一様収束の判定｜上限の見積もり・M 判定法・ディニの定理

一様収束かどうかは、差の上限が 0 に近づくかで決まる。各点収束は $x$ ごとに速さが違ってよいが、一様収束は全体で速さをそろえることを求める。

$$\underset{x\in I}{\sup }|f_n(x)-f(x)|\to 0$$

以下の問題は、この上限を実際に見積もる型を身につけるために並べてある。後半には、一様収束を仮定しても足りない場面を集めた。

問題 1：$x^n$ は $[0,1]$ で一様収束するか

$f_n(x)=x^n$ の $[0,1]$ での一様収束を判定せよ。

解答 1

まず各点収束を調べる。$0\le x<1$ では $x^n\to 0$、$x=1$ では $x^n=1$ のままである。極限関数は $x=1$ でだけ 1 を取る関数になる。

差の上限を計算する。$x=1$ では差が 0 なので、上限は $[0,1)$ 上で決まる。

$$\underset{x\in [0,1]}{\sup }|f_n(x)-f(x)|=\underset{x\in [0,1)}{\sup }{x}^n=1$$

上限は $n$ によらず 1 のままで 0 に近づかない。したがって一様収束しない。

上限が 1 になるのは、$x$ を 1 に十分近く取れば $x^n$ がいくらでも 1 に近づくからである。$x$ ごとに見れば 0 に行くが、行く速さが $x$ とともに際限なく遅くなっている。

<svg viewBox="0 0 460 240" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="70" y1="200" x2="400" y2="200" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="80" y1="30" x2="80" y2="215" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<polyline points="80,200 380,40" fill="none" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,200 140,194 200,174 260,142 320,98 380,40" fill="none" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,200 140,200 200,198 260,188 320,148 350,110 380,40" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,200 260,200 320,199 335,194 350,181 365,143 374,93 380,40" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<circle cx="380" cy="40" r="3" fill="#1f1f1f"></circle>
	<text x="55" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">n を大きくしても、x = 1 の近くでは 1 に近い値が残る</text>
	<text x="336" y="60" font-size="11" fill="#9a9a9a">n = 1</text>
	<text x="300" y="104" font-size="11" fill="#9a9a9a">n = 2</text>
	<text x="288" y="160" font-size="11" fill="#1b81e0">n = 5</text>
	<text x="250" y="192" font-size="11" fill="#d0562a">n = 20</text>
	<text x="55" y="230" font-size="11" fill="#9a9a9a">上限は 1 のままで、0 に近づかない</text>
</svg>

問題 2：区間を狭めるとどうなるか

$0<r<1$ とする。$f_n(x)=x^n$ は $[0,r]$ で一様収束するか。

解答 2

極限関数は $[0,r]$ 全体で 0 である。差の上限は端点で決まる。

$$\underset{x\in [0,r]}{\sup }|x^n-0|=r^n\to 0$$

したがって一様収束する。区間を $x=1$ の手前で切ると、収束の速さが $r^n$ でそろう。

同じ関数列でも、考える区間を変えれば結論が変わる。一様収束は関数列と区間の組に対する性質である。

問題 3：上限を最大値問題として求める

$f_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するか。

解答 3

各点で $f_n(x)\to 0$ である。上限を求めるため、$x>0$ で最大値を探す。

$$f_n^{\prime }(x)=\frac{(1+n{x}^2)-x\cdot 2nx}{(1+n{x}^2{)}^2}=\frac{1-n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2}$$

$x=\frac{1}{\sqrt{n}}$ で 0 になり、そこが最大値である。奇関数なので $x<0$ では符号が反転するだけである。

$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\sup }|f_n(x)|=f_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)=\frac{1/\sqrt{n}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{n}}\to 0$$

したがって一様収束する。上限を求めるのに微分を使うのが、この型の標準的な手順である。

問題 4：上限が定数のまま残る例

$f_n(x)=\frac{nx}{1+n^2{x}^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するか。

解答 4

$x$ を固定すると分母が $n^2$ の速さで増えるので、各点で $f_n(x)\to 0$ である。

ところが $x=\frac{1}{n}$ を代入すると値が動かない。

$$f_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

上限は $n$ によらず $\frac{1}{2}$ 以上なので、一様収束しない。

前問との違いは、山の高さが縮むかどうかにある。前問の山は $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ まで低くなるが、こちらは高さ $\frac{1}{2}$ のまま原点へ寄っていくだけである。

