分母を因数分解できれば必ず解ける、有理関数の積分

実数係数の多項式は、$1$ 次式と既約な $2$ 次式の積に必ず分解します^[1]。分母をそこまで割れば、有理関数の積分はいつでも終わる。

出てくる形は $3$ つだけです。$\frac{1}{x-a}$ から対数、$\frac{1}{(x-a{)}^k}$ からべき、$\frac{1}{x^2+a^2}$ から逆正接。答えはこの $3$ つの組み合わせになります。

以下は $15$ 問です。単純な分解から始め、重根、既約 $2$ 次、仮分数、平方完成、$3$ 次の分母まで並べました。

分解の形

分母の因数によって、立てる項の形が決まります^[1]。

分子の次数が分母以上なら、先に多項式の割り算をします^[1]。真分数にしてからでないと分解できません。

問題 1：1 次因子が 2 つ

$\int \frac{dx}{x^2-1}$ を計算せよ。

解答 1

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ と分けます。

$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

通分して $1=A(x+1)+B(x-1)$ です。$x=1$ を入れて $A=\frac{1}{2}$、$x=-1$ を入れて $B=-\frac{1}{2}$。

$$\int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

分母が $0$ になる値を代入して係数を出す、が最短の手順です。

問題 2：分子に x がある

$\int \frac{xdx}{(x-1)(x+2)}$ を計算せよ。

解答 2

$x=A(x+2)+B(x-1)$ と置きます。$x=1$ で $A=\frac{1}{3}$、$x=-2$ で $B=\frac{2}{3}$ です。

$$\int \frac{xdx}{(x-1)(x+2)}=\frac{1}{3}\ln |x-1|+\frac{2}{3}\ln |x+2|+C$$

分子の次数が分母より低ければ、分子が何であっても手順は同じになります。

問題 3：重根がある

$\int \frac{dx}{(x-1{)}^2(x+1)}$ を計算せよ。

解答 3

重複した因子には、$1$ 乗と $2$ 乗の両方を立てます^[1]。

$$\frac{1}{(x-1{)}^2(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{C}{x+1}$$

$1=A(x-1)(x+1)+B(x+1)+C(x-1{)}^2$ です。$x=1$ で $B=\frac{1}{2}$、$x=-1$ で $C=\frac{1}{4}$。

残る $A$ は $x=0$ を入れて $-A+B+C=1$ から $A=-\frac{1}{4}$ です。

$$\int =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x+1}{x-1}\right|-\frac{1}{2(x-1)}+C$$

$2$ 乗の項からは対数ではなく $-\frac{1}{x-1}$ が出ます。行き先が違う点が要です。

問題 4：既約な 2 次因子

$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ を計算せよ。

解答 4

$x^2+1$ は実数の範囲で因数分解できません。分子を $1$ 次に立てます。

$$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

$1=A(x^2+1)+(Bx+C)x$ で、$x=0$ から $A=1$。係数を比べて $B=-1$、$C=0$ です。

$$\int \frac{dx}{x(x^2+1)}=\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$$

既約 $2$ 次の分子を定数で立てると、係数が合いません。$1$ 次にする必要があります。

問題 5：分子を 2 つに割る

$\int \frac{x+2}{x^2+4}dx$ を計算せよ。

解答 5

分子を分母の微分の部分と定数に分けます。

$$\int \frac{x}{x^2+4}dx+2\int \frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\ln (x^2+4)+\arctan \frac{x}{2}+C$$

既約 $2$ 次から出るのは対数と逆正接の $2$ 本です。$\frac{f^{\prime }}{f}$ の部分が対数、残りが逆正接になります。

問題 6：仮分数

$\int \frac{x^3}{x^2-1}dx$ を計算せよ。

解答 6

分子の次数が分母以上なので、先に割ります^[1]。

$$\frac{x^3}{x^2-1}=x+\frac{x}{x^2-1}$$

$$\int \frac{x^3}{x^2-1}dx=\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\ln |x^2-1|+C$$

割らずに分解しようとすると、係数が定まりません。真分数に直す。それが最初の手順です。

問題 7：約分できる場合

$\int \frac{x^2+1}{x^3+x}dx$ を計算せよ。

解答 7

分母を因数分解します。$x^3+x=x(x^2+1)$ です。

分子と共通因子があるので、そのまま約分できます。

$$\frac{x^2+1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x},\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C$$

分解を始める前に約分を確かめます。ここを飛ばすと無駄な計算が増えます。

問題 8：平方完成が要る

$\int \frac{dx}{x^2+2x+5}$ を計算せよ。

解答 8

分母は判別式が負で既約です。平方完成します。

$$x^2+2x+5=(x+1{)}^2+4$$

$u=x+1$ と置けば標準形になります。

$$\int \frac{du}{u^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \frac{u}{2}+C=\frac{1}{2}\arctan \frac{x+1}{2}+C$$

$0$ から $1$ までの定積分は $0.160875$ です。既約 $2$ 次はまず平方完成、が定石になります。

問題 9：既約 2 次の重複

$\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$ を計算せよ。

解答 9

分解では済まないので、$x=\tan \theta$ と置換します。$dx={\sec }^2\theta d\theta$、$x^2+1={\sec }^2\theta$ です。

$$\int \frac{{\sec }^2\theta }{{\sec }^4\theta }d\theta =\int {\cos }^2\theta d\theta =\frac{\theta +\sin \theta \cos \theta }{2}+C$$

