線積分の計算問題

線積分はベクトル場に沿った積分であり、仕事やポテンシャルの計算に現れる。経路の向きに注意する。

問題1：スカラー場の線積分

${\int }_{C}xyds$ を計算せよ。$C$ は原点から $(1,1)$ への直線。

解答1

$C:\mathbf{r}(t)=(t,t)$（$0\le t\le 1$）

$ds=|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|dt=\sqrt{1+1}dt=\sqrt{2}dt$

$${\int }_{C}xyds={\int }_0^{1}t\cdot t\cdot \sqrt{2}dt=\sqrt{2}{\int }_0^1{t}^{2}dt=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

問題2：ベクトル場の線積分

${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(y,x)$、$C$ は $(0,0)$ から $(1,1)$ への $y=x^2$ に沿った経路。

解答2

$C:\mathbf{r}(t)=(t,t^2)$（$0\le t\le 1$）、$d\mathbf{r}=(1,2t)dt$

$${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\int }_0^1(t^2,t)\cdot (1,2t)dt={\int }_0^1(t^2+2t^2)dt={\int }_0^{1}3t^{2}dt=1$$

問題3：経路独立性

$\mathbf{F}=(2xy,x^2)$ について、$(0,0)$ から $(1,1)$ への線積分を2つの経路で計算せよ。

解答3

経路1：$y=x$（直線）
${\int }_0^1(2t\cdot t,t^2)\cdot (1,1)dt={\int }_0^{1}3t^{2}dt=1$

経路2：$(0,0)\to (1,0)\to (1,1)$
${\int }_0^1(0,t^2)\cdot (1,0)dt+{\int }_0^1(2\cdot 1\cdot t,1)\cdot (0,1)dt=0+1=1$

両経路で同じ。$\mathbf{F}=\nabla (x^{2}y)$ なので保存場であり、経路によらない。

問題4：保存場の判定

$\mathbf{F}=(y^2,2xy+1)$ が保存場か判定し、ポテンシャルを求めよ。

解答4

$\frac{\partial F_1}{\partial y}=2y$, $\frac{\partial F_2}{\partial x}=2y$

等しいので保存場。

$\frac{\partial \varphi }{\partial x}=y^2$ より $\varphi =x{y}^2+g(y)$

$\frac{\partial \varphi }{\partial y}=2xy+g^{\prime }(y)=2xy+1$ より $g^{\prime }(y)=1$, $g(y)=y$

$\varphi (x,y)=x{y}^2+y+C$

問題5：閉曲線上の積分

${\oint }_C(ydx-xdy)$ を計算せよ。$C$ は原点中心、半径 $1$ の円（反時計回り）。

解答5

$C:x=\cos t$, $y=\sin t$（$0\le t\le 2\pi$）

$dx=-\sin tdt$, $dy=\cos tdt$

$${\oint }_C={\int }_0^{2\pi }(\sin t\cdot (-\sin t)-\cos t\cdot \cos t)dt=-{\int }_0^{2\pi }1dt=-2\pi$$

問題6：Greenの定理

問題5を Green の定理で確認せよ。

解答6

Green の定理：${\oint }_C(Pdx+Qdy)={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

$P=y$, $Q=-x$ より $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-1-1=-2$

${\iint }_D(-2)dA=-2\cdot \pi \cdot 1^2=-2\pi$

問題7：面積の計算

$A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)$ を用いて楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の面積を求めよ。

解答7

$x=a\cos t$, $y=b\sin t$（$0\le t\le 2\pi$）

$xdy-ydx=a\cos t\cdot b\cos tdt-b\sin t\cdot (-a\sin t)dt=ab({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)dt=abdt$

$$A=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }abdt=\pi ab$$

問題8：3次元の線積分

${\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(y,z,x)$、$C$ は $(1,0,0)$ から $(0,1,0)$ への $x^2+y^2=1$, $z=0$ 上の弧。

解答8

$C:\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$（$0\le t\le \frac{\pi }{2}$）

$d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t,0)dt$

$\mathbf{F}=(\sin t,0,\cos t)$

$${\int }_C={\int }_0^{\pi /2}(\sin t\cdot (-\sin t)+0+0)dt=-{\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}tdt=-\frac{\pi }{4}$$

問題9：仕事の計算

力 $\mathbf{F}=(-y,x)$ が物体を原点から $(2,0)$ へ $y=0$ に沿って、次に $(2,0)$ から $(2,1)$ へ直線で動かすときの仕事を求めよ。

解答9

経路1：$(0,0)\to (2,0)$、$y=0$, $dy=0$
$W_1={\int }_0^2(-0)dx=0$

経路2：$(2,0)\to (2,1)$、$x=2$, $dx=0$
$W_2={\int }_0^{1}2dy=2$

全仕事 $W=0+2=2$

問題10：弧長パラメータ

$C:\mathbf{r}(t)=(t,t^2)$（$0\le t\le 1$）の弧長を求めよ。

解答10

${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(1,2t)$, $|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{1+4t^2}$

$$L={\int }_0^1\sqrt{1+4t^2}dt$$

$2t=\tan \theta$ と置換、または公式を使う。

$$L=\frac{1}{4}{\left[2t\sqrt{1+4t^2}+\ln |2t+\sqrt{1+4t^2}|\right]}_0^1=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\ln (2+\sqrt{5})}{4}$$