閉じているか縁があるか……発散定理とストークスの定理の使い分け

単位球面を通る $\mathbf{F}=(x,y,z)$ の流量は $4\pi$ です。面積分を直接組み立てると法線ベクトルの計算から始まりますが、発散を計算すると $3$ で、体積を掛けるだけで終わります。

どちらの定理を使うかは、曲面が閉じているかどうかで決まります。閉じていれば発散定理、縁があればストークスの定理です^[1,2]。

以下は $15$ 問です。面積分の定義から始め、$2$ つの定理、直接計算との突き合わせ、適用条件が崩れる場合まで並べました。

どちらを使うか

$2$ つの定理は、置きかえる先が違います。

どちらも「境界の上の積分」を「中身の上の積分」に直す形です。次元を $1$ つ下げた微分積分学の基本定理、と読めます。

面積要素は曲面の表し方で決まります。$z=f(x,y)$ なら次の形です^[3]。

$$dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dA$$

問題 1：スカラー場の面積分

${\iint }_{S}zdS$ を計算せよ。$S$ は $z=x^2+y^2$ の $z\le 1$ の部分とする。

解答 1

$f=x^2+y^2$ で $f_x=2x$、$f_y=2y$ です。面積要素は $\sqrt{1+4x^2+4y^2}dA$ になります^[3]。

極座標に移します。領域は $r\le 1$ です。

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^2\sqrt{1+4r^2}rdrd\theta =2\pi {\int }_0^1{r}^3\sqrt{1+4r^2}dr$$

$u=1+4r^2$ と置くと $r^{3}dr=\frac{(u-1)}{32}du$ です。

$$=\frac{2\pi }{32}{\int }_1^5\left(u^{3/2}-u^{1/2}\right)du=\frac{\pi (25\sqrt{5}+1)}{60}$$

値は $2.979366$ です。$dA$ の $r$ と面積要素の根号を両方入れる点が要になります。

問題 2：向きと流量

$\mathbf{F}=(0,0,z)$ について、$z=0$ の正方形（上向き法線）を通る流量を求めよ。

解答 2

平面上では $\mathbf{n}=(0,0,1)$、$dS=dxdy$ です。

$\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=z$ で、この面では $z=0$ になります。

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0$$

場が面に沿っていれば流量は $0$ です。法線方向の成分だけが効きます。

問題 3：発散定理

$\mathbf{F}=(x,y,z)$ について、単位球面を通る流量を求めよ。

解答 3

発散は $1+1+1=3$ です。閉じた曲面なので発散定理が使えます^[1]。

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}={\iiint }_{V}3dV=3\cdot \frac{4\pi }{3}=4\pi$$

直接計算でも出ます。球面上では $\mathbf{F}=\mathbf{r}$ が法線と同じ向きで、大きさが $1$ です。表面積 $4\pi$ を掛けて同じ値になります。

問題 4：立方体

$\mathbf{F}=(x^2,y^2,z^2)$ について、$0\le x,y,z\le 1$ の立方体の表面を通る流量を求めよ。

解答 4

面が $6$ つあるので、直接計算では $6$ 回の面積分になります。発散定理で $1$ 回に減らします。

$$\nabla \cdot \mathbf{F}=2x+2y+2z$$

$${\iiint }_V(2x+2y+2z)dV=2\cdot 3\cdot \frac{1}{2}=3$$

対称性から $3$ 項が等しく、それぞれ $\frac{1}{2}$ です。面の数が多いほど、定理を使う利点が大きくなります。

問題 5：ストークスの定理

$\mathbf{F}=(-y,x,z)$ について、$z=0$ 平面上の単位円に沿う線積分を求めよ。

解答 5

回転を計算します^[2]。

$$\nabla \times \mathbf{F}=(0,0,2)$$

縁に張る曲面として単位円板をとります。法線は上向きで $(0,0,1)$ です。

$${\oint }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}={\iint }_S(0,0,2)\cdot (0,0,1)dA=2\pi$$

線積分が面積分に置きかわりました。回転が定数なので、面積を掛けるだけで済みます。

問題 6：直接計算で確かめる

問題 $5$ を媒介変数表示で計算せよ。

解答 6

$\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$、$d\mathbf{r}=(-\sin t,\cos t,0)dt$ です。

$\mathbf{F}=(-\sin t,\cos t,0)$ になります。

$${\int }_0^{2\pi }\left({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t\right)dt=2\pi$$

一致しました。定理を使う前に、簡単な例で突き合わせておくと符号の規約を確かめられます。

問題 7：縁が同じなら曲面は選べる

$\mathbf{F}=(-y,x,0)$ について、単位円を縁とする上半球面上で ${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}$ を求めよ。

解答 7

回転は $(0,0,2)$ です。ストークスの定理から、縁に沿う線積分に等しくなります^[2]。

縁は問題 $5$ と同じ単位円なので、値も $2\pi$ です。

半球面でも円板でも同じ値になります。縁が同じなら、張る曲面はどれを選んでもよい。

計算が楽な曲面を選べる。そこがこの定理の使いどころです。

問題 8：平面上の三角形

$\mathbf{F}=(y,z,x)$ について、$x+y+z=1$（$x,y,z\ge 0$）の縁に沿う線積分を求めよ。

解答 8

回転を計算します。

$$\nabla \times \mathbf{F}=(-1,-1,-1)$$

平面の単位法線は $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ です。内積は $-\sqrt{3}$ になります。

