面積分と発散定理・Stokesの定理

面積分と発散定理・Stokesの定理は、多変数解析の集大成である。定理を使いこなす計算力を養う。

問題1：スカラー場の面積分

${\iint }_{S}zdS$ を計算せよ。$S$ は $z=x^2+y^2$（$z\le 1$）の部分。

解答1

$z=f(x,y)=x^2+y^2$ のとき $dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dA=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dA$

極座標で $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$、領域は $r\le 1$。

$${\iint }_{S}zdS={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^2\sqrt{1+4r^2}\cdot rdrd\theta =2\pi {\int }_0^1{r}^3\sqrt{1+4r^2}dr$$

$u=1+4r^2$, $r^2=\frac{u-1}{4}$, $rdr=\frac{du}{8}$ として計算すると $=\frac{\pi (5\sqrt{5}-1)}{60}$。

問題2：ベクトル場の面積分（流量）

${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(0,0,z)$、$S$ は $z=0$, $0\le x\le 1$, $0\le y\le 1$（上向き法線）。

解答2

平面 $z=0$ で $\mathbf{n}=(0,0,1)$, $dS=dxdy$。

$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=z=0$

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint 0dA=0$$

問題3：発散定理

${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(x,y,z)$、$S$ は単位球面（外向き法線）。

解答3

発散定理：${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV$

$\nabla \cdot \mathbf{F}=1+1+1=3$

$${\iiint }_{V}3dV=3\cdot \frac{4\pi }{3}=4\pi$$

問題4：発散定理の応用

${\iint }_S(x^2,y^2,z^2)\cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。$S$ は $0\le x,y,z\le 1$ の立方体の表面。

解答4

$\nabla \cdot \mathbf{F}=2x+2y+2z$

$${\iiint }_V(2x+2y+2z)dV=2{\int }_0^1{\int }_0^1{\int }_0^1(x+y+z)dxdydz$$

${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$ より対称性から

$=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$

問題5：Stokesの定理

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(-y,x,z)$、$C$ は $z=0$ 平面上の単位円（反時計回り）。

解答5

Stokesの定理：${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$

$\nabla \times \mathbf{F}=4=(0,0,2)$

$S$ は単位円板（上向き法線 $\mathbf{n}=(0,0,1)$）

$${\iint }_S(0,0,2)\cdot (0,0,1)dA=2\cdot \pi =2\pi$$

問題6：直接計算との比較

問題5を直接計算で確認せよ。

解答6

$C:\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$, $d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t,0)dt$

$\mathbf{F}=(-\sin t,\cos t,0)$

$${\oint }_C={\int }_0^{2\pi }((-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t))dt={\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi$$

問題7：曲面上のStokes

${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(y,z,x)$、$C$ は $x+y+z=1$（$x,y,z\ge 0$）の境界。

解答7

$\nabla \times \mathbf{F}=(-1,-1,-1)$

平面 $x+y+z=1$ の法線ベクトル $\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$

$(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}=\frac{-3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$

三角形の面積 $=\frac{\sqrt{3}}{2}$（辺の長さ $\sqrt{2}$ の正三角形）

$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}$$

問題8：発散定理で体積計算

$V=\frac{1}{3}{\iint }_S\mathbf{r}\cdot d\mathbf{S}$（$\mathbf{r}=(x,y,z)$）を用いて球の体積を計算せよ。

解答8

$\nabla \cdot \mathbf{r}=3$ より ${\iiint }_{V}3dV={\iint }_S\mathbf{r}\cdot d\mathbf{S}$

球面上 $\mathbf{r}\cdot \mathbf{n}=r$（$\mathbf{n}$ は外向き単位法線）

$${\iint }_{S}rdS=r\cdot 4\pi r^2=4\pi r^3$$

$V=\frac{1}{3}\cdot 4\pi r^3=\frac{4\pi r^3}{3}$

問題9：非閉曲面への適用

半球面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$（$z>0$）上で ${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$ を計算せよ。$\mathbf{F}=(-y,x,0)$。

解答9

$\nabla \times \mathbf{F}=(0,0,2)$

Stokesより $={\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$（$C$ は赤道、$z=0$ の単位円）

$=2\pi$（問題5と同じ）

または直接：${\iint }_{S}2(\mathbf{k}\cdot \mathbf{n})dS$。対称性から $=2\cdot \pi =2\pi$。

問題10：逆問題

${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0$ となるベクトル場の条件を述べよ。

解答10

任意の閉曲面 $S$ で ${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0$ となる条件は $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$（非圧縮性条件）。

発散定理より ${\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV=0$ が任意の $V$ で成り立つには $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$。

例：$\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{A}$（任意のベクトル場 $\mathbf{A}$）は $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$ を満たす。