一様収束の判定

一様収束は関数列や級数の収束の強さを表す概念である。項別微分・積分の正当化に必要となる。

問題1：一様収束の定義確認

$f_n(x)=x^n$ は $[0,1]$ で一様収束するか。

解答1

各点収束を調べる。

$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{ll}0& (0\le x<1)\\ 1& (x=1)\end{array}$$

${\sup }_{x\in [0,1]}|f_n(x)-f(x)|={\sup }_{x\in [0,1)}{x}^n=1$（$x\to 1^{-}$ で）

$\sup$ が $0$ に収束しないので、一様収束しない。

問題2：一様収束の例

$f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するか。

解答2

各点で $f_n(x)\to 0$。一様収束を調べる。

$|f_n(x)|=\frac{|x|}{1+n{x}^2}$ の最大値を求める。$g(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$（$x>0$）として

$g^{\prime }(x)=\frac{1-n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2}=0$ より $x=\frac{1}{\sqrt{n}}$

$g\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1/\sqrt{n}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0$

$\sup |f_n(x)|=\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0$ より一様収束する。

問題3：Weierstrass M-判定法

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するか。

解答3

$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}=M_n$

$\sum M_n=\sum \frac{1}{n^2}$ は収束する（$p$-級数）。

Weierstrass M-判定法により一様収束する。

問題4：一様収束しない級数

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ は $(0,1)$ で一様収束するか。

解答4

$x\in (0,1)$ で各点収束して $-\ln (1-x)$ となる。

$x\to 1^{-}$ で $-\ln (1-x)\to \infty$ より、極限関数は $(0,1)$ で有界でない。

各部分和 $S_N(x)={\sum }_{n=1}^N\frac{x^n}{n}$ は連続だが、極限関数は $x=1$ で発散。

${\sup }_{x\in (0,1)}|S(x)-S_N(x)|\to 0$ とならないので一様収束しない。

問題5：閉区間への制限

$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$ は $[0,r]$（$0<r<1$）で一様収束するか。

解答5

$|x^n|\le r^n=M_n$

$\sum r^n=\frac{1}{1-r}$ は収束。

Weierstrass M-判定法により $[0,r]$ で一様収束する。

ただし $[0,1)$ 全体では一様収束しない。

問題6：項別微分

$f(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^2}$ は微分可能で、$f^{\prime }(x)=-{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$ か。

解答6

$\sum \frac{\cos nx}{n^2}$ は M-判定法で一様収束。

$\sum \frac{-\sin nx}{n}$ は $\left|\frac{\sin nx}{n}\right|\le \frac{1}{n}$ だが $\sum \frac{1}{n}$ は発散。M-判定法は使えない。

$\sum \frac{\sin nx}{n}$ は Dirichlet 判定法で一様収束することが示せる。

項別微分が一様収束するので $f^{\prime }(x)=-\sum \frac{\sin nx}{n}$。

問題7：項別積分

${\int }_0^1\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^1{x}^{n}dx$ を確かめよ。

解答7

$[0,r]$（$r<1$）で一様収束するので項別積分可。

${\int }_0^r\sum x^{n}dx=\sum {\int }_0^r{x}^{n}dx=\sum \frac{r^{n+1}}{n+1}$

左辺 $={\int }_0^r\frac{dx}{1-x}=-\ln (1-r)$

右辺 $=-\ln (1-r)$（対数のテイラー級数）

$r\to 1$ で両辺とも発散するが、$r<1$ では成立。

問題8：Dinetの定理

$f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ が連続、$f_n(x)\ge f_{n+1}(x)$、$f_n\to 0$ 各点収束とする。一様収束を示せ。

解答8

$\epsilon >0$ を固定。$K_n=\{x:f_n(x)\ge \epsilon \}$ は閉集合。

$f_n\downarrow 0$ より $K_1\supset K_2\supset \cdots$ かつ $\bigcap K_n=\varnothing$。

$[a,b]$ のコンパクト性より、ある $N$ で $K_N=\varnothing$。

$n\ge N$ で $\sup f_n(x)<\epsilon$。よって一様収束。

問題9：Cauchy列

$\{f_n\}$ が $[a,b]$ で一様収束 $\iff$ ${\sup }_x|f_m(x)-f_n(x)|\to 0$（$m,n\to \infty$）を示せ。

解答9

$(\Rightarrow )$ $f_n\to f$ 一様収束なら $|f_m-f_n|\le |f_m-f|+|f-f_n|$。両辺の $\sup$ を取り $m,n\to \infty$ で $0$。

$(\Leftarrow )$ 各 $x$ で $\{f_n(x)\}$ は Cauchy 列。$\mathbb{R}$ の完備性から収束。$f(x)=\lim f_n(x)$ と定義。一様 Cauchy 条件から一様収束が従う。

問題10：べき級数の一様収束

$\sum a_n{x}^n$ の収束半径が $R$ のとき、$|x|\le r<R$ で一様収束することを示せ。

解答10

$|a_n{x}^n|\le |a_n|r^n$

$\sum |a_n|r^n$ は $r<R$ で収束（収束半径の定義から）。

Weierstrass M-判定法により $[-r,r]$ で一様収束。