関数の極限（ε-δ論法の証明問題）

$\epsilon$-$\delta$ 論法は関数の極限を厳密に定義し証明するための言語である。論証力を養う。

問題1：基本的な証明

$\underset{x\to 2}{\lim }(3x-1)=5$ を $\epsilon$-$\delta$ 論法で証明せよ。

解答1

任意の $\epsilon >0$ に対して、$\delta =\frac{\epsilon }{3}$ とおく。

$0<|x-2|<\delta$ のとき

$$|(3x-1)-5|=|3x-6|=3|x-2|<3\delta =\epsilon$$

よって ${\lim }_{x\to 2}(3x-1)=5$。

問題2：2次関数

$\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2=1$ を証明せよ。

解答2

$|x^2-1|=|x-1||x+1|$

$|x-1|<1$ と仮定すると $0<x<2$ で $|x+1|<3$。

$|x^2-1|<3|x-1|$

$\epsilon >0$ に対して $\delta =\min (1,\frac{\epsilon }{3})$ とおく。

$0<|x-1|<\delta$ のとき $|x^2-1|<3\cdot \frac{\epsilon }{3}=\epsilon$。

問題3：有理関数

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$ を証明せよ。

解答3

$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|=\frac{|3-x|}{3|x|}$

$|x-3|<1$ と仮定すると $2<x<4$ で $|x|>2$。

$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|<\frac{|x-3|}{6}$

$\delta =\min (1,6\epsilon )$ とおくと、$0<|x-3|<\delta$ で

$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|<\frac{6\epsilon }{6}=\epsilon$

問題4：三角関数

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$ を証明せよ。

解答4

$|\sin x|\le |x|$（幾何学的に、または凸性から）を用いる。

$\epsilon >0$ に対して $\delta =\epsilon$ とおく。

$0<|x|<\delta$ のとき $|\sin x-0|=|\sin x|\le |x|<\epsilon$。

問題5：片側極限

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}=0$ を証明せよ。

解答5

$\epsilon >0$ に対して $\delta ={\epsilon }^2$ とおく。

$0<x<\delta$ のとき $|\sqrt{x}-0|=\sqrt{x}<\sqrt{\delta }=\epsilon$。

問題6：無限大への極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ を証明せよ。

解答6

$\epsilon >0$ に対して $M=\frac{1}{\epsilon }$ とおく。

$x>M$ のとき $\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{M}=\epsilon$。

問題7：極限が無限大

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=\infty$ を証明せよ。

解答7

任意の $M>0$ に対して $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ とおく。

$0<|x|<\delta$ のとき $\frac{1}{x^2}>\frac{1}{{\delta }^2}=M$。

問題8：極限が存在しない証明

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}$ が存在しないことを示せ。

解答8

$x_n=\frac{1}{n\pi }$ とすると $x_n\to 0$, $\sin \frac{1}{x_n}=\sin (n\pi )=0$

$y_n=\frac{1}{(2n+1/2)\pi }$ とすると $y_n\to 0$, $\sin \frac{1}{y_n}=\sin (2n\pi +\frac{\pi }{2})=1$

異なる極限を持つ列が存在するので、極限は存在しない。

問題9：複合関数

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$ を証明せよ。

解答9

$\left|x^2\sin \frac{1}{x}\right|\le x^2$（$|\sin |\le 1$）

$\epsilon >0$ に対して $\delta =\sqrt{\epsilon }$ とおく。

$0<|x|<\delta$ のとき $\left|x^2\sin \frac{1}{x}\right|\le x^2<\epsilon$。

問題10：$\delta$ の最適化

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ の証明で、$\delta$ を $\epsilon$ の関数として最適に選ぶ必要があるか。

解答10

$\delta$ は「存在すればよい」ので最適化は不要。任意の正の ${\delta }^{\prime }<\delta$ も条件を満たす。

実用上は、$\delta$ を $\epsilon$ の簡単な関数（例：$\delta =\epsilon$, $\delta =\epsilon /3$ など）として構成すれば十分。

重要なのは「任意の $\epsilon >0$ に対して、ある $\delta >0$ が存在する」という論理構造である。