収束するのか発散するのか？広義積分の判定と計算

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}=1$ で、${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}$ は発散します。指数が $1$ 違うだけで結果が分かれる。

境目は $p=1$ です。無限区間では $p>1$ で収束し、原点の近くでは $p<1$ で収束します。向きが逆になる点が要です^[1]。

以下は $15$ 問です。両方の型の基本から始め、比較判定、条件収束、ガンマ関数、主値まで並べました。

2 つの型と、境目

広義積分は $2$ 種類あります^[1]。

どちらも極限として定義します。極限が有限なら収束、そうでなければ発散です。

境目を $\frac{1}{x^p}$ で見ます。遠方では $p$ が大きいほど速く減るので有利、原点では $p$ が小さいほど穏やかなので有利になる。

問題 1：無限区間で収束する

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}$ を計算せよ。

解答 1

上端を $R$ にして極限をとります。

$${\int }_1^R\frac{dx}{x^2}={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^R=1-\frac{1}{R}$$

$R\to \infty$ で $1$ に収束します。区間は無限ですが、面積は有限です。

問題 2：無限区間で発散する

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x}$ が発散することを示せ。

解答 2

同じ手順です。原始関数が対数になる。

$${\int }_1^R\frac{dx}{x}=\ln R\to \infty$$

$\frac{1}{x}$ は $0$ に近づくのに、面積は有限に収まりません。$0$ への近づき方が遅すぎるためです。

問題 3：p の境目

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^p}$ の収束条件を求めよ。

解答 3

$p\ne 1$ なら原始関数は $\frac{x^{1-p}}{1-p}$ です。

$R\to \infty$ で $R^{1-p}$ が $0$ に行くのは $1-p<0$、つまり $p>1$ のときになります。

$p=1$ は問題 $2$ で発散でした。まとめると $p>1$ で収束、$p\le 1$ で発散です^[1]。

問題 4：原点で発散する場合

${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}$ を計算せよ。

解答 4

$x=0$ で被積分関数が発散します。下端を $\epsilon$ にして極限をとる。

$${\int }_{\epsilon }^1{x}^{-1/2}dx={\left[2\sqrt{x}\right]}_{\epsilon }^1=2-2\sqrt{\epsilon }\to 2$$

高さは無限に伸びますが、面積は $2$ で収まります。$p=\frac{1}{2}<1$ なので収束する側です。

問題 5：原点で発散して収束しない

${\int }_0^1\frac{dx}{x}$ が発散することを示せ。

解答 5

$${\int }_{\epsilon }^1\frac{dx}{x}=-\ln \epsilon \to \infty$$

${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}$ は $p<1$ で収束、$p\ge 1$ で発散です^[1]。無限区間のときと不等号の向きが逆になります。

$\frac{1}{x}$ は両側で発散する、と覚えると境目を思い出せます。

問題 6：指数関数

${\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx$ を計算せよ。

解答 6

$${\int }_0^R{e}^{-x}dx=1-e^{-R}\to 1$$

指数はどんなべきよりも速く減るので、${\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx$ も $n$ がいくつでも収束します。

問題 7：逆正接

${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}$ を計算せよ。

解答 7

原始関数は $\arctan x$ です。

$${\left[\arctan x\right]}_0^R=\arctan R\to \frac{\pi }{2}$$

両側に伸ばせば $\pi$ です。被積分関数が $\frac{1}{x^2}$ と同じ速さで減るので、収束します。

問題 8：ガウス積分

${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$ を示せ。

解答 8

原始関数が初等関数で書けないので、$2$ 乗して重積分に直します。

$$I^2={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy$$

極座標に移すと面積要素から $r$ が出ます。

$$I^2={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}drd\theta =2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi$$

$I>0$ なので $I=\sqrt{\pi }$ です。$1$ 変数では手が出ない積分が、$2$ 変数にすると解けます。

問題 9：比較判定

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2+\sin x}$ の収束を判定せよ。

解答 9

原始関数は求めません。上から押さえて、押さえた側の収束を見ます^[1]。

$x\ge 2$ なら $\sin x\ge -1$ から $x^2+\sin x\ge x^2-1\ge \frac{x^2}{2}$ です。

$$0<\frac{1}{x^2+\sin x}\le \frac{2}{x^2}$$

${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2}$ が収束するので、この積分も収束します。数値では $1$ から $100$ までで $0.806$ ほどです。

判定だけなら、被積分関数を計算する必要はありません。押さえが見つかるかどうかだけを考えます。

問題 10：条件収束

${\int }_1^{\infty }\frac{\sin x}{x}dx$ が収束し、絶対収束しないことを示せ。

解答 10

収束は部分積分で示します。

$${\int }_1^R\frac{\sin x}{x}dx={\left[-\frac{\cos x}{x}\right]}_1^R-{\int }_1^R\frac{\cos x}{x^2}dx$$

