面積の伸び縮みがヤコビアン - 重積分の変数変換の計算問題

円板の上で積分するとき、極座標に直すと $dA$ が $rdrd\theta$ に変わります。この $r$ がヤコビアンです。

変数をとり替えると、小さな長方形が引き伸ばされたり縮んだりします。その面積比を表す量がヤコビアンで、積分には比のぶんだけ掛け直す必要があります^[2]。

$${\iint }_{R}f(x,y)dA={\iint }_{S}f(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv$$

面積の伸び縮みを測る

$(u,v)$ 平面の小さな長方形が、変換で $(x,y)$ 平面のどんな図形に写るかを見ます。

$u$ を $du$ だけ動かすと、像は $\left(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u}\right)du$ だけ動きます。$v$ についても同じ。

$2$ 本のベクトルが張る平行四辺形の面積が、行列式の絶対値です。これが元の長方形の面積 $dudv$ の何倍になっているかを表します^[2]。

行列式に絶対値が付くのは、面積が負にならないためです。向きが反転する変換では行列式が負になりますが、積分には大きさだけが効きます。

ヤコビアンの形

$2$ 変数なら $2\times 2$ の行列式です。

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\partial x/\partial u& \partial x/\partial v\\ \partial y/\partial u& \partial y/\partial v\end{array}\right|$$

変換に要る条件は $3$ つです^[1]。

$3$ つ目が崩れると、面積がつぶれて逆に戻せません。極座標の原点がその例で、$r=0$ では $J=0$ になります。境界の $1$ 点だけなので積分には影響しません。

問題 1：極座標変換

${\iint }_D(x^2+y^2)dA$ を求めよ。$D$ は $x^2+y^2\le 4$ とする。

解答 1

$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ とすると $J=r$ です^[3]。被積分関数は $r^2$ になります。

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^2\cdot rdrd\theta =2\pi {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^2=8\pi$$

円板を長方形 $0\le r\le 2$、$0\le \theta \le 2\pi$ に直しています。積分区間が定数になるところが利点です。

問題 2：楕円の面積

${\iint }_{D}dA$ を求めよ。$D$ は $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$ とする。

解答 2

$x=ar\cos \theta$、$y=br\sin \theta$ と置くと、$D$ は $0\le r\le 1$ に対応します。

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=\left|\begin{array}{cc}a\cos \theta & -ar\sin \theta \\ b\sin \theta & br\cos \theta \end{array}\right|=abr$$

積分すると ${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}abrdrd\theta =2\pi ab\cdot \frac{1}{2}=\pi ab$ です。

円を $x$ 方向に $a$ 倍、$y$ 方向に $b$ 倍しただけ。面積が $ab$ 倍になることが、ヤコビアンにそのまま出ています。

問題 3：双曲線で囲まれた領域

${\iint }_{D}dA$ を求めよ。$D$ は $1\le xy\le 2$、$1\le \frac{y}{x}\le 2$（$x,y>0$）とする。

解答 3

境界の式をそのまま新しい変数にします。$u=xy$、$v=\frac{y}{x}$ と置くと、領域は正方形 $[1,2]\times [1,2]$ になる。

逆に解くと $x=\sqrt{\frac{u}{v}}$、$y=\sqrt{uv}$ です。

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sqrt{uv}}& -\frac{\sqrt{u}}{2v\sqrt{v}}\\ \frac{\sqrt{v}}{2\sqrt{u}}& \frac{\sqrt{u}}{2\sqrt{v}}\end{array}\right|=\frac{1}{4v}+\frac{1}{4v}=\frac{1}{2v}$$

面積は ${\int }_1^2{\int }_1^2\frac{1}{2v}dudv=\frac{1}{2}\log 2$ になります。

境界の式を変数に選ぶ。曲がった領域を長方形に直す標準の手です。

逆向きに計算する

$x$ と $y$ を $u$、$v$ で解く手間が大きいときは、逆のヤコビアンを出して逆数をとります。

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}={\left(\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right)}^{-1}$$

逆写像の微分が微分の逆行列になることから出ます。行列式は逆行列で逆数になる。

問題 $3$ なら $u=xy$、$v=\frac{y}{x}$ を直接微分するほうが速い。$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\frac{2y}{x}=2v$ で、逆数が $\frac{1}{2v}$ です。

