奇数乗か偶数乗かで手が変わる（三角関数の積分の計算問題）

$\int {\sin }^{3}xdx$ は置換で $1$ 行、$\int {\sin }^{4}xdx$ は半角の公式を $2$ 回です。次数が $1$ 違うだけで手順が変わります。

分かれ目は奇数乗か偶数乗か。奇数なら $1$ つを $dx$ の側へ回して置換、偶数なら次数を下げてから積分します^[1]。

以下は $15$ 問です。冪の形から始め、積の形、積和の公式、正接と正割、有理式に直す置換まで並べました。

型の見分け

被積分関数の形で手順が決まります。

奇数乗は置換、偶数乗は次数下げ。この $2$ 本が中心で、残りは公式で形を変える手です。

問題 1：奇数乗

$\int {\sin }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答 1

$\sin x$ を $1$ つ残し、残りを $\cos$ で書きます。

$$\int {\sin }^{3}xdx=\int (1-{\cos }^{2}x)\sin xdx$$

$u=\cos x$ と置くと $du=-\sin xdx$ です。

$$=-\int (1-u^2)du=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$$

抜いた $1$ つが $du$ になります。奇数乗のときだけ、こうして $1$ つ余らせられる。

問題 2：偶数乗

$\int {\cos }^{4}xdx$ を計算せよ。

解答 2

$1$ つ抜くと残りが奇数になり、$\sin$ で書き直せません。半角の公式で次数を下げます^[1]。

$${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$$

${\cos }^{2}2x$ にもう一度当てます。

$$=\frac{3}{8}+\frac{\cos 2x}{2}+\frac{\cos 4x}{8}$$

$$\int {\cos }^{4}xdx=\frac{3x}{8}+\frac{\sin 2x}{4}+\frac{\sin 4x}{32}+C$$

定数項の $\frac{3}{8}$ から $x$ が出ます。偶数乗では必ず $x$ の項が残る。

問題 3：積で一方が奇数

$\int {\sin }^{2}x{\cos }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答 3

$\cos$ の側が奇数なので、そちらから $1$ つ抜きます。$u=\sin x$ です。

$$\int {\sin }^{2}x(1-{\sin }^{2}x)\cos xdx=\int u^2(1-u^2)du$$

$$=\frac{{\sin }^{3}x}{3}-\frac{{\sin }^{5}x}{5}+C$$

奇数側を抜いて、偶数側をそのまま $u$ にする。片方が奇数ならいつでもこの手です。

問題 4：次数が高い積

$\int {\sin }^{5}x{\cos }^{2}xdx$ を計算せよ。

解答 4

$\sin$ が奇数なので $1$ つ抜きます。残りは ${\sin }^{4}x=(1-{\cos }^{2}x{)}^2$ です。

$u=\cos x$、$du=-\sin xdx$ と置きます。

$$-\int (1-u^2{)}^2{u}^{2}du=-\int (u^2-2u^4+u^6)du$$

$$=-\frac{{\cos }^{3}x}{3}+\frac{2{\cos }^{5}x}{5}-\frac{{\cos }^{7}x}{7}+C$$

$0$ から $1$ までの定積分は $0.040112$ です。次数が上がっても展開が増えるだけになります。

問題 5：両方偶数の定積分

${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{2}xdx$ を計算せよ。

解答 5

倍角の公式でまとめます。$\sin x\cos x=\frac{\sin 2x}{2}$ です。

$${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=\frac{1-\cos 4x}{8}$$

$${\int }_0^{\pi /2}=\frac{1}{8}{\left[x-\frac{\sin 4x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{16}$$

値は $0.196350$ です。積を先にまとめてから半角へ進むと、展開が $1$ 段で済みます。

問題 6：正接の奇数乗

$\int {\tan }^{3}xdx$ を計算せよ。

解答 6

${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1$ で書きかえます。

$$\int \tan x({\sec }^{2}x-1)dx=\int \tan x{\sec }^{2}xdx-\int \tan xdx$$

第 $1$ 項は $u=\tan x$ で $\frac{{\tan }^{2}x}{2}$ です。第 $2$ 項は $\int \tan xdx=-\ln |\cos x|$ なので、引くと $\ln |\cos x|$ になります^[3]。

$$\int {\tan }^{3}xdx=\frac{{\tan }^{2}x}{2}+\ln |\cos x|+C$$

${\sec }^{2}x$ が $\tan x$ の微分であることが効いています。正接では ${\sec }^2$ を作る。これが型です。

問題 7：正接の偶数乗

$\int {\tan }^{4}xdx$ を計算せよ。

解答 7

同じ書きかえを $2$ 回使います。

$${\tan }^{4}x={\tan }^{2}x({\sec }^{2}x-1)={\tan }^{2}x{\sec }^{2}x-{\sec }^{2}x+1$$