問題 5：山が逃げていく例

$f_n(x)=\max (0,1-|nx-1|)$ は $[0,1]$ で一様収束するか。

解答 5

$f_n$ は $x=\frac{1}{n}$ で高さ 1、区間 $\left[0,\frac{2}{n}\right]$ の外では 0 という三角形である。連続関数である。

$x=0$ では常に 0 である。$x>0$ を固定すると、$\frac{2}{n}<x$ となる $n$ から先は $f_n(x)=0$ になる。したがって各点で 0 に収束する。

しかし上限は常に 1 である。よって一様収束しない。

<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<line x1="70" y1="180" x2="415" y2="180" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="80" y1="40" x2="80" y2="195" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<polyline points="80,180 240,50 400,180" fill="none" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,180 160,50 240,180" fill="none" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,180 120,50 160,180" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="80,180 100,50 120,180" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<text x="55" y="26" font-size="11" fill="#1f1f1f">山は左へ逃げるが、高さは 1 のまま</text>
	<text x="232" y="44" font-size="11" fill="#9a9a9a">n = 2</text>
	<text x="152" y="44" font-size="11" fill="#9a9a9a">n = 4</text>
	<text x="112" y="40" font-size="11" fill="#1b81e0">n = 8</text>
	<text x="92" y="40" font-size="11" fill="#d0562a">n = 16</text>
	<text x="55" y="208" font-size="11" fill="#9a9a9a">各点では 0 に収束するのに、上限は 0 に近づかない</text>
</svg>

各点収束は「$x$ を止めてから $n$ を動かす」順序で見る。$n$ を先に大きくしても、山を置く場所を $x$ に合わせて選べば値は 1 のままである。順序の違いがそのまま結論の違いになっている。

問題 6：極限が不連続なら一様収束しない

連続関数の列 $f_n$ が $f$ に一様収束するなら $f$ は連続であることを示し、判定への使い方を述べよ。

解答 6

$\epsilon >0$ を取る。一様収束から、ある $N$ で ${\sup }_x|f_N(x)-f(x)|<\frac{\epsilon }{3}$ となる。

$f_N$ は連続なので、点 $a$ で $|x-a|<\delta$ ならば $|f_N(x)-f_N(a)|<\frac{\epsilon }{3}$ とできる。

$$|f(x)-f(a)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)|+|f_N(a)-f(a)|<\epsilon$$

したがって $f$ は $a$ で連続である。$\frac{\epsilon }{3}$ を 3 か所に割り振るこの形は、一様収束の議論で繰り返し現れる。

対偶を取ると判定に使える。連続関数の列の極限が不連続なら、その収束は一様でない。問題 1 の $x^n$ はこれで即座に片づく。

問題 7：一様コーシー条件

$\{f_n\}$ が一様収束することと、${\sup }_x|f_m(x)-f_n(x)|\to 0$（$m,n\to \infty$）は同値であることを示せ。

解答 7

一様収束するとする。三角不等式から $|f_m-f_n|\le |f_m-f|+|f-f_n|$ であり、両辺の上限を取れば右辺は 0 に近づく。

逆を示す。各 $x$ で $\{f_n(x)\}$ はコーシー列なので、実数の完備性から収束する。その極限を $f(x)$ と置く。

$|f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon$ が $m,n\ge N$ とすべての $x$ で成り立つとし、$m\to \infty$ とすれば $|f(x)-f_n(x)|\le \epsilon$ を得る。右辺は $x$ によらないので一様収束である。

極限関数を知らずに一様収束を判定できるのが、この条件の値打ちである。

問題 8：ワイエルシュトラスの M 判定法

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^2}$ は $\mathbb{R}$ 上で一様収束するか。

解答 8

$x$ によらない上界を探す。

$$\left|\frac{\sin nx}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}=M_n$$

$\sum M_n$ は $p$ 級数として収束するので、M 判定法により一様収束する。

$M_n$ が $x$ を含まないことが要点である。$x$ に依存する上界では、上限を押さえたことにならない。

問題 9：等比級数を閉区間で

$0<r<1$ とする。$\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$ は $[0,r]$ で一様収束するか。