問題 4：線形変換

${\iint }_D(x+y)dA$ を求めよ。$D$ は $(0,0)$、$(1,1)$、$(2,0)$ を頂点とする三角形とする。

解答 4

$u=x+y$、$v=x-y$ と置きます。$x=\frac{u+v}{2}$、$y=\frac{u-v}{2}$ で $|J|=\frac{1}{2}$。

頂点の行き先を調べると $(0,0)$、$(2,0)$、$(2,2)$ です。辺 $y=x$ が $v=0$、辺 $y=2-x$ が $u=2$、辺 $y=0$ が $u=v$ に対応します。

領域は $0\le v\le u\le 2$ になりました。

$${\int }_0^2{\int }_0^{u}u\cdot \frac{1}{2}dvdu=\frac{1}{2}{\int }_0^2{u}^{2}du=\frac{4}{3}$$

線形変換ではヤコビアンが定数です。領域の頂点だけを追えば、新しい領域が決まります。

3 変数への拡張

$3$ 変数では $3\times 3$ の行列式になります。よく使う $2$ つは覚えておくと速い^[3]。

いちばん多い誤りは、球座標の $\sin \varphi$ を落とすことです。$\varphi =0$ の軸の近くで緯線の輪が縮むぶんが、この因子にあたります。

問題 5：上半球の重み付き積分

${\iiint }_{V}zdV$ を求めよ。$V$ は $x^2+y^2+z^2\le 1$、$z\ge 0$ とする。

解答 5

球座標で $z=\rho \cos \varphi$、$dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$ です。上半球は $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$。

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1\rho \cos \varphi \cdot {\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$$

$3$ つの積分が分離します。$2\pi \times \frac{1}{2}\times \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}$ です。

${\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi \cos \varphi d\varphi =\frac{1}{2}$ を使いました。変数が分離できる形は、球座標の大きな利点です。

問題 6：円柱座標

${\iiint }_V(x^2+y^2)dV$ を求めよ。$V$ は $x^2+y^2\le 1$、$0\le z\le 2$ とする。

解答 6

円柱座標で被積分関数は $r^2$、体積要素は $rdrd\theta dz$ です。

$${\int }_0^2{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^{3}drd\theta dz=2\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\pi$$

$z$ の範囲が $r$ や $\theta$ によらないので、そのまま長さ $2$ が掛かります。

問題 7：複素数の 2 乗に対応する変換

$u=x^2-y^2$、$v=2xy$ のヤコビアン $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}$ を求めよ。

解答 7

偏微分して並べます。

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right|=4(x^2+y^2)$$

$z=x+iy$ と置くと $u+iv=z^2$ です。正則関数のヤコビアンは $|f^{\prime }(z){|}^2$ になり、ここでは $|2z{|}^2=4|z{|}^2$。

原点で $0$ になるので、原点の近くでは $1$ 対 $1$ になりません。$z$ と $-z$ が同じ点へ写ります。

問題 8：逆変換のヤコビアン

$u=x+y$、$v=x-y$ のとき $\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ を求めよ。

解答 8

$x=\frac{u+v}{2}$、$y=\frac{u-v}{2}$ から直接計算できます。

$$\left|\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right|=-\frac{1}{2}$$

逆数でも出ます。もとの向きのヤコビアンは次のようになります。

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right|=-2$$

その逆数が $-\frac{1}{2}$ で、直接計算した値と一致します。

符号が負なのは向きが反転するためです。積分には $|J|=\frac{1}{2}$ を使います。

問題 9：ガウス積分

${\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dA$ を求め、そこから ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx$ を出せ。

解答 9

極座標に直すと、$r$ が $1$ つ出てくることで積分できる形になります。

$${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdrd\theta =2\pi {\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]}_0^{\infty }=\pi$$

一方、被積分関数が $e^{-x^2}{e}^{-y^2}$ と分離するので、$2$ 重積分は $1$ 変数の積分の $2$ 乗です。

$${\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\pi ⟹{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$

$1$ 変数では原始関数が初等関数で書けません。$2$ 次元へ上げてヤコビアンの $r$ を借りると解けます。

問題 10：平行四辺形の面積

$(0,0)$、$(a,b)$、$(c,d)$、$(a+c,b+d)$ を頂点とする平行四辺形の面積を、ヤコビアンで求めよ。

解答 10

$T(u,v)=(au+cv,bu+dv)$ とすると、単位正方形がこの平行四辺形に写ります。

$$J=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|=ad-bc$$

面積は $|ad-bc|\times 1=|ad-bc|$ です。

行列式が面積比を表すという線形代数の事実が、そのままヤコビアンの意味になっています。変数変換は、これを曲がった変換へ局所的に持ち込んだものです。

境界の式を新しい変数に選び、面積比を掛け直す。曲がった領域を長方形に直せれば、あとは繰り返し積分です。

参考