部分積分の u の決め方（対数・多項式・指数のどれを微分するか）

$\int x{e}^{x}dx$ で $u=x$ と置けば、次の積分は $\int e^{x}dx$ になって終わります。逆に $u=e^x$ と置くと $\int \frac{x^2}{2}{e}^{x}dx$ が残り、次数が上がってしまう。

部分積分は $\int udv=uv-\int vdu$ という書きかえです^[1]。式の形は選び方によらず、残る積分が簡単になるかどうかだけが変わります。

以下は $15$ 問です。多項式と指数から始め、対数と逆三角、循環して連立になる型、表で繰り返す方法、漸化式まで並べました。

公式と、選び方の目安

積の微分 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ を積分して移項すると導けます^[1]。

$$\int udv=uv-\int vdu$$

$u$ に選ぶのは、微分すると簡単になるほうです。目安として、対数・逆三角・多項式・三角・指数の順で優先します^[2]。

先に来るほうを $u$、あとに来るほうを $dv$ にします。絶対の規則ではありませんが、迷ったときの出発点になる。

問題 1：多項式と指数

$\int x{e}^{x}dx$ を計算せよ。

解答 1

$u=x$、$dv=e^{x}dx$ と置きます。$du=dx$、$v=e^x$ です。

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=e^x(x-1)+C$$

多項式を $u$ にすると微分で次数が下がり、$1$ 回で消えます。

問題 2：多項式と三角関数

$\int x\sin xdx$ を計算せよ。

解答 2

$u=x$、$dv=\sin xdx$ です。$v=-\cos x$ になります。

$$\int x\sin xdx=-x\cos x+\int \cos xdx=-x\cos x+\sin x+C$$

$v$ の符号を落とすと答えが反転します。$\sin$ の原始関数は $-\cos$ です。

問題 3：2 回繰り返す

$\int x^2{e}^{x}dx$ を計算せよ。

解答 3

$u=x^2$ と置くと $1$ 回で $\int x{e}^{x}dx$ に落ちます。

$$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$$

問題 $1$ の結果を入れます。

$$=x^2{e}^x-2e^x(x-1)+C=e^x(x^2-2x+2)+C$$

$x^n$ なら $n$ 回で終わります。多項式が有限回で消えるからです。

問題 4：表にして繰り返す

$\int x^3\sin xdx$ を表を使って計算せよ。

解答 4

左の列に $u$ の微分、右の列に $dv$ の積分を並べ、斜めにかけて符号を交互につけます^[1]。

斜めにかけて足します。

$$\int x^3\sin xdx=-x^3\cos x+3x^2\sin x+6x\cos x-6\sin x+C$$

左の列が $0$ になったところで止まります。$4$ 回ぶんの部分積分が $1$ 枚の表で済みました。

問題 5：対数

$\int \ln xdx$ を計算せよ。

解答 5

積の形に見えませんが、$dv=dx$ と置けます。$u=\ln x$、$v=x$ です。

$$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x(\ln x-1)+C$$

$1$ をかけていると見れば、単独の関数でも部分積分が使えます^[3]。

問題 6：逆三角関数

$\int \arctan xdx$ を計算せよ。

解答 6

同じく $dv=dx$ です。$du=\frac{dx}{1+x^2}$、$v=x$ になります。

$$\int \arctan xdx=x\arctan x-\int \frac{x}{1+x^2}dx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$$

残った積分は $\frac{f^{\prime }}{f}$ の形で、置換で片づきます。

問題 7：対数の 2 乗

$\int (\ln x{)}^{2}dx$ を計算せよ。

解答 7

$u=(\ln x{)}^2$、$dv=dx$ です。$du=\frac{2\ln x}{x}dx$ になります。

$$\int (\ln x{)}^{2}dx=x(\ln x{)}^2-2\int \ln xdx$$

問題 $5$ の結果を入れます。

$$=x\left((\ln x{)}^2-2\ln x+2\right)+C$$

対数の次数が $1$ ずつ下がります。$(\ln x{)}^n$ なら $n$ 回で終わる。

問題 8：循環して連立になる型

$\int e^x\sin xdx$ を計算せよ。

解答 8

$I$ と置いて $2$ 回部分積分します。$1$ 回目は $u=\sin x$、$dv=e^{x}dx$ です。

$$I=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx$$

$2$ 回目も同じ向きで選びます。ここで向きを変えるともとに戻ってしまう。

$$I=e^x\sin x-e^x\cos x-I$$

$I$ について解きます。

$$I=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$$

$2$ 回で元の積分が現れる型です^[3]。移項して割る、という代数の操作で終わります。

問題 9：正割の 3 乗

$\int {\sec }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答 9

$u=\sec x$、$dv={\sec }^{2}xdx$ です。$v=\tan x$ になります。

$$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int \sec x{\tan }^{2}xdx$$

