線積分はベクトル場に沿った積分であり、仕事やポテンシャルの計算に現れる。経路の向きに注意する。
問題1：スカラー場の線積分
∫Cxyds を計算せよ。C は原点から (1,1) への直線。
解答1
C:r(t)=(t,t)（0≤t≤1）
ds=∣r′(t)∣dt=1+1dt=2dt
∫Cxyds=∫01t⋅t⋅2dt=2∫01t2dt=32
問題2：ベクトル場の線積分
∫CF⋅dr を計算せよ。F=(y,x)、C は (0,0) から (1,1) への y=x2 に沿った経路。
解答2
C:r(t)=(t,t2)（0≤t≤1）、dr=(1,2t)dt
∫CF⋅dr=∫01(t2,t)⋅(1,2t)dt=∫01(t2+2t2)dt=∫013t2dt=1
問題3：経路独立性
F=(2xy,x2) について、(0,0) から (1,1) への線積分を2つの経路で計算せよ。
解答3
経路1：y=x（直線）
∫01(2t⋅t,t2)⋅(1,1)dt=∫013t2dt=1
経路2：(0,0)→(1,0)→(1,1)
∫01(0,t2)⋅(1,0)dt+∫01(2⋅1⋅t,1)⋅(0,1)dt=0+1=1
両経路で同じ。F=∇(x2y) なので保存場であり、経路によらない。
問題4：保存場の判定
F=(y2,2xy+1) が保存場か判定し、ポテンシャルを求めよ。
解答4
∂y∂F1=2y, ∂x∂F2=2y
等しいので保存場。
∂x∂ϕ=y2 より ϕ=xy2+g(y)
∂y∂ϕ=2xy+g′(y)=2xy+1 より g′(y)=1, g(y)=y
ϕ(x,y)=xy2+y+C
問題5：閉曲線上の積分
∮C(ydx−xdy) を計算せよ。C は原点中心、半径 1 の円（反時計回り）。
解答5
C:x=cost, y=sint（0≤t≤2π）
dx=−sintdt, dy=costdt
∮C=∫02π(sint⋅(−sint)−cost⋅cost)dt=−∫02π1dt=−2π
問題6：Greenの定理
問題5を Green の定理で確認せよ。
解答6
Green の定理：∮C(Pdx+Qdy)=∬D(∂x∂Q−∂y∂P)dA
P=y, Q=−x より ∂x∂Q−∂y∂P=−1−1=−2
∬D(−2)dA=−2⋅π⋅12=−2π
問題7：面積の計算
A=21∮C(xdy−ydx) を用いて楕円 a2x2+b2y2=1 の面積を求めよ。
解答7
x=acost, y=bsint（0≤t≤2π）
xdy−ydx=acost⋅bcostdt−bsint⋅(−asint)dt=ab(cos2t+sin2t)dt=abdt
A=21∫02πabdt=πab
問題8：3次元の線積分
∫CF⋅dr を計算せよ。F=(y,z,x)、C は (1,0,0) から (0,1,0) への x2+y2=1, z=0 上の弧。
解答8
C:r(t)=(cost,sint,0)（0≤t≤2π）
dr=(−sint,cost,0)dt
F=(sint,0,cost)
∫C=∫0π/2(sint⋅(−sint)+0+0)dt=−∫0π/2sin2tdt=−4π
問題9：仕事の計算
力 F=(−y,x) が物体を原点から (2,0) へ y=0 に沿って、次に (2,0) から (2,1) へ直線で動かすときの仕事を求めよ。
解答9
経路1：(0,0)→(2,0)、y=0, dy=0
W1=∫02(−0)dx=0
経路2：(2,0)→(2,1)、x=2, dx=0
W2=∫012dy=2
全仕事 W=0+2=2
問題10：弧長パラメータ
C:r(t)=(t,t2)（0≤t≤1）の弧長を求めよ。
解答10
r′(t)=(1,2t), ∣r′(t)∣=1+4t2
L=∫011+4t2dt
2t=tanθ と置換、または公式を使う。
L=41[2t1+4t2+ln∣2t+1+4t2∣]01=25+4ln(2+5)
