d x$ 。

$\int \frac{e ^{x}}{1 + e ^{2 x}} d x = \int \frac{d u}{1 + u ^{2}} = arctan u + C = arctan (e^{x}) + C$

問題7： $\frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$ 型

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x$ を計算せよ。

解答7

$u = x^{2} + 1$ とおく。 $d u = 2 x d x$ 。

$\int \frac{x}{x ^{2} + 1} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln ∣ u ∣ + C = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$

問題8：有理式の置換

$\int \frac{d x}{1 + x}$ を計算せよ。

解答8

$u = x$ とおく。 $x = u^{2}$ , $d x = 2 u d u$ 。

$\int \frac{d x}{1 + x} = \int \frac{2 u}{1 + u} d u = 2 \int \frac{u}{1 + u} d u = 2 \int (1 - \frac{1}{1 + u}) d u$

$= 2 (u - ln ∣1 + u ∣) + C = 2 x - 2 ln (1 + x) + C$

問題9：定積分の置換

$\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{3} d x$ を計算せよ。

解答9

$u = 1 - x^{3}$ とおく。 $d u = - 3 x^{2} d x$ 。 $x : 0 \to 1$ のとき $u : 1 \to 0$ 。

$\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{3} d x = - \frac{1}{3} \int_{1}^{0} u d u = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} u d u$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2}_{0}^{1} = \frac{2}{9}$

問題10：Weierstrassの置換

$\int \frac{d x}{2 + cos x}$ を計算せよ。

解答10

$t = tan \frac{x}{2}$ とおく。 $cos x = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}$ , $d x = \frac{2}{1 + t ^{2}} d t$ 。

$\int \frac{d x}{2 + cos x} = \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}} \cdot \frac{2}{1 + t ^{2}} d t = \int \frac{2}{2 ( 1 + t ^{2} ) + 1 - t ^{2}} d t$

$= \int \frac{2}{t ^{2} + 3} d t = \frac{2}{3} arctan \frac{t}{3} + C = \frac{2}{3} arctan \frac{tan ( x /2 )}{3} + C$