戻すと次の形です。

$$=\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C$$

$0$ から $1$ までは $\frac{\pi }{8}+\frac{1}{4}=0.642699$ になります。既約 $2$ 次の重複は、置換か漸化式で下げます。

問題 10：分子が 1 次で重複がある

$\int \frac{x+1}{(x^2+1{)}^2}dx$ を計算せよ。

解答 10

分子を $2$ つに割ります。$x$ の側は置換で片づく。

$$\int \frac{xdx}{(x^2+1{)}^2}=-\frac{1}{2(x^2+1)}+C$$

残りは問題 $9$ の結果です。合わせます。

$$\int \frac{x+1}{(x^2+1{)}^2}dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}+\frac{1}{2}\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C$$

$0$ から $1$ までは $0.892699$ です。分子を分母の微分の部分と定数に割る、が既約 $2$ 次での共通の手になります。

問題 11：ヘヴィサイドの被覆法

$\int \frac{3x+5}{(x+1)(x+2)(x+3)}dx$ を計算せよ。

解答 11

$1$ 次因子だけで重複がなければ、係数は $1$ つずつ直接出せます^[1]。

求めたい因子を隠し、その根を残りに代入します。

$$A=\frac{3(-1)+5}{(-1+2)(-1+3)}=1,B=\frac{3(-2)+5}{(-2+1)(-2+3)}=1,C=\frac{3(-3)+5}{(-3+1)(-3+2)}=-2$$

$$\int =\ln \left|\frac{(x+1)(x+2)}{(x+3{)}^2}\right|+C$$

連立方程式を立てずに済みます。$1$ 次因子が $5$ 個でも $10$ 個でも、同じ手間で出ます。

問題 12：分母が 3 次

$\int \frac{dx}{x^3+1}$ を計算せよ。

解答 12

$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ と分けます。$2$ 次の側は判別式が $-3$ で既約です。

$$\frac{1}{x^3+1}=\frac{1/3}{x+1}+\frac{-x+2}{3(x^2-x+1)}$$

$2$ 次の側は、分母の微分 $2x-1$ を作ってから残りを分けます。

$$\int \frac{dx}{x^3+1}=\frac{1}{3}\ln |x+1|-\frac{1}{6}\ln (x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C$$

$0$ から $1$ までは $0.835649$ です。$3$ 次でも手順は変わらず、項が増えるだけになります。

問題 13：係数の決め方を 2 通りで

$\frac{2x+3}{(x-1)(x+2)}$ の係数を、代入と係数比較の $2$ 通りで求めよ。

解答 13

$2x+3=A(x+2)+B(x-1)$ と置きます。

代入なら $x=1$ で $5=3A$、$x=-2$ で $-1=-3B$ です。$A=\frac{5}{3}$、$B=\frac{1}{3}$ になります。

係数比較なら $x$ の項から $A+B=2$、定数項から $2A-B=3$ です。解くと同じ値が出ます。

代入は $1$ 次因子で速く、係数比較は既約 $2$ 次や重複があるときに要ります。両方使える場面では代入を選びます。

問題 14：定積分

${\int }_2^3\frac{dx}{x^2-1}$ を計算せよ。

解答 14

問題 $1$ の結果を使います。

$$\frac{1}{2}{\left[\ln \frac{x-1}{x+1}\right]}_2^3=\frac{1}{2}\left(\ln \frac{2}{4}-\ln \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$$

値は $0.202733$ です。積分区間に $x=\pm 1$ が入っていないことを先に確かめます。

$1$ をまたぐ区間なら、そこで被積分関数が発散して広義積分になります。分母の零点と区間の位置関係は、計算前に見ておきます。

問題 15：初等関数で必ず書ける理由

有理関数の不定積分が、いつでも初等関数で書けることを説明せよ。

解答 15

実数係数の多項式は、$1$ 次式と既約 $2$ 次式の積に分解します。代数学の基本定理から従う事実です^[1]。

したがって部分分数分解でできる項は $3$ 種類に限られます。$\frac{A}{(x-a{)}^k}$ と $\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c{)}^k}$ と多項式です。

前者は $\ln$ かべき、後者は平方完成と漸化式で $\ln$ と $\arctan$ に落ちます。多項式はそのまま積分できる。

$e^{-x^2}$ や $\frac{\sin x}{x}$ のように書けない例が出るのは、有理関数の外側です。分母を因数分解できさえすれば、この種の行き止まりはありません。

つまずきやすいところ

分解の立て方で誤ります。

分母を因数分解したら、因子の型を見て項を立てる。ここさえ正しければ、あとは連立方程式です。

よくある誤り

分母を因数分解して型を見る。それだけで、立てる項も答えの形も先に決まります。

参考文献

^[1] が部分分数分解の一般形・真分数への直し方・被覆法・実係数多項式の分解、^[2] がドイツ語での記述、^[3] が部分分数分解による有理関数の記号的積分、^[4] が三角置換、^[5] が代数学の基本定理です。