フーリエ級数は周期関数を三角関数の無限和で表す方法である。係数の計算と収束を練習する。
問題1：矩形波のフーリエ級数
f(x)={1−1(0<x<π)(−π<x<0)（周期 2π）のフーリエ級数を求めよ。
解答1
f(x) は奇関数なので an=0。
bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx=π2∫0πsinnxdx=π2[−ncosnx]0π
=nπ2(1−cosnπ)=nπ2(1−(−1)n)={nπ40(n が奇数)(n が偶数)
f(x)=π4(sinx+3sin3x+5sin5x+⋯)
問題2：三角波のフーリエ級数
f(x)=∣x∣（−π≤x≤π、周期 2π）のフーリエ級数を求めよ。
解答2
f(x) は偶関数なので bn=0。
a0=π1∫−ππ∣x∣dx=π2∫0πxdx=π
an=π2∫0πxcosnxdx（部分積分）
=π2[nxsinnx]0π−nπ2∫0πsinnxdx=n2π2(cosnπ−1)
={−n2π40(n が奇数)(n が偶数)
f(x)=2π−π4(cosx+9cos3x+25cos5x+⋯)
問題3：パーセバルの等式
問題1の結果を用いて ∑n=1∞(2n−1)21=8π2 を示せ。
解答3
パーセバルの等式：π1∫−ππ∣f(x)∣2dx=2a02+∑(an2+bn2)
左辺：π1∫−ππ1dx=2
右辺：∑k=0∞b2k+12=∑k=0∞(2k+1)2π216
2=π216∑(2k+1)21 より ∑(2k+1)21=8π2
問題4：x のフーリエ級数
f(x)=x（−π<x<π、周期 2π）のフーリエ級数を求めよ。
解答4
奇関数なので an=0。
bn=π2∫0πxsinnxdx（部分積分）
=π2[−nxcosnx]0π+nπ2∫0πcosnxdx=−n2cosnπ=n2(−1)n+1
x=2(sinx−2sin2x+3sin3x−⋯)
問題5：x=π での値
問題4の結果を用いて ∑n=1∞n(−1)n+1=ln2 を別の方法で確認せよ。
解答5
x=2π を代入：2π=2(1−0−31+0+51−0−⋯)
4π=1−31+51−⋯（ライプニッツの公式）
ln2 の導出は x=π では使えない（不連続点）。代わりに ln(1+x) の級数 x=1 で。
問題6：x2 のフーリエ級数
f(x)=x2（−π≤x≤π、周期 2π）のフーリエ級数を求めよ。
解答6
偶関数なので bn=0。
a0=π2∫0πx2dx=32π2
an=π2∫0πx2cosnxdx=n24(−1)n（部分積分2回）
x2=3π2+4n=1∑∞n2(−1)ncosnx
x=π で π2=3π2+4∑n21 より ∑n21=6π2。
問題7：複素フーリエ係数
f(x)=eax（−π<x<π）の複素フーリエ係数を求めよ。
解答7
cn=2π1∫−ππeaxe−inxdx=2π1∫−ππe(a−in)xdx
=2π1⋅a−ine(a−in)π−e−(a−in)π=π(a−in)sinh(aπ−inπ)
sinh(aπ−inπ)=sinh(aπ)cos(nπ)−icosh(aπ)sin(nπ)=(−1)nsinh(aπ)
cn=π(a−in)(−1)nsinh(aπ)
問題8：Gibbsの現象
矩形波の部分和 SN(x)=π4∑k=0N−12k+1sin(2k+1)x の不連続点付近の振る舞いを述べよ。
解答8
x=0 の近くで SN(x) は f(x) に収束するが、N→∞ でも不連続点 x=0 の近くでオーバーシュートが残る。
オーバーシュートの大きさは約 9%（正確には π2∫0πtsintdt−1≈0.0895）。
これを Gibbs の現象という。フーリエ級数の本質的な性質である。
問題9：区間 [0,L] でのフーリエ級数
f(x)=x（0<x<L）を正弦級数で展開せよ。
解答9
f(x) を奇関数として [−L,L] に拡張する。
bn=L2∫0LxsinLnπxdx=nπ2L(−1)n+1
x=π2Ln=1∑∞n(−1)n+1sinLnπx
問題10：収束の速さ
f(x) が Ck 級のとき、フーリエ係数の減衰を述べよ。
解答10
部分積分を k 回行うと、an,bn=O(n−k−1) となる。
滑らかな関数ほどフーリエ係数は速く減衰し、収束が速い。
矩形波（不連続）：O(n−1)
三角波（連続、角あり）：O(n−2)
C∞ 関数：任意の冪より速く減衰
