ラグランジュの未定乗数法

ラグランジュの未定乗数法は、制約条件付きの極値問題を解く強力な方法である。

問題1：基本的な問題

$f(x,y)=x^2+y^2$ を $g(x,y)=x+y-1=0$ の制約のもとで最小化せよ。

解答1

$\nabla f=\lambda \nabla g$ と $g=0$ を解く。

$\nabla f=(2x,2y)$, $\nabla g=(1,1)$

$2x=\lambda$, $2y=\lambda$, $x+y=1$

第1式と第2式から $x=y$。制約条件から $x=y=\frac{1}{2}$。

最小値は $f\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。

問題2：最大値と最小値

$f(x,y)=xy$ を $x^2+y^2=1$ の制約のもとで最大化・最小化せよ。

解答2

$\nabla f=(y,x)$, $\nabla g=(2x,2y)$

$y=2\lambda x$, $x=2\lambda y$, $x^2+y^2=1$

第1式を第2式に代入：$x=2\lambda \cdot 2\lambda x=4{\lambda }^{2}x$

$x\ne 0$ なら ${\lambda }^2=\frac{1}{4}$, $\lambda =\pm \frac{1}{2}$

$\lambda =\frac{1}{2}$：$y=x$, $x^2+y^2=1$ より $x=y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, $f=\frac{1}{2}$

$\lambda =-\frac{1}{2}$：$y=-x$, $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$, $y=\mp \frac{1}{\sqrt{2}}$, $f=-\frac{1}{2}$

最大値 $\frac{1}{2}$、最小値 $-\frac{1}{2}$。

問題3：3変数

$f(x,y,z)=x+y+z$ を $x^2+y^2+z^2=1$ の制約のもとで最大化せよ。

解答3

$\nabla f=(1,1,1)$, $\nabla g=(2x,2y,2z)$

$1=2\lambda x$, $1=2\lambda y$, $1=2\lambda z$

$x=y=z=\frac{1}{2\lambda }$。制約から $\frac{3}{4{\lambda }^2}=1$, $\lambda =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\lambda =\frac{\sqrt{3}}{2}$：$x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$, $f=\sqrt{3}$

$\lambda =-\frac{\sqrt{3}}{2}$：$x=y=z=-\frac{1}{\sqrt{3}}$, $f=-\sqrt{3}$

最大値 $\sqrt{3}$。

問題4：2つの制約条件

$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ を $x+y+z=1$, $x-y+2z=2$ の制約のもとで最小化せよ。

解答4

$\nabla f=\lambda \nabla g_1+\mu \nabla g_2$

$(2x,2y,2z)=\lambda (1,1,1)+\mu (1,-1,2)$

$2x=\lambda +\mu$, $2y=\lambda -\mu$, $2z=\lambda +2\mu$

制約条件と連立して解く。

$x+y+z=1$ と $x-y+2z=2$ から $2x+3z=3$。

計算を進めると $x=\frac{3}{14}$, $y=-\frac{1}{14}$, $z=\frac{6}{7}$。

最小値 $f=\frac{9+1+72}{196}=\frac{82}{196}=\frac{41}{98}$。

問題5：不等式制約（境界の確認）

$f(x,y)=x+2y$ を $D=\{x^2+y^2\le 1\}$ で最大化せよ。

解答5

内部 $x^2+y^2<1$ では $\nabla f=(1,2)\ne 0$ なので極値なし。

境界 $x^2+y^2=1$ 上でラグランジュ乗数法。

$1=2\lambda x$, $2=2\lambda y$ より $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$, $x=\frac{y}{2}$

$\frac{y^2}{4}+y^2=1$, $y=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$, $x=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

$f\left(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{1+4}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$（最大）

問題6：体積最大化

表面積 $S=2(xy+yz+zx)$ が一定のとき、体積 $V=xyz$ を最大にする直方体の形を求めよ。

解答6

$\nabla V=(yz,xz,xy)$, $\nabla S=2(y+z,x+z,x+y)$

$yz=2\lambda (y+z)$, $xz=2\lambda (x+z)$, $xy=2\lambda (x+y)$

対称性から $x=y=z$ と予想。これを代入すると矛盾なく解ける。

直方体は立方体のとき体積最大。

問題7：距離の最小化

原点から平面 $2x+y-2z=9$ への最短距離を求めよ。

解答7

$f=x^2+y^2+z^2$ を $2x+y-2z=9$ のもとで最小化。

$(2x,2y,2z)=\lambda (2,1,-2)$

$x=\lambda$, $y=\frac{\lambda }{2}$, $z=-\lambda$

制約：$2\lambda +\frac{\lambda }{2}+2\lambda =9$, $\frac{9\lambda }{2}=9$, $\lambda =2$

$(x,y,z)=(2,1,-2)$、距離 $=3$。

公式 $\frac{|9|}{\sqrt{4+1+4}}=3$ と一致。

問題8：最大エントロピー

$H=-\sum p_i\ln p_i$ を $\sum p_i=1$, $p_i>0$ の制約のもとで最大化せよ。

解答8

$\frac{\partial H}{\partial p_i}=-\ln p_i-1=\lambda$

すべての $i$ で $p_i=e^{-1-\lambda }$（一定）

$\sum p_i=1$ より $p_i=\frac{1}{n}$（$n$ 個のとき）

一様分布が最大エントロピーを与える。

問題9：楕円上の点

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上の点で、直線 $x+y=0$ からの距離が最大となる点を求めよ。

解答9

距離 $d=\frac{|x+y|}{\sqrt{2}}$ の最大化。$f=x+y$ の絶対値を最大化。

$\nabla f=(1,1)$, $\nabla g=\left(\frac{x}{2},2y\right)$

$1=\frac{\lambda x}{2}$, $1=2\lambda y$ より $\frac{x}{2}=2y$, $x=4y$

$4y^2+y^2=1$, $y=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$, $x=\pm \frac{4}{\sqrt{5}}$

$f=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ または $-\sqrt{5}$。距離は $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}$。

問題10：相加相乗平均

$x+y+z=3$（$x,y,z>0$）のとき $xyz$ の最大値を求めよ。

解答10

$\nabla (xyz)=(yz,xz,xy)=\lambda (1,1,1)$

$yz=xz=xy$ より $x=y=z$。制約から $x=y=z=1$。

最大値 $xyz=1$。

相加相乗平均の不等式 $\frac{x+y+z}{3}\ge \sqrt[3]{xyz}$ の等号成立条件でもある。