面積分と発散定理・Stokesの定理は、多変数解析の集大成である。定理を使いこなす計算力を養う。
問題1：スカラー場の面積分
∬SzdS を計算せよ。S は z=x2+y2（z≤1）の部分。
解答1
z=f(x,y)=x2+y2 のとき dS=1+fx2+fy2dA=1+4x2+4y2dA
極座標で x=rcosθ, y=rsinθ、領域は r≤1。
∬SzdS=∫02π∫01r21+4r2⋅rdrdθ=2π∫01r31+4r2dr
u=1+4r2, r2=4u−1, rdr=8du として計算すると =60π(55−1)。
問題2：ベクトル場の面積分（流量）
∬SF⋅dS を計算せよ。F=(0,0,z)、S は z=0, 0≤x≤1, 0≤y≤1（上向き法線）。
解答2
平面 z=0 で n=(0,0,1), dS=dxdy。
F⋅n=z=0
∬SF⋅dS=∬0dA=0
問題3：発散定理
∬SF⋅dS を計算せよ。F=(x,y,z)、S は単位球面（外向き法線）。
解答3
発散定理：∬SF⋅dS=∭V∇⋅FdV
∇⋅F=1+1+1=3
∭V3dV=3⋅34π=4π
問題4：発散定理の応用
∬S(x2,y2,z2)⋅dS を計算せよ。S は 0≤x,y,z≤1 の立方体の表面。
解答4
∇⋅F=2x+2y+2z
∭V(2x+2y+2z)dV=2∫01∫01∫01(x+y+z)dxdydz
∫01xdx=21 より対称性から
=2⋅3⋅21=3
問題5：Stokesの定理
∮CF⋅dr を計算せよ。F=(−y,x,z)、C は z=0 平面上の単位円（反時計回り）。
解答5
Stokesの定理：∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS
∇×F=i∂x−yj∂yxk∂zz=(0,0,2)
S は単位円板（上向き法線 n=(0,0,1)）
∬S(0,0,2)⋅(0,0,1)dA=2⋅π=2π
問題6：直接計算との比較
問題5を直接計算で確認せよ。
解答6
C:r(t)=(cost,sint,0), dr=(−sint,cost,0)dt
F=(−sint,cost,0)
∮C=∫02π((−sint)(−sint)+(cost)(cost))dt=∫02π1dt=2π
問題7：曲面上のStokes
∮CF⋅dr を計算せよ。F=(y,z,x)、C は x+y+z=1（x,y,z≥0）の境界。
解答7
∇×F=(−1,−1,−1)
平面 x+y+z=1 の法線ベクトル n=31(1,1,1)
(∇×F)⋅n=3−3=−3
三角形の面積 =23（辺の長さ 2 の正三角形）
∬S(∇×F)⋅dS=−3⋅23=−23
問題8：発散定理で体積計算
V=31∬Sr⋅dS（r=(x,y,z)）を用いて球の体積を計算せよ。
解答8
∇⋅r=3 より ∭V3dV=∬Sr⋅dS
球面上 r⋅n=r（n は外向き単位法線）
∬SrdS=r⋅4πr2=4πr3
V=31⋅4πr3=34πr3
問題9：非閉曲面への適用
半球面 z=1−x2−y2（z>0）上で ∬S(∇×F)⋅dS を計算せよ。F=(−y,x,0)。
解答9
∇×F=(0,0,2)
Stokesより =∮CF⋅dr（C は赤道、z=0 の単位円）
=2π（問題5と同じ）
または直接：∬S2(k⋅n)dS。対称性から =2⋅π=2π。
問題10：逆問題
∬SF⋅dS=0 となるベクトル場の条件を述べよ。
解答10
任意の閉曲面 S で ∬SF⋅dS=0 となる条件は ∇⋅F=0（非圧縮性条件）。
発散定理より ∭V∇⋅FdV=0 が任意の V で成り立つには ∇⋅F=0。
例：F=∇×A（任意のベクトル場 A）は ∇⋅F=0 を満たす。
