三角関数の積分

三角関数の積分は、冪の形や積の形に応じて適切な公式や置換を選ぶ。パターンを覚えることが重要である。

問題1：${\sin }^{n}x$ の奇数冪

$\int {\sin }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答1

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ を使い、$u=\cos x$ と置換。

$$\int {\sin }^{3}xdx=\int (1-{\cos }^{2}x)\sin xdx=-\int (1-u^2)du$$

$$=-u+\frac{u^3}{3}+C=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$$

問題2：${\cos }^{n}x$ の偶数冪

$\int {\cos }^{4}xdx$ を計算せよ。

解答2

半角公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を繰り返し使う。

$${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$$

${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$ より

$${\cos }^{4}x=\frac{1}{4}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{1+\cos 4x}{8}=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$$

$$\int {\cos }^{4}xdx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C$$

問題3：${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$（一方が奇数）

$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答3

$\cos$ の冪が奇数なので $u=\sin x$ と置換。

$$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx=\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx=\int u^2(1-u^2)du$$

$$=\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}+C=\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+C$$

問題4：${\tan }^{n}x$ の積分

$\int {\tan }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答4

${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ を使う。

$$\int {\tan }^{3}xdx=\int \tan x({\sec }^{2}x-1)dx=\int \tan x{\sec }^{2}xdx-\int \tan xdx$$

$u=\tan x$ で $\int \tan x{\sec }^{2}xdx=\frac{{\tan }^{2}x}{2}$

$$=\frac{{\tan }^{2}x}{2}+\ln |\cos x|+C$$

問題5：${\sec }^{n}x$ の積分

$\int {\sec }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答5

部分積分。$u=\sec x$, $dv={\sec }^{2}xdx$。

$$\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x-\int \sec x{\tan }^{2}xdx$$

${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ より

$$=\sec x\tan x-\int {\sec }^{3}xdx+\int \sec xdx$$

$$2\int {\sec }^{3}xdx=\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|$$

$$\int {\sec }^{3}xdx=\frac{1}{2}(\sec x\tan x+\ln |\sec x+\tan x|)+C$$

問題6：積を和に変換

$\int \sin 3x\cos 5xdx$ を計算せよ。

解答6

積和公式 $\sin A\cos B=\frac{1}{2}(\sin (A+B)+\sin (A-B))$ を使う。

$$\sin 3x\cos 5x=\frac{1}{2}(\sin 8x+\sin (-2x))=\frac{1}{2}(\sin 8x-\sin 2x)$$

$$\int \sin 3x\cos 5xdx=\frac{1}{2}\left(-\frac{\cos 8x}{8}+\frac{\cos 2x}{2}\right)+C=-\frac{\cos 8x}{16}+\frac{\cos 2x}{4}+C$$

問題7：$\sin mx\sin nx$ 型

${\int }_0^{2\pi }\sin 2x\sin 3xdx$ を計算せよ。

解答7

$\sin A\sin B=\frac{1}{2}(\cos (A-B)-\cos (A+B))$ より

$$\sin 2x\sin 3x=\frac{1}{2}(\cos x-\cos 5x)$$

$${\int }_0^{2\pi }\sin 2x\sin 3xdx=\frac{1}{2}{\left[\sin x-\frac{\sin 5x}{5}\right]}_0^{2\pi }=0$$

異なる整数 $m,n$ で ${\int }_0^{2\pi }\sin mx\sin nxdx=0$（直交性）。

問題8：$\frac{1}{a+b\cos x}$ 型

$\int \frac{dx}{3+5\cos x}$ を計算せよ。

解答8

$t=\tan \frac{x}{2}$（Weierstrass置換）。$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx=\frac{2}{1+t^2}dt$。

$$\int \frac{dx}{3+5\cos x}=\int \frac{1}{3+5\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot \frac{2}{1+t^2}dt=\int \frac{2}{3(1+t^2)+5(1-t^2)}dt$$

$$=\int \frac{2}{8-2t^2}dt=\int \frac{dt}{4-t^2}=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C$$

問題9：${\sin }^{-1}$ を含む積分

$\int \frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$ を計算せよ。

解答9

$u=\cos x$, $du=-\sin xdx$。

$$\int \frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx=-\int \frac{du}{1+u^2}=-\arctan u+C=-\arctan (\cos x)+C$$

問題10：定積分

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$ を計算せよ。

解答10

${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x=\frac{1}{8}(1-\cos 4x)$

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx=\frac{1}{8}{\left[x-\frac{\sin 4x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{8}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{16}$$