一様収束は関数列や級数の収束の強さを表す概念である。項別微分・積分の正当化に必要となる。
問題1：一様収束の定義確認
fn(x)=xn は [0,1] で一様収束するか。
解答1
各点収束を調べる。
f(x)=n→∞limxn={01(0≤x<1)(x=1)
supx∈[0,1]∣fn(x)−f(x)∣=supx∈[0,1)xn=1（x→1− で）
sup が 0 に収束しないので、一様収束しない。
問題2：一様収束の例
fn(x)=1+nx2x は R 上で一様収束するか。
解答2
各点で fn(x)→0。一様収束を調べる。
∣fn(x)∣=1+nx2∣x∣ の最大値を求める。g(x)=1+nx2x（x>0）として
g′(x)=(1+nx2)21−nx2=0 より x=n1
g(n1)=21/n=2n1→0
sup∣fn(x)∣=2n1→0 より一様収束する。
問題3：Weierstrass M-判定法
n=1∑∞n2sinnx は R 上で一様収束するか。
解答3
n2sinnx≤n21=Mn
∑Mn=∑n21 は収束する（p-級数）。
Weierstrass M-判定法により一様収束する。
問題4：一様収束しない級数
n=1∑∞nxn は (0,1) で一様収束するか。
解答4
x∈(0,1) で各点収束して −ln(1−x) となる。
x→1− で −ln(1−x)→∞ より、極限関数は (0,1) で有界でない。
各部分和 SN(x)=∑n=1Nnxn は連続だが、極限関数は x=1 で発散。
supx∈(0,1)∣S(x)−SN(x)∣→0 とならないので一様収束しない。
問題5：閉区間への制限
n=0∑∞xn は [0,r]（0<r<1）で一様収束するか。
解答5
∣xn∣≤rn=Mn
∑rn=1−r1 は収束。
Weierstrass M-判定法により [0,r] で一様収束する。
ただし [0,1) 全体では一様収束しない。
問題6：項別微分
f(x)=∑n=1∞n2cosnx は微分可能で、f′(x)=−∑n=1∞nsinnx か。
解答6
∑n2cosnx は M-判定法で一様収束。
∑n−sinnx は nsinnx≤n1 だが ∑n1 は発散。M-判定法は使えない。
∑nsinnx は Dirichlet 判定法で一様収束することが示せる。
項別微分が一様収束するので f′(x)=−∑nsinnx。
問題7：項別積分
∫01n=0∑∞xndx=n=0∑∞∫01xndx を確かめよ。
解答7
[0,r]（r<1）で一様収束するので項別積分可。
∫0r∑xndx=∑∫0rxndx=∑n+1rn+1
左辺 =∫0r1−xdx=−ln(1−r)
右辺 =−ln(1−r)（対数のテイラー級数）
r→1 で両辺とも発散するが、r<1 では成立。
問題8：Dinetの定理
fn:[a,b]→R が連続、fn(x)≥fn+1(x)、fn→0 各点収束とする。一様収束を示せ。
解答8
ε>0 を固定。Kn={x:fn(x)≥ε} は閉集合。
fn↓0 より K1⊃K2⊃⋯ かつ ⋂Kn=∅。
[a,b] のコンパクト性より、ある N で KN=∅。
n≥N で supfn(x)<ε。よって一様収束。
問題9：Cauchy列
{fn} が [a,b] で一様収束 ⇔ supx∣fm(x)−fn(x)∣→0（m,n→∞）を示せ。
解答9
(⇒) fn→f 一様収束なら ∣fm−fn∣≤∣fm−f∣+∣f−fn∣。両辺の sup を取り m,n→∞ で 0。
(⇐) 各 x で {fn(x)} は Cauchy 列。R の完備性から収束。f(x)=limfn(x) と定義。一様 Cauchy 条件から一様収束が従う。
問題10：べき級数の一様収束
∑anxn の収束半径が R のとき、∣x∣≤r<R で一様収束することを示せ。
解答10
∣anxn∣≤∣an∣rn
∑∣an∣rn は r<R で収束（収束半径の定義から）。
Weierstrass M-判定法により [−r,r] で一様収束。
