部分積分の計算問題

部分積分は $\int u d v = uv - \int v d u$ の公式に基づく技法である。どちらを $u$ にするかの選択が鍵となる。

問題1：多項式と指数関数

$\int x e^{x} d x$ を計算せよ。

解答1

$u = x$ , $d v = e^{x} d x$ とおく。 $d u = d x$ , $v = e^{x}$ 。

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C = e^{x} (x - 1) + C$

問題2：多項式と三角関数

$\int x sin x d x$ を計算せよ。

解答2

$u = x$ , $d v = sin x d x$ とおく。 $d u = d x$ , $v = - cos x$ 。

$\int x sin x d x = - x cos x - \int (- cos x) d x = - x cos x + sin x + C$

問題3：繰り返し部分積分

$\int x^{2} e^{x} d x$ を計算せよ。

解答3

1回目： $u = x^{2}$ , $d v = e^{x} d x$ 。

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - 2 \int x e^{x} d x$

2回目：問題1より $\int x e^{x} d x = e^{x} (x - 1)$ 。

$= x^{2} e^{x} - 2 e^{x} (x - 1) + C = e^{x} (x^{2} - 2 x + 2) + C$

問題4：対数関数

$\int ln x d x$ を計算せよ。

解答4

$u = ln x$ , $d v = d x$ とおく。 $d u = \frac{1}{x} d x$ , $v = x$ 。

$\int ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - x + C = x (ln x - 1) + C$

問題5：逆三角関数

$\int arctan x d x$ を計算せよ。

解答5

$u = arctan x$ , $d v = d x$ とおく。 $d u = \frac{1}{1 + x ^{2}} d x$ , $v = x$ 。

$\int arctan x d x = x arctan x - \int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$

$\int \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} ln (1 + x^{2})$ より

$= x arctan x - \frac{1}{2} ln (1 + x^{2}) + C$

問題6：循環型（三角関数と指数関数）

$\int e^{x} sin x d x$ を計算せよ。

解答6

$I = \int e^{x} sin x d x$ とおく。

1回目： $u = sin x$ , $d v = e^{x} d x$ 。

$I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x$

2回目： $u = cos x$ , $d v = e^{x} d x$ 。

$I = e^{x} sin x - (e^{x} cos x + \int e^{x} sin x d x) = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$

$2 I = e^{x} (sin x - cos x)$

$I = \frac{e ^{x} ( sin x - cos x )}{2} + C$

問題7：循環型（三角関数同士）

$\int sin x cos x d x$ を2通りの方法で計算せよ。

解答7

方法1（置換）： $u = sin x$ , $d u = cos x d x$ 。

$\int sin x cos x d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} + C = \frac{sin ^{2} x}{2} + C_{1}$

方法2（部分積分）： $u = sin x$ , $d v = cos x d x$ 。

$\int sin x cos x d x = sin^{2} x - \int sin x cos x d x$

$2 \int sin x cos x d x = sin^{2} x, \int sin x cos x d x = \frac{sin ^{2} x}{2} + C_{2}$

方法3（倍角）： $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ より $\int = - \frac{1}{4} cos 2 x + C_{3}$ 。

これらは定数の違いで一致する。

問題8： $ln^{2} x$ の積分

$\int (ln x)^{2} d x$ を計算せよ。

解答8

$u = (ln x)^{2}$ , $d v = d x$ とおく。

$\int (ln x)^{2} d x = x (ln x)^{2} - 2 \int ln x d x = x (ln x)^{2} - 2 x (ln x - 1) + C$

$= x (ln x)^{2} - 2 x ln x + 2 x + C = x ((ln x)^{2} - 2 ln x + 2) + C$

問題9：定積分

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x$ を計算せよ。

解答9

$u = x$ , $d v = e^{- x} d x$ とおく。 $v = - e^{- x}$ 。

$\int_{0}^{1} x e^{- x} d x = [- x e^{- x}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x = - e^{- 1} + [- e^{- x}]_{0}^{1}$

$= - e^{- 1} + (- e^{- 1} + 1) = 1 - 2 e^{- 1} = 1 - \frac{2}{e}$

問題10：漸化式

$I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$ の漸化式を導け。

解答10

$u = sin^{n - 1} x$ , $d v = sin x d x$ とおく。

$I_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x cos^{2} x d x$

$cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ より

$I_{n} = (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x d x - (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x = (n - 1) I_{n - 2} - (n - 1) I_{n}$

$n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}, I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$

$I_{0} = \frac{π}{2}$ , $I_{1} = 1$ を初期値として順次計算できる。