有理関数の積分は部分分数分解によって基本的な形に帰着させる。分母の因数分解が鍵となる。
問題1：単純な部分分数
∫x2−11dx を計算せよ。
解答1
x2−11=(x−1)(x+1)1=x−1A+x+1B
通分して 1=A(x+1)+B(x−1)。x=1 で A=21、x=−1 で B=−21。
∫x2−1dx=21∫x−1dx−21∫x+1dx=21lnx+1x−1+C
問題2：分子に x がある
∫(x−1)(x+2)xdx を計算せよ。
解答2
(x−1)(x+2)x=x−1A+x+2B
x=A(x+2)+B(x−1)。x=1 で A=31、x=−2 で B=32。
∫(x−1)(x+2)xdx=31ln∣x−1∣+32ln∣x+2∣+C
問題3：重根がある場合
∫(x−1)2(x+1)1dx を計算せよ。
解答3
(x−1)2(x+1)1=x−1A+(x−1)2B+x+1C
1=A(x−1)(x+1)+B(x+1)+C(x−1)2
x=1: B=21。x=−1: C=41。x=0: −A+B+C=1 より A=−41。
∫=−41ln∣x−1∣−2(x−1)1+41ln∣x+1∣+C=41lnx−1x+1−2(x−1)1+C
問題4：既約二次因子
∫x(x2+1)1dx を計算せよ。
解答4
x(x2+1)1=xA+x2+1Bx+C
1=A(x2+1)+(Bx+C)x。x=0: A=1。係数比較で A+B=0, C=0。よって B=−1。
∫x(x2+1)dx=∫xdx−∫x2+1xdx=ln∣x∣−21ln(x2+1)+C
問題5：既約二次因子（分子に定数）
∫x2+4x+2dx を計算せよ。
解答5
分子を分解する。
∫x2+4x+2dx=∫x2+4xdx+2∫x2+4dx
=21ln(x2+4)+2⋅21arctan2x+C=21ln(x2+4)+arctan2x+C
問題6：真分数でない場合
∫x2−1x3dx を計算せよ。
解答6
まず多項式除算を行う。x2−1x3=x+x2−1x
∫x2−1x3dx=∫xdx+∫x2−1xdx=2x2+21ln∣x2−1∣+C
問題7：複雑な分母
∫x3+xx2+1dx を計算せよ。
解答7
x3+x=x(x2+1) と因数分解。
x(x2+1)x2+1=x1
∫x3+xx2+1dx=∫xdx=ln∣x∣+C
問題8：重複する既約二次因子
∫(x2+1)2dx を計算せよ。
解答8
x=tanθ と置換。dx=sec2θdθ, x2+1=sec2θ。
∫(x2+1)2dx=∫sec4θsec2θdθ=∫cos2θdθ=2θ+sinθcosθ+C
θ=arctanx, sinθ=x2+1x, cosθ=x2+11 より
=21arctanx+2(x2+1)x+C
問題9：定積分
∫23x2−1dx を計算せよ。
解答9
問題1より ∫x2−1dx=21lnx+1x−1。
∫23x2−1dx=21[lnx+1x−1]23=21(ln42−ln31)=21ln23
問題10：Heavisideの方法
∫(x+1)(x+2)(x+3)3x+5dx を計算せよ。
解答10
(x+1)(x+2)(x+3)3x+5=x+1A+x+2B+x+3C
Heavisideの被覆法：
- A=(−1+2)(−1+3)3(−1)+5=22=1
- B=(−2+1)(−2+3)3(−2)+5=−1−1=1
- C=(−3+1)(−3+2)3(−3)+5=2−4=−2
∫=ln∣x+1∣+ln∣x+2∣−2ln∣x+3∣+C=ln(x+3)2∣x+1∣∣x+2∣+C