解答 9

$|x^n|\le r^n=M_n$ であり、$\sum r^n=\frac{1}{1-r}$ は収束する。M 判定法により一様収束する。

$[0,1)$ 全体では一様収束しない。$x\to 1^{-}$ で部分和と極限の差がいくらでも大きくなるからである。

収束する範囲の内側で閉区間を取れば通る、という形はべき級数で一般に成り立つ。次の問題で確かめる。

問題 10：べき級数の一様収束

$\sum a_n{x}^n$ の収束半径が $R$ のとき、$|x|\le r<R$ で一様収束することを示せ。

解答 10

$|x|\le r$ では $|a_n{x}^n|\le |a_n|r^n$ である。

収束半径の内側では級数が絶対収束するので、$\sum |a_n|r^n$ は収束する。M 判定法により $[-r,r]$ で一様収束する。

収束円の内部の閉区間ならどこでも通るが、半径いっぱいまで広げると保証は消える。区間を 1 つ内側に取るのが定石である。

問題 11：区間の端で崩れる級数

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$ は $(0,1)$ で一様収束するか。

解答 11

各点では $-\log (1-x)$ に収束する。一様収束を否定するには、残りの部分の上限を見る。

$$\underset{x\in (0,1)}{\sup }\sum _{n=N+1}^{\infty }\frac{x^n}{n}=\sum _{n=N+1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty$$

$x\to 1^{-}$ とすれば各項が $\frac{1}{n}$ に近づき、和は調和級数の尾になって発散する。どんな $N$ を取っても上限は有限にならない。

したがって一様収束しない。前問と同じく、$[0,r]$ に制限すれば一様収束する。

問題 12：M 判定法が届かない級数

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$ の一様収束を、$\mathbb{R}$ 上と $[\delta ,2\pi -\delta ]$ 上で判定せよ。

解答 12

$\left|\frac{\sin nx}{n}\right|\le \frac{1}{n}$ だが $\sum \frac{1}{n}$ は発散するので、M 判定法は使えない。

$\mathbb{R}$ 上では一様収束しない。和は $0<x<2\pi$ で $\frac{\pi -x}{2}$ になり、$x=0$ では 0 である。

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\pi -x}{2}=\frac{\pi }{2}\ne 0$$

極限関数が $x=0$ で不連続なので、問題 6 により一様収束ではない。

$\delta >0$ を固定した $[\delta ,2\pi -\delta ]$ では一様収束する。ディリクレの判定法による。

$\sum \sin nx$ の部分和が $\left|{\sum }_{n=1}^N\sin nx\right|\le \frac{1}{\sin (\delta /2)}$ と $N$ によらず押さえられ、係数 $\frac{1}{n}$ が 0 へ単調減少するからである。

上界を項ごとに取る M 判定法では、符号の打ち消しを拾えない。部分和をまとめて押さえるのがディリクレの判定法である。

問題 13：ディニの定理

$f_n:[a,b]\to \mathbb{R}$ が連続、各 $x$ で $f_n(x)\ge f_{n+1}(x)$、$f_n\to 0$ が各点収束とする。一様収束することを示せ。

解答 13

$\epsilon >0$ を固定し、$K_n=\{x\in [a,b]:f_n(x)\ge \epsilon \}$ と置く。$f_n$ が連続なので $K_n$ は閉集合であり、有界だからコンパクトである。

単調性から $K_1\supset K_2\supset \cdots$ である。各点収束から、どの $x$ もいずれ $K_n$ の外へ出るので ${\bigcap }_n{K}_n=\varnothing$ である。

コンパクト集合の減少列で共通部分が空になるのは、途中から空になる場合に限る。よってある $N$ で $K_N=\varnothing$ となる。

$n\ge N$ では $K_n\subset K_N=\varnothing$ なので、すべての $x$ で $f_n(x)<\epsilon$ である。これが一様収束である。

各点収束に単調性とコンパクト性を足すと一様収束に上がる、というのがこの定理の内容である。

問題 14：ディニの定理で単調性が要る

問題 5 の三角関数列を使って、単調性の仮定が落とせないことを確かめよ。

解答 14

$f_n(x)=\max (0,1-|nx-1|)$ は $[0,1]$ で連続、各点で 0 に収束し、極限関数 0 も連続である。

ディニの定理の仮定のうち、$f_n\ge f_{n+1}$ だけが成り立たない。実際 $x=\frac{1}{2}$ で $f_2\left(\frac{1}{2}\right)=1$、$f_4\left(\frac{1}{2}\right)=0$、$f_8\left(\frac{1}{2}\right)=0$ と一度上がって下がる。

結論のほうも成り立たず、問題 5 で見たとおり一様収束しない。単調性は外せない仮定である。

問題 15：項別積分

$0<r<1$ とする。${\int }_0^r\sum _{n=0}^{\infty }{x}^{n}dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^r{x}^{n}dx$ を確かめよ。

解答 15

問題 9 により $[0,r]$ で一様収束するので、項別積分が許される。

左辺は ${\int }_0^r\frac{dx}{1-x}=-\log (1-r)$ である。右辺は次のようになる。

$$\sum _{n=0}^{\infty }\frac{r^{n+1}}{n+1}=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{r^k}{k}=-\log (1-r)$$