${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ で書き直すと、もとの積分が現れます。

$$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int {\sec }^{3}xdx+\int \sec xdx$$

$$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}\left(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|\right)+C$$

$0$ から $1$ までの定積分は $2.05433$ です。循環型に恒等式を挟む形になっています。

問題 10：定積分

${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx$ を計算せよ。

解答 10

$u=x$、$dv=e^{-x}dx$ で $v=-e^{-x}$ です。定積分では $uv$ の部分も範囲を入れます^[4]。

$${\int }_0^{1}x{e}^{-x}dx={\left[-x{e}^{-x}\right]}_0^1+{\int }_0^1{e}^{-x}dx=-e^{-1}+\left(1-e^{-1}\right)$$

$$=1-\frac{2}{e}=0.26424$$

$uv$ の値を入れ忘れる誤りが多いところです。$x=0$ で $0$ になるからといって省略しないほうが安全になります。

問題 11：ウォリスの漸化式

$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ の漸化式を導け。

解答 11

$u={\sin }^{n-1}x$、$dv=\sin xdx$ と置きます。

$$I_n={\left[-{\sin }^{n-1}x\cos x\right]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}x{\cos }^{2}xdx$$

第 $1$ 項は両端とも $0$ です。${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ で書き直します。

$$I_n=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n,I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$$

$I_0=\frac{\pi }{2}$、$I_1=1$ から順に決まります。$I_2=\frac{\pi }{4}$、$I_3=\frac{2}{3}$、$I_4=\frac{3\pi }{16}$、$I_5=\frac{8}{15}$ です。

偶数番目に $\pi$ が残り、奇数番目には残りません。数値で確かめると $I_4=0.58905$、$I_5=0.53333$ になります。

問題 12：多項式と逆三角の積

$\int x\arctan xdx$ を計算せよ。

解答 12

目安では逆三角が多項式より先なので、$u=\arctan x$ です。$dv=xdx$、$v=\frac{x^2}{2}$ になります。

$$\int x\arctan xdx=\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx$$

残った積分は $\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}$ と分けます。

$$=\frac{x^2+1}{2}\arctan x-\frac{x}{2}+C$$

$0$ から $1$ までの定積分は $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}=0.28540$ です。

問題 13：3 通りで解いて突き合わせる

$\int \sin x\cos xdx$ を $3$ 通りで計算し、答えが一致することを確かめよ。

解答 13

置換なら $u=\sin x$ で $\frac{{\sin }^{2}x}{2}+C$ です。

部分積分なら $u=\sin x$、$dv=\cos xdx$ として循環型になり、同じ形になります。

倍角の公式なら $\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$ で、$-\frac{\cos 2x}{4}+C$ です。

$3$ つは定数の差だけ違います。$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ を使うと $-\frac{\cos 2x}{4}=\frac{{\sin }^{2}x}{2}-\frac{1}{4}$ になる。

不定積分の答えが見た目で違っても、差が定数なら同じです。突き合わせるときは微分して確かめます。

問題 14：ベータ積分の漸化式

$J(m,n)={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx$ について、$n$ を $1$ 下げる漸化式を導け。

解答 14

$u=(1-x{)}^n$、$dv=x^{m}dx$ と置きます。$v=\frac{x^{m+1}}{m+1}$ です。

$$J(m,n)={\left[\frac{x^{m+1}(1-x{)}^n}{m+1}\right]}_0^1+\frac{n}{m+1}{\int }_0^1{x}^{m+1}(1-x{)}^{n-1}dx$$

$m,n>0$ なら第 $1$ 項は両端で $0$ です。

$$J(m,n)=\frac{n}{m+1}J(m+1,n-1)$$

繰り返して $n$ を $0$ まで下げると閉じた形になります。

$$J(m,n)=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

これはベータ関数 $B(m+1,n+1)$ にあたります^[5]。標準の定義では指数が $1$ ずつ小さく書かれるので、添字が $1$ ずつずれます。

$m=3$、$n=2$ で $\frac{6\cdot 2}{720}=\frac{1}{60}=0.016667$ です。数値積分と一致します。

問題 15：進まない選び方

$\int x\sin xdx$ で $u=\sin x$ と置くとどうなるか。

解答 15

$dv=xdx$ なので $v=\frac{x^2}{2}$ です。

$$\int x\sin xdx=\frac{x^2}{2}\sin x-\frac{1}{2}\int x^2\cos xdx$$

残った積分は次数が $1$ 上がっています。もう $1$ 回やれば $x^3$ になり、際限がありません。

式としては正しく、誤りではありません。等式は成り立っていて、ただ進まないだけです。

$1$ 回やって次数が上がったら、選び方を入れかえます。損はしません。

つまずきやすいところ

公式より、選び方と符号で誤ります。

$u$ を選んだら $du$ と $v$ を書き出してから代入する。この順序を崩さなければ、符号の誤りはほぼ消えます。

参考文献