三角関数の積分は、冪の形や積の形に応じて適切な公式や置換を選ぶ。パターンを覚えることが重要である。
問題1：sinnx の奇数冪
∫sin3xdx を計算せよ。
解答1
sin2x=1−cos2x を使い、u=cosx と置換。
∫sin3xdx=∫(1−cos2x)sinxdx=−∫(1−u2)du
=−u+3u3+C=−cosx+3cos3x+C
問題2：cosnx の偶数冪
∫cos4xdx を計算せよ。
解答2
半角公式 cos2x=21+cos2x を繰り返し使う。
cos4x=(21+cos2x)2=41+2cos2x+cos22x
cos22x=21+cos4x より
cos4x=41+2cos2x+81+cos4x=83+2cos2x+8cos4x
∫cos4xdx=83x+4sin2x+32sin4x+C
問題3：sinmxcosnx（一方が奇数）
∫sin2xcos3xdx を計算せよ。
解答3
cos の冪が奇数なので u=sinx と置換。
∫sin2xcos3xdx=∫sin2x(1−sin2x)cosxdx=∫u2(1−u2)du
=3u3−5u5+C=3sin3x−5sin5x+C
問題4：tannx の積分
∫tan3xdx を計算せよ。
解答4
tan2x=sec2x−1 を使う。
∫tan3xdx=∫tanx(sec2x−1)dx=∫tanxsec2xdx−∫tanxdx
u=tanx で ∫tanxsec2xdx=2tan2x
=2tan2x+ln∣cosx∣+C
問題5：secnx の積分
∫sec3xdx を計算せよ。
解答5
部分積分。u=secx, dv=sec2xdx。
∫sec3xdx=secxtanx−∫secxtan2xdx
tan2x=sec2x−1 より
=secxtanx−∫sec3xdx+∫secxdx
2∫sec3xdx=secxtanx+ln∣secx+tanx∣
∫sec3xdx=21(secxtanx+ln∣secx+tanx∣)+C
問題6：積を和に変換
∫sin3xcos5xdx を計算せよ。
解答6
積和公式 sinAcosB=21(sin(A+B)+sin(A−B)) を使う。
sin3xcos5x=21(sin8x+sin(−2x))=21(sin8x−sin2x)
∫sin3xcos5xdx=21(−8cos8x+2cos2x)+C=−16cos8x+4cos2x+C
問題7：sinmxsinnx 型
∫02πsin2xsin3xdx を計算せよ。
解答7
sinAsinB=21(cos(A−B)−cos(A+B)) より
sin2xsin3x=21(cosx−cos5x)
∫02πsin2xsin3xdx=21[sinx−5sin5x]02π=0
異なる整数 m,n で ∫02πsinmxsinnxdx=0（直交性）。
問題8：a+bcosx1 型
∫3+5cosxdx を計算せよ。
解答8
t=tan2x（Weierstrass置換）。cosx=1+t21−t2, dx=1+t22dt。
∫3+5cosxdx=∫3+51+t21−t21⋅1+t22dt=∫3(1+t2)+5(1−t2)2dt
=∫8−2t22dt=∫4−t2dt=41ln2−t2+t+C
問題9：sin−1 を含む積分
∫1+cos2xsinxdx を計算せよ。
解答9
u=cosx, du=−sinxdx。
∫1+cos2xsinxdx=−∫1+u2du=−arctanu+C=−arctan(cosx)+C
問題10：定積分
∫0π/2sin2xcos2xdx を計算せよ。
解答10
sin2xcos2x=41sin22x=81(1−cos4x)
∫0π/2sin2xcos2xdx=81[x−4sin4x]0π/2=81⋅2π=16π