順に積分します。

$$\int {\tan }^{4}xdx=\frac{{\tan }^{3}x}{3}-\tan x+x+C$$

$0$ から $1$ までは $0.701766$ です。偶数乗でも $x$ の項が残ります。

問題 8：正割の偶数乗

$\int {\sec }^{4}xdx$ を計算せよ。

解答 8

${\sec }^{2}x$ を $1$ つ残し、残りを $\tan$ で書きます。

$$\int (1+{\tan }^{2}x){\sec }^{2}xdx$$

$u=\tan x$ と置くと $du={\sec }^{2}xdx$ です。

$$=\int (1+u^2)du=\tan x+\frac{{\tan }^{3}x}{3}+C$$

$0$ から $1$ までは $2.816582$ になります。正割が偶数乗なら、この手がいつでも通ります。

問題 9：積和の公式

$\int \sin 3x\cos 5xdx$ を計算せよ。

解答 9

積のままでは置換が効きません。和に直します^[1]。

$$\sin A\cos B=\frac{\sin (A+B)+\sin (A-B)}{2}$$

$A=3x$、$B=5x$ を入れます。$\sin (-2x)=-\sin 2x$ です。

$$\sin 3x\cos 5x=\frac{\sin 8x-\sin 2x}{2}$$

$$\int \sin 3x\cos 5xdx=-\frac{\cos 8x}{16}+\frac{\cos 2x}{4}+C$$

角が違う積は、必ず和に直してから積分します。

問題 10：直交性

${\int }_0^{2\pi }\sin 2x\sin 3xdx$ を計算せよ。

解答 10

積和の公式で $\sin A\sin B=\frac{\cos (A-B)-\cos (A+B)}{2}$ です。

$$\sin 2x\sin 3x=\frac{\cos x-\cos 5x}{2}$$

$\cos$ を $0$ から $2\pi$ まで積分すると、どちらも $0$ になります。

$${\int }_0^{2\pi }\sin 2x\sin 3xdx=0$$

$m\ne n$ ならいつでも $0$ です。フーリエ級数で係数をとり出せるのは、この直交性によります^[4]。

問題 11：分母に三角関数

$\int \frac{\sin x}{1+{\cos }^{2}x}dx$ を計算せよ。

解答 11

$u=\cos x$ と置きます。$du=-\sin xdx$ で、分子がそのまま $du$ です。

$$-\int \frac{du}{1+u^2}=-\arctan (\cos x)+C$$

分母に三角関数があっても、微分が分子に見えていれば置換が効きます。

問題 12：ワイエルシュトラス置換

$\int \frac{dx}{3+5\cos x}$ を計算せよ。

解答 12

$t=\tan \frac{x}{2}$ と置きます^[2]。$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$ です。

$$\int \frac{2dt}{3(1+t^2)+5(1-t^2)}=\int \frac{2dt}{8-2t^2}=\int \frac{dt}{4-t^2}$$

部分分数に分けます。

$$=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{2+t}{2-t}\right|+C$$

$0$ から $1$ までは $0.140133$ です。分母の $3$ と $5$ の大小で答えの形が変わり、$|a|<|b|$ なら対数、$|a|>|b|$ なら逆正接になります。

問題 13：正弦の逆数

$\int \frac{dx}{\sin x}$ を計算せよ。

解答 13

同じ置換を使います。$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$ です^[2]。

$$\int \frac{1+t^2}{2t}\cdot \frac{2dt}{1+t^2}=\int \frac{dt}{t}=\ln |t|+C$$

$$=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C$$

$0.5$ から $1$ までは $0.760569$ です。$1+t^2$ が約分されて、いちばん簡単な形になりました。

問題 14：部分積分と混ぜる

${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ を計算せよ。

解答 14

三角関数だけの型ではないので、部分積分に切りかえます。$u=x$、$dv=\sin xdx$ です。

$${\left[-x\cos x\right]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\cos xdx=\pi +0=\pi$$

多項式が掛かっていたら、まず部分積分で外します。冪の型の判断はそのあとです。

問題 15：型に当てはまらない場合

$\int \frac{dx}{\sin x+\cos x}$ を計算せよ。

解答 15

合成して $1$ つの三角関数にします。

$$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$$

問題 $13$ の結果が使える形になりました。

$$\int \frac{dx}{\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{8}\right)\right|+C$$

角が同じ和なら、合成で $1$ 本にまとめられます。ワイエルシュトラス置換に進む前に、この手を試します。

つまずきやすいところ

型の見分けと、公式の符号で誤ります。

奇数か偶数かを先に数える。それだけで、置換か次数下げかが決まります。

よくある誤り

次数の偶奇を数え、角が同じかを見る。この $2$ つで、$15$ 問のどれに当たるかがその場で決まります。

参考文献

^[1] が半角の公式・積和の公式・倍角の公式、^[2] がワイエルシュトラス置換の公式、^[3] が三角関数の積分公式の一覧、^[4] が三角関数の直交性とフーリエ級数、^[5] がドイツ語での公式集で、冪の低減・積の公式・半角の正接による表示を扱っています。