係数は積分 1 本で出る（フーリエ級数の計算問題とギブス現象）

$-1$ と $1$ を行き来する矩形波は、$\sin$ の和で書けます。

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$

角ばった不連続な関数が、なめらかな曲線の重ね合わせになる。係数は積分 $1$ 本で出ます^[1]。

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$

係数が積分で出る理由

$\cos nx$ と $\sin mx$ は、$[-\pi ,\pi ]$ 上で掛けて積分すると $0$ になります。同じものどうしのときだけ $\pi$ が残る^[3]。

級数 $f=\frac{a_0}{2}+\sum (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ の両辺に $\cos mx$ を掛けて積分すると、$n=m$ の項以外が全部消えます。

残った $a_m\pi$ を $\pi$ で割ったものが係数の式です。直交性がそのまま係数のとり出し方になっています。

偶奇で片方が消える

$f$ が偶関数なら $f(x)\sin nx$ は奇関数なので、積分は $0$。$b_n$ が全部消えます。

$f$ が奇関数なら逆に $a_n$ が消える。計算を始める前に偶奇を見ておくと、手間が半分になります。

問題 1：矩形波

$f(x)=1$（$0<x<\pi$）、$f(x)=-1$（$-\pi <x<0$）、周期 $2\pi$ のフーリエ級数を求めよ。

解答 1

奇関数なので $a_n=0$ です。$b_n$ だけを計算します。

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{2}{n\pi }\left(1-(-1{)}^n\right)$$

$n$ が偶数なら $0$、奇数なら $\frac{4}{n\pi }$。奇数次だけが残ります。

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$

$1-(-1{)}^n$ という形が出たら、偶数次が消える合図です。

問題 2：三角波

$f(x)=|x|$（$-\pi \le x\le \pi$）、周期 $2\pi$ のフーリエ級数を求めよ。

解答 2

偶関数なので $b_n=0$。定数項から出します。

$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }xdx=\pi$ なので、定数項は $\frac{a_0}{2}=\frac{\pi }{2}$ です。

$a_n$ は部分積分で出します。

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx=\frac{2}{n^2\pi }\left((-1{)}^n-1\right)$$

奇数次だけ $-\frac{4}{n^2\pi }$ が残ります。

$$|x|=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\left(\cos x+\frac{\cos 3x}{9}+\frac{\cos 5x}{25}+\cdots \right)$$

分母が $n^2$ になりました。矩形波の $n$ より速く減っています。この差は後で効いてきます。

問題 3：定数の項から級数を出す

問題 $2$ の式に $x=0$ を代入して、奇数の $2$ 乗の逆数和を求めよ。

解答 3

左辺は $|0|=0$ です。右辺は定数項から級数を引いた形になります。

$$0=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots \right)$$

移項して整理すると次が出ます。

$$1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{8}$$

代入する点は自由に選べます。級数がいちばん簡単になる点を探すところが要領になります。

問題 4：x のフーリエ級数

$f(x)=x$（$-\pi <x<\pi$）、周期 $2\pi$ のフーリエ級数を求めよ。

解答 4

奇関数なので $a_n=0$。部分積分で $b_n$ を出します。

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin nxdx=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$$

したがって $x=2\left(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots \right)$ です。

端点の $x=\pi$ では両側の値が $\pi$ と $-\pi$ で食い違います。級数はその平均 $0$ に収束する^[1]。

問題 5：ライプニッツの公式を出す

問題 $4$ の式に $x=\frac{\pi }{2}$ を代入せよ。

解答 5

$\sin \frac{n\pi }{2}$ は $1$、$0$、$-1$、$0$ の繰り返しです。偶数次が消えます。

$$\frac{\pi }{2}=2\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \right)$$

両辺を $2$ で割ると $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$。ライプニッツの公式です。

$x=\pi$ を選ぶと不連続点に当たるので、この形は出ません。連続な点を選ぶところが要点になります。

問題 6：バーゼル問題

$f(x)=x^2$（$-\pi \le x\le \pi$）のフーリエ級数を求め、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ を出せ。

解答 6

偶関数なので $b_n=0$。$\frac{a_0}{2}=\frac{{\pi }^2}{3}$、部分積分を $2$ 回行って $a_n=\frac{4(-1{)}^n}{n^2}$ です。

$$x^2=\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx$$

$x=\pi$ を代入します。$\cos n\pi =(-1{)}^n$ なので $(-1{)}^n$ が $2$ つ掛かって消えます。

$${\pi }^2=\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}⟹\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$$

