変数変換（ヤコビアン）の応用

変数変換とヤコビアンは、積分領域を簡単にするための強力な道具である。適切な変換の選択が鍵となる。

問題1：極座標変換

${\iint }_D(x^2+y^2)dA$ を計算せよ。$D$ は $x^2+y^2\le 4$。

解答1

極座標 $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$。ヤコビアン $|J|=r$。

$${\iint }_D(x^2+y^2)dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^2\cdot rdrd\theta =2\pi {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^2=2\pi \cdot 4=8\pi$$

問題2：楕円領域

${\iint }_{D}dA$ を計算せよ。$D$ は $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$。

解答2

$x=ar\cos \theta$, $y=br\sin \theta$ と変換。$0\le r\le 1$。

$\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}=1=abr$

$${\iint }_{D}dA={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{1}abrdrd\theta =2\pi ab\cdot \frac{1}{2}=\pi ab$$

問題3：双曲線座標

${\iint }_{D}dA$ を計算せよ。$D$ は $1\le xy\le 2$, $1\le \frac{y}{x}\le 2$（$x,y>0$）。

解答3

$u=xy$, $v=\frac{y}{x}$ と変換。$x=\sqrt{\frac{u}{v}}$, $y=\sqrt{uv}$

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sqrt{uv}}& -\frac{\sqrt{u}}{2v\sqrt{v}}\\ \frac{\sqrt{v}}{2\sqrt{u}}& \frac{\sqrt{u}}{2\sqrt{v}}\end{array}\right|=\frac{1}{4v}+\frac{1}{4v}=\frac{1}{2v}$$

$${\iint }_{D}dA={\int }_1^2{\int }_1^2\frac{1}{2v}dudv=\frac{1}{2}{\int }_1^{2}du{\int }_1^2\frac{dv}{v}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \ln 2=\frac{\ln 2}{2}$$

問題4：線形変換

${\iint }_D(x+y)dA$ を計算せよ。$D$ は頂点 $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$ の三角形。

解答4

$u=x+y$, $v=x-y$ と変換。$x=\frac{u+v}{2}$, $y=\frac{u-v}{2}$。$|J|=\frac{1}{2}$。

$D$ の境界を調べる：

• $(0,0)$: $u=0,v=0$
• $(1,1)$: $u=2,v=0$
• $(2,0)$: $u=2,v=2$

領域は $0\le v\le u\le 2$。

$${\iint }_D(x+y)dA={\int }_0^2{\int }_0^{u}u\cdot \frac{1}{2}dvdu=\frac{1}{2}{\int }_0^2{u}^{2}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$

問題5：球座標（3重積分）

${\iiint }_{V}zdV$ を計算せよ。$V$ は $x^2+y^2+z^2\le 1$, $z\ge 0$。

解答5

球座標：$x=\rho \sin \varphi \cos \theta$, $y=\rho \sin \varphi \sin \theta$, $z=\rho \cos \varphi$

$dV={\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$

上半球：$0\le \rho \le 1$, $0\le \varphi \le \frac{\pi }{2}$, $0\le \theta \le 2\pi$

$${\iiint }_{V}zdV={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^1\rho \cos \varphi \cdot {\rho }^2\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$$

$$=2\pi {\int }_0^{\pi /2}\sin \varphi \cos \varphi d\varphi {\int }_0^1{\rho }^{3}d\rho =2\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}$$

問題6：円柱座標

${\iiint }_V(x^2+y^2)dV$ を計算せよ。$V$ は $x^2+y^2\le 1$, $0\le z\le 2$。

解答6

円柱座標：$x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$, $z=z$

$dV=rdrd\theta dz$

$${\iiint }_V(x^2+y^2)dV={\int }_0^2{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^1{r}^2\cdot rdrd\theta dz=2\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\pi$$

問題7：ヤコビアンの計算

$u=x^2-y^2$, $v=2xy$ のヤコビアン $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}$ を求めよ。

解答7

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}2x& -2y\\ 2y& 2x\end{array}\right|=4x^2+4y^2=4(x^2+y^2)$$

これは $w=z^2$（$z=x+iy$）の Jacobian に対応。$|w^{\prime }{|}^2=|2z{|}^2=4|z{|}^2$。

問題8：逆変換

$u=x+y$, $v=x-y$ のとき、$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ を求めよ。

解答8

$x=\frac{u+v}{2}$, $y=\frac{u-v}{2}$

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\left|\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right|=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

$|J|=\frac{1}{2}$。または $\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=2$ の逆数。

問題9：一般の変換

${\iint }_D{e}^{-(x^2+y^2)}dA$ を計算せよ。$D={\mathbb{R}}^2$。

解答9

極座標で $\iint e^{-r^2}rdrd\theta =2\pi {\int }_0^{\infty }r{e}^{-r^2}dr=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi$

したがって ${\left({\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx\right)}^2=\pi$、${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$。

問題10：アフィン変換

平行四辺形の面積をヤコビアンで計算せよ。頂点 $(0,0)$, $(a,b)$, $(c,d)$, $(a+c,b+d)$。

解答10

$T:(u,v)\mapsto (au+cv,bu+dv)$ は単位正方形を平行四辺形に写す。

$$J=\left|\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right|=ad-bc$$

面積 $=|ad-bc|\cdot 1=|ad-bc|$

これは行列式の幾何学的意味である。