フーリエ級数の計算問題

フーリエ級数は周期関数を三角関数の無限和で表す方法である。係数の計算と収束を練習する。

問題1：矩形波のフーリエ級数

$f(x)=0$（周期 $2\pi$）のフーリエ級数を求めよ。

解答1

$f(x)$ は奇関数なので $a_n=0$。

$$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{2}{\pi }{\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }$$

$$=\frac{2}{n\pi }(1-\cos n\pi )=\frac{2}{n\pi }(1-(-1{)}^n)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{n\pi }& (n\text{ が奇数})\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$

$$f(x)=\frac{4}{\pi }\left(\sin x+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\cdots \right)$$

問題2：三角波のフーリエ級数

$f(x)=|x|$（$-\pi \le x\le \pi$、周期 $2\pi$）のフーリエ級数を求めよ。

解答2

$f(x)$ は偶関数なので $b_n=0$。

$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|x|dx=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }xdx=\pi$

$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\cos nxdx$（部分積分）

$$=\frac{2}{\pi }{\left[\frac{x\sin nx}{n}\right]}_0^{\pi }-\frac{2}{n\pi }{\int }_0^{\pi }\sin nxdx=\frac{2}{n^2\pi }(\cos n\pi -1)$$

$$=\{\begin{array}{ll}-\frac{4}{n^2\pi }& (n\text{ が奇数})\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$

$$f(x)=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }\left(\cos x+\frac{\cos 3x}{9}+\frac{\cos 5x}{25}+\cdots \right)$$

問題3：パーセバルの等式

問題1の結果を用いて ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(2n-1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$ を示せ。

解答3

パーセバルの等式：$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }|f(x){|}^{2}dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum (a_n^2+b_n^2)$

左辺：$\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }1dx=2$

右辺：${\sum }_{k=0}^{\infty }{b}_{2k+1}^2={\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{16}{(2k+1{)}^2{\pi }^2}$

$2=\frac{16}{{\pi }^2}\sum \frac{1}{(2k+1{)}^2}$ より $\sum \frac{1}{(2k+1{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{8}$

問題4：$x$ のフーリエ級数

$f(x)=x$（$-\pi <x<\pi$、周期 $2\pi$）のフーリエ級数を求めよ。

解答4

奇関数なので $a_n=0$。

$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }x\sin nxdx$（部分積分）

$$=\frac{2}{\pi }{\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }+\frac{2}{n\pi }{\int }_0^{\pi }\cos nxdx=-\frac{2\cos n\pi }{n}=\frac{2(-1{)}^{n+1}}{n}$$

$$x=2\left(\sin x-\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}-\cdots \right)$$

問題5：$x=\pi$ での値

問題4の結果を用いて ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=\ln 2$ を別の方法で確認せよ。

解答5

$x=\frac{\pi }{2}$ を代入：$\frac{\pi }{2}=2\left(1-0-\frac{1}{3}+0+\frac{1}{5}-0-\cdots \right)$

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots$（ライプニッツの公式）

$\ln 2$ の導出は $x=\pi$ では使えない（不連続点）。代わりに $\ln (1+x)$ の級数 $x=1$ で。

問題6：$x^2$ のフーリエ級数

$f(x)=x^2$（$-\pi \le x\le \pi$、周期 $2\pi$）のフーリエ級数を求めよ。

解答6

偶関数なので $b_n=0$。

$a_0=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx=\frac{2{\pi }^2}{3}$

$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\cos nxdx=\frac{4(-1{)}^n}{n^2}$（部分積分2回）

$$x^2=\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx$$

$x=\pi$ で ${\pi }^2=\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum \frac{1}{n^2}$ より $\sum \frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$。

問題7：複素フーリエ係数

$f(x)=e^{ax}$（$-\pi <x<\pi$）の複素フーリエ係数を求めよ。

解答7

$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{ax}{e}^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{(a-in)x}dx$

$$=\frac{1}{2\pi }\cdot \frac{e^{(a-in)\pi }-e^{-(a-in)\pi }}{a-in}=\frac{\sinh (a\pi -in\pi )}{\pi (a-in)}$$

$\sinh (a\pi -in\pi )=\sinh (a\pi )\cos (n\pi )-i\cosh (a\pi )\sin (n\pi )=(-1{)}^n\sinh (a\pi )$

$$c_n=\frac{(-1{)}^n\sinh (a\pi )}{\pi (a-in)}$$

問題8：Gibbsの現象

矩形波の部分和 $S_N(x)=\frac{4}{\pi }{\sum }_{k=0}^{N-1}\frac{\sin (2k+1)x}{2k+1}$ の不連続点付近の振る舞いを述べよ。

解答8

$x=0$ の近くで $S_N(x)$ は $f(x)$ に収束するが、$N\to \infty$ でも不連続点 $x=0$ の近くでオーバーシュートが残る。

オーバーシュートの大きさは約 $9\%$（正確には $\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }\frac{\sin t}{t}dt-1\approx 0.0895$）。

これを Gibbs の現象という。フーリエ級数の本質的な性質である。

問題9：区間 $[0,L]$ でのフーリエ級数

$f(x)=x$（$0<x<L$）を正弦級数で展開せよ。

解答9

$f(x)$ を奇関数として $[-L,L]$ に拡張する。

$b_n=\frac{2}{L}{\int }_0^{L}x\sin \frac{n\pi x}{L}dx=\frac{2L(-1{)}^{n+1}}{n\pi }$

$$x=\frac{2L}{\pi }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin \frac{n\pi x}{L}$$

問題10：収束の速さ

$f(x)$ が $C^k$ 級のとき、フーリエ係数の減衰を述べよ。

解答10

部分積分を $k$ 回行うと、$a_n,b_n=O(n^{-k-1})$ となる。

滑らかな関数ほどフーリエ係数は速く減衰し、収束が速い。

矩形波（不連続）：$O(n^{-1})$
三角波（連続、角あり）：$O(n^{-2})$
$C^{\infty }$ 関数：任意の冪より速く減衰