$x^2$ は連続なので、端点 $x=\pi$ を使っても平均をとる必要がありません。

パーセバルの等式

係数の $2$ 乗和と、関数の $2$ 乗の積分が等しくなります^[3]。

$$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n^2+b_n^2\right)$$

代入する点を選ぶ方法と違って、こちらは級数全体の情報を使います。$2$ 乗で足すので符号が消え、絶対値の大きい係数が効きます。

問題 7：パーセバルで確かめる

問題 $1$ の矩形波にパーセバルの等式を当てて、問題 $3$ の結果を確かめよ。

解答 7

$|f{|}^2=1$ なので左辺は $\frac{1}{\pi }\cdot 2\pi =2$ です。

右辺は奇数次の $b_n$ だけ。$b_n=\frac{4}{n\pi }$ を $2$ 乗して足します。

$$2=\frac{16}{{\pi }^2}\sum _{n:\text{奇数}}\frac{1}{n^2}⟹\sum _{n:\text{奇数}}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$$

問題 $3$ と同じ値になりました。$1$ 点の代入と、全体の $2$ 乗和。別の道から同じ結果へ着きます。

複素形

$e^{inx}$ でまとめると、係数が $1$ 本の式になります^[1]。

$$f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n{e}^{inx},c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx$$

$a_n$ と $b_n$ の $2$ 本が $1$ 本になるかわりに、$n$ が負の側まで走ります。指数関数の積分は三角関数より軽いので、計算量は減ることが多い。

問題 8：指数関数の複素係数

$f(x)=e^{ax}$（$-\pi <x<\pi$、$a$ は実数で $a\ne 0$）の複素フーリエ係数を求めよ。

解答 8

指数どうしをまとめると、そのまま積分できます。

$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{(a-in)x}dx=\frac{e^{(a-in)\pi }-e^{-(a-in)\pi }}{2\pi (a-in)}=\frac{\sinh \left((a-in)\pi \right)}{\pi (a-in)}$$

$\sinh (a\pi -in\pi )=\sinh (a\pi )\cos n\pi -i\cosh (a\pi )\sin n\pi$ で、$\sin n\pi =0$ です。

$$c_n=\frac{(-1{)}^n\sinh (a\pi )}{\pi (a-in)}$$

三角関数のまま計算すると部分積分を循環させることになります。複素形なら $1$ 回の積分で終わる。

区間を変える

周期が $2L$ なら、$x$ を $\frac{\pi x}{L}$ に置き換えます。角の係数が $\frac{n\pi }{L}$ に変わるだけです。

$[0,L]$ だけで与えられた関数は、奇関数として $[-L,L]$ へ広げれば $\sin$ だけの級数に、偶関数として広げれば $\cos$ だけの級数になります。

同じ関数から $2$ 種類の級数が作れる。どちらを使うかは、境界での値をどう振る舞わせたいかで決めます。

問題 9：正弦級数へ展開する

$f(x)=x$（$0<x<L$）を正弦級数に展開せよ。

解答 9

奇関数として $[-L,L]$ へ広げます。係数の式は次のようになります。

$$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}x\sin \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{2L(-1{)}^{n+1}}{n\pi }$$

したがって $x=\frac{2L}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi x}{L}$ です。

$L=\pi$ とすると問題 $4$ に戻ります。区間を変えても構造は同じです。

係数の減り方は滑らかさで決まる

部分積分を $1$ 回するごとに、係数の分母に $n$ が $1$ つ増えます。$m$ 回できれば $n^{-m}$ の速さです^[1]。

問題 $1$ と問題 $2$ の係数を見比べると、この差がそのまま出ています。不連続な関数ほど高い次数まで必要になる。

ギブス現象

不連続点の近くでは、部分和がいくら項を増やしても行き過ぎたままになります^[2]。

角は横に細くなっていきますが、高さが変わりません。一様収束していない形が、そのまま目に見えています。

問題 10：行き過ぎの大きさ

矩形波の部分和が、不連続点の近くでどこまで行き過ぎるか答えよ。

解答 10

部分和の最初の山は、正弦積分 $\mathrm{Si}(\pi )={\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt=1.8519$ で書けます^[2]。

$$\frac{2}{\pi }\mathrm{Si}(\pi )=1.1790$$

本来の値 $1$ に対して $0.1790$ だけ行き過ぎます。矩形波は $-1$ から $1$ へ跳ぶので、跳びの幅 $2$ で測ると約 $8.95\%$ です。

項を増やすと山の位置は不連続点へ寄りますが、高さはこの値のまま動きません。

偶奇を見て片方を落とし、部分積分で係数を出す。あとは代入する点を選ぶか、パーセバルで $2$ 乗和をとるかです。

出典