級数の収束判定

級数の収束判定は様々な判定法を使い分ける必要がある。各判定法の適用条件を理解することが重要である。

問題1：比較判定法

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+n}$ の収束・発散を判定せよ。

解答1

$\frac{1}{n^2+n}<\frac{1}{n^2}$ であり、$\sum \frac{1}{n^2}$ は収束（$p$-級数、$p=2>1$）。

比較判定法により $\sum \frac{1}{n^2+n}$ は収束。

別解：部分分数分解で $\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（望遠鏡和）より $\sum =1$。

問題2：比判定法（ダランベール）

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}$ の収束・発散を判定せよ。

解答2

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}=\frac{n^n}{(n+1{)}^n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n=\frac{1}{(1+1/n{)}^n}\to \frac{1}{e}<1$$

比判定法により収束。

問題3：根判定法（コーシー）

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{n}{2n+1}\right)}^n$ の収束・発散を判定せよ。

解答3

$$\sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{2n+1}\to \frac{1}{2}<1(n\to \infty )$$

根判定法により収束。

問題4：交代級数判定法（ライプニッツ）

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ の収束・発散を判定せよ。

解答4

$a_n=\frac{1}{n}$ とおく。

• $a_n>0$
• $a_{n+1}<a_n$（単調減少）
• ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0$

ライプニッツの判定法により収束（$\ln 2$ に収束）。ただし絶対収束しない（調和級数は発散）。

問題5：比判定法が使えない場合

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ に比判定法を適用するとどうなるか。

解答5

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{n^2}{(n+1{)}^2}\to 1(n\to \infty )$$

比が $1$ に収束するので、比判定法では判定できない。

$p$-級数 $\sum \frac{1}{n^p}$ は $p>1$ で収束するので、この級数は収束。

問題6：積分判定法

$\sum _{n=2}^{\infty }\frac{1}{n\ln n}$ の収束・発散を判定せよ。

解答6

$f(x)=\frac{1}{x\ln x}$ は $x\ge 2$ で正、連続、単調減少。

$${\int }_2^{\infty }\frac{dx}{x\ln x}=\underset{R\to \infty }{\lim }[\ln (\ln x){]}_2^R=\infty$$

積分が発散するので、積分判定法により級数も発散。

問題7：絶対収束と条件収束

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^{3/2}}$ は絶対収束するか条件収束するか。

解答7

$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ は $p=3/2>1$ より収束。

したがって $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^{3/2}}$ は絶対収束する。

問題8：組み合わせ

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^n}{n!}$ の収束・発散を判定せよ。

解答8

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot \frac{n!}{2^n}=\frac{2}{n+1}\to 0<1$$

比判定法により収束。実際、$\sum \frac{2^n}{n!}=e^2-1$。

問題9：$n!$ と $n^n$ の比較

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(2n)!}{(n!{)}^2\cdot 4^n}$ の収束・発散を判定せよ。

解答9

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!{)}^2\cdot 4^{n+1}}\cdot \frac{(n!{)}^2\cdot 4^n}{(2n)!}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1{)}^2}=\frac{2n+1}{2(n+1)}\to 1$$

比判定法では判定できない。Stirling近似を使うと $a_n\sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$。

$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ は発散するので、この級数も発散。

問題10：複合的な判定

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^n}{3^n\cdot n!}$ の収束・発散を判定せよ。

解答10

$$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1{)}^{n+1}}{3^{n+1}(n+1)!}\cdot \frac{3^n\cdot n!}{n^n}=\frac{(n+1{)}^n}{3\cdot n^n}=\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to \frac{e}{3}<1$$

比判定法により収束。