ラグランジュの未定乗数法は、制約条件付きの極値問題を解く強力な方法である。
問題1：基本的な問題
f(x,y)=x2+y2 を g(x,y)=x+y−1=0 の制約のもとで最小化せよ。
解答1
∇f=λ∇g と g=0 を解く。
∇f=(2x,2y), ∇g=(1,1)
2x=λ, 2y=λ, x+y=1
第1式と第2式から x=y。制約条件から x=y=21。
最小値は f(21,21)=21。
問題2：最大値と最小値
f(x,y)=xy を x2+y2=1 の制約のもとで最大化・最小化せよ。
解答2
∇f=(y,x), ∇g=(2x,2y)
y=2λx, x=2λy, x2+y2=1
第1式を第2式に代入：x=2λ⋅2λx=4λ2x
x=0 なら λ2=41, λ=±21
λ=21：y=x, x2+y2=1 より x=y=±21, f=21
λ=−21：y=−x, x=±21, y=∓21, f=−21
最大値 21、最小値 −21。
問題3：3変数
f(x,y,z)=x+y+z を x2+y2+z2=1 の制約のもとで最大化せよ。
解答3
∇f=(1,1,1), ∇g=(2x,2y,2z)
1=2λx, 1=2λy, 1=2λz
x=y=z=2λ1。制約から 4λ23=1, λ=±23
λ=23：x=y=z=31, f=3
λ=−23：x=y=z=−31, f=−3
最大値 3。
問題4：2つの制約条件
f(x,y,z)=x2+y2+z2 を x+y+z=1, x−y+2z=2 の制約のもとで最小化せよ。
解答4
∇f=λ∇g1+μ∇g2
(2x,2y,2z)=λ(1,1,1)+μ(1,−1,2)
2x=λ+μ, 2y=λ−μ, 2z=λ+2μ
制約条件と連立して解く。
x+y+z=1 と x−y+2z=2 から 2x+3z=3。
計算を進めると x=143, y=−141, z=76。
最小値 f=1969+1+72=19682=9841。
問題5：不等式制約（境界の確認）
f(x,y)=x+2y を D={x2+y2≤1} で最大化せよ。
解答5
内部 x2+y2<1 では ∇f=(1,2)=0 なので極値なし。
境界 x2+y2=1 上でラグランジュ乗数法。
1=2λx, 2=2λy より yx=21, x=2y
4y2+y2=1, y=±52, x=±51
f(51,52)=51+4=5（最大）
問題6：体積最大化
表面積 S=2(xy+yz+zx) が一定のとき、体積 V=xyz を最大にする直方体の形を求めよ。
解答6
∇V=(yz,xz,xy), ∇S=2(y+z,x+z,x+y)
yz=2λ(y+z), xz=2λ(x+z), xy=2λ(x+y)
対称性から x=y=z と予想。これを代入すると矛盾なく解ける。
直方体は立方体のとき体積最大。
問題7：距離の最小化
原点から平面 2x+y−2z=9 への最短距離を求めよ。
解答7
f=x2+y2+z2 を 2x+y−2z=9 のもとで最小化。
(2x,2y,2z)=λ(2,1,−2)
x=λ, y=2λ, z=−λ
制約：2λ+2λ+2λ=9, 29λ=9, λ=2
(x,y,z)=(2,1,−2)、距離 =3。
公式 4+1+4∣9∣=3 と一致。
問題8：最大エントロピー
H=−∑pilnpi を ∑pi=1, pi>0 の制約のもとで最大化せよ。
解答8
∂pi∂H=−lnpi−1=λ
すべての i で pi=e−1−λ（一定）
∑pi=1 より pi=n1（n 個のとき）
一様分布が最大エントロピーを与える。
問題9：楕円上の点
楕円 4x2+y2=1 上の点で、直線 x+y=0 からの距離が最大となる点を求めよ。
解答9
距離 d=2∣x+y∣ の最大化。f=x+y の絶対値を最大化。
∇f=(1,1), ∇g=(2x,2y)
1=2λx, 1=2λy より 2x=2y, x=4y
4y2+y2=1, y=±51, x=±54
f=55=5 または −5。距離は 25=25。
問題10：相加相乗平均
x+y+z=3（x,y,z>0）のとき xyz の最大値を求めよ。
解答10
∇(xyz)=(yz,xz,xy)=λ(1,1,1)
yz=xz=xy より x=y=z。制約から x=y=z=1。
最大値 xyz=1。
相加相乗平均の不等式 3x+y+z≥3xyz の等号成立条件でもある。