第 $1$ 項は $R\to \infty$ で $\cos 1$ に収束します。第 $2$ 項は $\left|\frac{\cos x}{x^2}\right|\le \frac{1}{x^2}$ で絶対収束する。

絶対値のほうを見ます。各山ごとに下から押さえます。

$${\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }\frac{|\sin x|}{x}dx\ge \frac{1}{(n+1)\pi }{\int }_{n\pi }^{(n+1)\pi }|\sin x|dx=\frac{2}{(n+1)\pi }$$

右辺の和は調和級数の定数倍で発散します。よって絶対収束しません。

正と負が打ち消し合って収束する、という形です。$0$ から $\infty$ までなら値は $\frac{\pi }{2}$ になります^[1]。

問題 11：両端が特異

${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}$ を計算せよ。

解答 11

$x=0$ でも $x=1$ でも発散します。$x={\sin }^2\theta$ と置きます。

$dx=2\sin \theta \cos \theta d\theta$、$\sqrt{x(1-x)}=\sin \theta \cos \theta$ です。

$${\int }_0^{\pi /2}2d\theta =\pi$$

被積分関数が丸ごと消えました。$0$ と $1$ の両方が $\theta$ の端に移り、特異点がなくなります。

両端に特異点があるときは、途中で区間を割って別々に極限をとります。ここでは置換で $1$ 度に片づきました。

問題 12：ガンマ関数

$\Gamma (n+1)={\int }_0^{\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$ を示せ。

解答 12

部分積分します。$u=x^n$、$dv=e^{-x}dx$ です。

$$\Gamma (n+1)={\left[-x^n{e}^{-x}\right]}_0^{\infty }+n{\int }_0^{\infty }{x}^{n-1}{e}^{-x}dx=n\Gamma (n)$$

境界項は両端とも $0$ になります。指数が多項式を押さえるからです。

$\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$ から、帰納法で $\Gamma (n+1)=n!$ です。

$n=3$ で数値計算すると $6$ になり、$3!$ と合います。階乗を実数へ伸ばした関数がガンマ関数です。

問題 13：収束する指数の範囲

${\int }_0^{\infty }{x}^p{e}^{-x}dx$ が収束する $p$ の範囲を求めよ。

解答 13

区間を $2$ つに割ります。$[0,1]$ と $[1,\infty )$ です。

原点の近くでは $e^{-x}\approx 1$ なので、$x^p$ の振る舞いで決まります。$p>-1$ なら収束です。

遠方では指数が効き、$p$ がいくつでも収束します。多項式より速く減るからです。

したがって条件は $p>-1$ になります。$\Gamma$ の定義域が $0$ より大きい側に限られるのは、この事情です。

問題 14：主値

${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x}$ について、広義積分としての値と主値を述べよ。

解答 14

$x=0$ の左右を別々に極限へ飛ばします。

$${\int }_{-1}^{-\epsilon }\frac{dx}{x}=\ln \epsilon ,{\int }_{\delta }^1\frac{dx}{x}=-\ln \delta$$

$\epsilon$ と $\delta$ を独立に $0$ へ近づけると、和は何にでもなります。広義積分としては発散です。

$\epsilon =\delta$ と揃えて近づけると和は $0$ になります。これをコーシーの主値といいます^[1]。

主値が存在しても、広義積分が収束したことにはなりません。$2$ つを区別して書きます。

問題 15：判定を誤る例

${\int }_{-1}^1\frac{dx}{x^2}$ を「偶関数だから $2{\int }_0^1\frac{dx}{x^2}$」として計算するとどうなるか。

解答 15

${\int }_0^1\frac{dx}{x^2}$ は $p=2\ge 1$ なので発散します。$2$ 倍しても発散のままです。

対称性を使う式自体は正しく、結論も発散で合っています。誤りやすいのは、原始関数をそのまま代入する場合です。

$${\left[-\frac{1}{x}\right]}_{-1}^1=-1-1=-2$$

正の関数を積分して負の値が出ました。区間の内側に特異点があるのに、そこを飛び越えて代入したためです。

積分の前に、区間の内側で被積分関数が発散しないかを確かめます。原始関数の代入は、そのあとです。

つまずきやすいところ

判定の向きと、特異点の位置で誤ります。

まず特異点の場所を書き出し、次に $p$ を数える。この $2$ 段で、ほとんどの判定が終わります。

よくある誤り

特異点の場所と $p$ の値。この $2$ つを先に書き出せば、判定は機械的に終わります。

参考文献

^[1] が広義積分の $2$ つの型・$p$ 判定・比較判定・主値・$\frac{\sin x}{x}$ の積分、^[2] がガンマ関数、^[3] がガウス積分、^[4] がドイツ語での定式化、^[5] がディリクレ積分です。