三角形は $1$ 辺 $\sqrt{2}$ の正三角形で、面積は $\frac{\sqrt{3}}{2}=0.866025$ です。

$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}$$

法線の向きを逆にとれば符号が変わります。縁を回る向きと右手系になるほうを選びます^[2]。

問題 9：体積を面積分で出す

$\mathbf{F}=\mathbf{r}=(x,y,z)$ を使って、半径 $R$ の球の体積を求めよ。

解答 9

発散は $3$ なので、発散定理から次が成り立ちます。

$${\iint }_S\mathbf{r}\cdot d\mathbf{S}=3V$$

球面上では $\mathbf{r}$ が外向き法線と同じ向きで、大きさが $R$ です。

$${\iint }_{S}RdS=R\cdot 4\pi R^2=4\pi R^3$$

$$V=\frac{4\pi R^3}{3}$$

問題 $8$ の線積分による面積公式と同じ構図です。境界の情報だけから中身の量が出ます。

問題 10：流量がつねに 0 になる条件

任意の閉曲面で流量が $0$ になるのはどんな場合か。

解答 10

発散定理から、任意の $V$ で ${\iiint }_V\nabla \cdot \mathbf{F}dV=0$ が成り立つことになります。

$\nabla \cdot \mathbf{F}$ が連続なら、これは $\nabla \cdot \mathbf{F}=0$ を意味します。どこかで正なら、その近くの小さい球で積分が正になるからです。

$\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{A}$ の形なら、恒等的に $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A})=0$ です^[1]。回転の発散は必ず消えます。

流体で言えば、湧き出しも吸い込みもない状態にあたります。非圧縮の条件と呼ばれる形です。

問題 11：開いた曲面に発散定理を当てる

$\mathbf{F}=(0,0,z)$ について、$z=1$ の単位円板だけを通る流量を、発散定理で求めようとするとどうなるか。

解答 11

発散は $1$ です。囲む体積が定まらないので、そのままでは定理が使えません^[1]。

円板は閉じていない曲面です。定理の仮定を満たしていない。

閉じるには蓋が要ります。円柱 $x^2+y^2\le 1$、$0\le z\le 1$ の全表面をとれば閉じます。

$${\iiint }_{V}1dV=\pi$$

底面と側面の寄与を引けば、上面だけの流量が出ます。底面は $z=0$ で $\mathbf{F}=0$、側面は法線が水平で内積が $0$ です。よって上面の流量が $\pi$ になります。

閉じていない曲面には、まず蓋を足して閉じる。これが基本の手です。

問題 12：向きの規約

ストークスの定理で、縁を回る向きと曲面の法線の関係を述べよ。

解答 12

右手系にそろえます。右手の親指を法線の向きに立てたとき、残りの指の巻く向きが縁を回る向きです^[2]。

どちらか一方を逆にすると、等式の両辺の符号が合いません。片方だけ反転させる誤りが多いところです。

問題 $8$ で法線を $-\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1)$ にとれば、線積分の向きも逆になり、値は $\frac{3}{2}$ になります。

定理そのものは向きの選び方によりません。$2$ つをそろえてさえいれば、どちらでも正しい等式です。

問題 13：特異点がある場合

$\mathbf{F}=\frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}{|}^3}$ について、原点を囲む球面を通る流量を求めよ。

解答 13

原点以外では発散が $0$ になります。それでも流量は $0$ ではありません。

球面上では $\mathbf{F}$ が外向きで大きさが $\frac{1}{R^2}$、表面積が $4\pi R^2$ です。

$${\iint }_S\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\frac{1}{R^2}\cdot 4\pi R^2=4\pi$$

半径によりません。発散定理が使えないのは、原点で場が定義されないためです^[1]。

囲む立体の中に特異点があるかどうかを、定理を当てる前に確かめます。線積分での渦の場と同じ構図です。

問題 14：2 つの定理をつなぐ

ストークスの定理を閉じた曲面に当てるとどうなるか。

解答 14

閉じた曲面には縁がありません。線積分の側が消えます。

$${\iint }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0$$

一方で発散定理からも同じ結論が出ます。$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F})=0$ だからです。

$2$ つの定理が同じ事実を別の道から言っています。閉じた曲面を上下に割って考えると、共通の縁での線積分が向き違いで打ち消し合う形です。

問題 15：どちらの定理も使えない場合

$\mathbf{F}$ が連続微分可能でないとき、$2$ つの定理はどうなるか。

解答 15

どちらも仮定に $C^1$ 級を置いています^[1,2]。満たされなければ結論は保証されません。

問題 $13$ がその例です。原点を除けばなめらかですが、原点を含む領域では成り立たない。

対処は $2$ 通りあります。特異点を小さい球で抜いて領域を作り直すか、極限として値を定義するかです。

前者では抜いた球面の寄与が残り、それが $4\pi$ にあたります。電磁気でガウスの法則が点電荷に対して成り立つのは、この形です。

つまずきやすいところ

適用条件と向きで誤ります。

閉じているか、向きはそろっているか、中に特異点はないか。この $3$ つを確かめてから定理を当てます。

よくある誤り

閉じているかどうかで定理が決まり、向きで符号が決まる。計算そのものは、そのあとの話です。

参考文献

^[1] が発散定理の主張と仮定・湧き出しとしての読み方、^[2] がストークスの定理と向きの規約、^[3] が面積分と面積要素の公式、^[4] がドイツ語での定式化、^[5] がガウスの法則と点電荷です。