両辺が一致する。$r$ を 1 に近づけると両辺とも発散するので、$[0,1]$ で同じことを主張することはできない。

問題 16：一様収束は項別積分の必要条件ではない

$f_n(x)=x^n$ について ${\int }_0^1{f}_n(x)dx$ と ${\int }_0^1\underset{n}{\lim }{f}_n(x)dx$ を比べよ。

解答 16

${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}\to 0$ である。極限関数は $x=1$ を除いて 0 なので、その積分は 0 である。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n=0={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n$$

一致している。問題 1 でこの列は一様収束しないと判定したので、一様収束は項別積分の十分条件ではあっても必要条件ではない。

判定が付かなかったからといって、積分と極限の交換が使えないと決めつけない。

問題 17：項別積分が壊れる例

$f_n(x)=n^{2}x{e}^{-nx}$ について $[0,1]$ で同じ比較をせよ。

解答 17

$x>0$ を固定すると $e^{-nx}$ が $n^2$ より速く 0 へ行くので $f_n(x)\to 0$ であり、$f_n(0)=0$ である。各点収束の極限は 0 である。

積分を計算する。部分積分から次が得られる。

$${\int }_0^1{n}^{2}x{e}^{-nx}dx=1-e^{-n}-n{e}^{-n}\to 1$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n=1\ne 0={\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n$$

交換が成り立たない。$f_n^{\prime }(x)=n^2{e}^{-nx}(1-nx)$ から山の頂点は $x=\frac{1}{n}$ で、高さは $\frac{n}{e}$ である。

底辺が縮むぶん高さが伸びるので、面積が残ったまま山が原点へ寄っていく。

一様収束していれば起こらない現象である。上限が 0 に近づかない以上、面積が消える保証はない。

問題 18：一様収束しても項別微分はできない

$f_n(x)=\frac{\sin nx}{\sqrt{n}}$ について、一様収束と導関数の収束を調べよ。

解答 18

$|f_n(x)|\le \frac{1}{\sqrt{n}}$ なので上限は $\frac{1}{\sqrt{n}}\to 0$ であり、$\mathbb{R}$ 上で 0 に一様収束する。

導関数は $f_n^{\prime }(x)=\sqrt{n}\cos nx$ である。$x=0$ では $\sqrt{n}\to \infty$ となり、収束すらしない。

極限関数 0 の導関数は 0 だが、$\lim f_n^{\prime }$ は存在しない。$f_n$ 自身の一様収束は、項別微分の根拠にならない。

正しい定理は導関数のほうに一様収束を課す。$f_n$ が $C^1$ で、ある 1 点で $f_n$ が収束し、$f_n^{\prime }$ が一様収束するなら、$f_n$ は一様収束して $f^{\prime }=\lim f_n^{\prime }$ が成り立つ。

問題 19：三角級数の項別微分

$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos nx}{n^2}$ について、$f^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin nx}{n}$ が成り立つ範囲を調べよ。

解答 19

$\delta >0$ を固定する。$[\delta ,2\pi -\delta ]$ では、問題 12 により微分した級数が一様収束する。もとの級数も 1 点で収束するので、前問の定理から項別微分が許される。

$\delta$ は任意なので、$0<x<2\pi$ のすべての点で等式が成り立つ。周期性から、$2\pi$ の整数倍を除くすべての $x$ で正しい。

$x=0$ では成り立たない。$f$ の閉じた形は $0\le x\le 2\pi$ で次のようになる。

$$f(x)=\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\pi x}{2}+\frac{x^2}{4}$$

$f$ は偶関数なので、原点の近くでは $\frac{{\pi }^2}{6}-\frac{\pi |x|}{2}+\frac{x^2}{4}$ である。右微分係数が $-\frac{\pi }{2}$、左微分係数が $\frac{\pi }{2}$ で、$x=0$ で微分できない。

一方 $-\sum \frac{\sin 0}{n}=0$ である。この点では、右辺が値を持つのに左辺が存在しない。

項別微分の成立範囲は、微分した級数が一様収束する範囲で決まる。全体で成り立つとは限らない。

つまずきやすいところ

判定を誤るのは、上限を取る順序と、仮定の置き場所を取り違えるときである。

迷ったら定義に戻り、${\sup }_x|f_n(x)-f(x)|$ を $n$ の式として書き下す。最大値を微分で求めるか、うまい $x$ を代入して下から押さえるかのどちらかで決まる。

参考文献