有理関数の積分（部分分数分解）

有理関数の積分は部分分数分解によって基本的な形に帰着させる。分母の因数分解が鍵となる。

問題1：単純な部分分数

$\int \frac{1}{x^2-1}dx$ を計算せよ。

解答1

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$

通分して $1=A(x+1)+B(x-1)$。$x=1$ で $A=\frac{1}{2}$、$x=-1$ で $B=-\frac{1}{2}$。

$$\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-1}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+1}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

問題2：分子に $x$ がある

$\int \frac{x}{(x-1)(x+2)}dx$ を計算せよ。

解答2

$\frac{x}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$

$x=A(x+2)+B(x-1)$。$x=1$ で $A=\frac{1}{3}$、$x=-2$ で $B=\frac{2}{3}$。

$$\int \frac{x}{(x-1)(x+2)}dx=\frac{1}{3}\ln |x-1|+\frac{2}{3}\ln |x+2|+C$$

問題3：重根がある場合

$\int \frac{1}{(x-1{)}^2(x+1)}dx$ を計算せよ。

解答3

$\frac{1}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$

$1=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$

$x=1$: $B=\frac{1}{2}$。$x=-1$: $C=\frac{1}{4}$。$x=0$: $-A+B+C=1$ より $A=-\frac{1}{4}$。

$$\int =-\frac{1}{4}\ln |x-1|-\frac{1}{2(x-1)}+\frac{1}{4}\ln |x+1|+C=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{1}{2(x-1)}+C$$

問題4：既約二次因子

$\int \frac{1}{x(x^2+1)}dx$ を計算せよ。

解答4

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

$1=A(x^2+1)+(Bx+C)x$。$x=0$: $A=1$。係数比較で $A+B=0$, $C=0$。よって $B=-1$。

$$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}=\int \frac{dx}{x}-\int \frac{xdx}{x^2+1}=\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$$

問題5：既約二次因子（分子に定数）

$\int \frac{x+2}{x^2+4}dx$ を計算せよ。

解答5

分子を分解する。

$$\int \frac{x+2}{x^2+4}dx=\int \frac{x}{x^2+4}dx+2\int \frac{dx}{x^2+4}$$

$$=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+2\cdot \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2}+C=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+\arctan \frac{x}{2}+C$$

問題6：真分数でない場合

$\int \frac{x^3}{x^2-1}dx$ を計算せよ。

解答6

まず多項式除算を行う。$\frac{x^3}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$

$$\int \frac{x^3}{x^2-1}dx=\int xdx+\int \frac{x}{x^2-1}dx=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\ln |x^2-1|+C$$

問題7：複雑な分母

$\int \frac{x^2+1}{x^3+x}dx$ を計算せよ。

解答7

$x^3+x=x(x^2+1)$ と因数分解。

$\frac{x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}$

$$\int \frac{x^2+1}{x^3+x}dx=\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$

問題8：重複する既約二次因子

$\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$ を計算せよ。

解答8

$x=\tan \theta$ と置換。$dx={\sec }^2\theta d\theta$, $x^2+1={\sec }^2\theta$。

$$\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}=\int \frac{{\sec }^2\theta }{{\sec }^4\theta }d\theta =\int {\cos }^2\theta d\theta =\frac{\theta +\sin \theta \cos \theta }{2}+C$$

$\theta =\arctan x$, $\sin \theta =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$, $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ より

$$=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C$$

問題9：定積分

${\int }_2^3\frac{dx}{x^2-1}$ を計算せよ。

解答9

問題1より $\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|$。

$${\int }_2^3\frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}{\left[\ln \frac{x-1}{x+1}\right]}_2^3=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{2}{4}-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$$

問題10：Heavisideの方法

$\int \frac{3x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$ を計算せよ。

解答10

$\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$

Heavisideの被覆法：

• $A=\frac{3(-1)+5}{(-1+2)(-1+3)}=\frac{2}{2}=1$
• $B=\frac{3(-2)+5}{(-2+1)(-2+3)}=\frac{-1}{-1}=1$
• $C=\frac{3(-3)+5}{(-3+1)(-3+2)}=\frac{-4}{2}=-2$

$$\int =\ln |x+1|+\ln |x+2|-2\ln |x+3|+C=\ln \frac{|x+1||x+2|}{(x+3{)}^2}+C$$