イプシロンデルタ論法の答案は「押さえて逆算」の 2 手で書ける

$\epsilon$-$\delta$ の答案は $2$ 手で書けます。$|f(x)-L|$ を $|x-a|$ の式で上から押さえ、その式が $\epsilon$ 未満になるように $\delta$ を逆算する。

関数が変わっても骨は同じで、変わるのは押さえ方だけです。因数分解、有理化、分母を下から押さえる。使う道具はこの $3$ つでほぼ足ります^[1]。

以下は $15$ 問です。押さえ方の型を順に見たあと、演算法則の証明、極限が存在しないことの証明、一意性まで並べました。

答案の骨

証明は下書きと清書に分かれます。下書きで $\delta$ を探し、清書では見つけた $\delta$ を先に置く。

清書の順序は「$\epsilon >0$ をとる、$\delta$ を置く、$0<|x-a|<\delta$ を仮定する、$\epsilon$ 未満を示す」です。探した過程を書く必要はありません。

$\delta$ は存在すればよいので、最良である必要もない。見つけたものより小さい正の数は、すべて条件を満たします。

問題 1：1 次関数

$\underset{x\to 2}{\lim }(3x-1)=5$ を証明せよ。

解答 1

差は $|3x-6|=3|x-2|$ です。押さえの定数が傾きの $3$ になります。

$\epsilon >0$ をとり、$\delta =\frac{\epsilon }{3}$ と置きます。$0<|x-2|<\delta$ なら $3|x-2|<3\delta =\epsilon$ です。

$1$ 次関数では傾きで割るだけ。押さえの定数が $x$ によらないので、$\min$ は要りません。

問題 2：2 次関数を中心 0 以外で

$\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2=1$ を証明せよ。

解答 2

因数分解します。$|x^2-1|=|x-1||x+1|$ で、$|x+1|$ が $x$ に依存する。

そこで $\delta$ をあらかじめ $1$ 以下に制限します。$|x-1|<1$ なら $0<x<2$ で、$|x+1|<3$ です。

$$|x^2-1|<3|x-1|$$

$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{3}\right)$ と置けば、両方の条件が同時に満たされます。

$\min$ の片方は押さえを作るため、もう片方は $\epsilon$ に合わせるため。役割が違う $2$ つを $1$ つの $\delta$ にまとめています。

問題 3：3 次関数

$\underset{x\to 2}{\lim }{x}^3=8$ を証明せよ。

解答 3

$a^3-b^3$ の因数分解を使います。

$$|x^3-8|=|x-2||x^2+2x+4|$$

$|x-2|<1$ なら $1<x<3$ で、$x^2+2x+4<9+6+4=19$ です。

$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{19}\right)$ と置けば示せます。押さえの $19$ はゆるい見積もりですが、それで足ります。

次数が上がっても手順は同じ。$|x-a|$ を $1$ 因子だけ残し、残りを数で押さえます。

問題 4：分数関数

$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$ を証明せよ。

解答 4

通分します。分母に $x$ が現れる点が要です。

$$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|=\frac{|x-3|}{3|x|}$$

$|x|$ が小さいと全体が大きくなるので、下から押さえます。$|x-3|<1$ なら $2<x<4$ で $|x|>2$ です。

$$\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\right|<\frac{|x-3|}{6}$$

$\delta =\min (1,6\epsilon )$ で示せます。分数では分母を下から押さえる、が型になります。

問題 5：平方根

$\underset{x\to 4}{\lim }\sqrt{x}=2$ を証明せよ。

解答 5

有理化します。分子から $|x-4|$ をとり出す形です。

$$|\sqrt{x}-2|=\frac{|x-4|}{\sqrt{x}+2}$$

分母は $x\ge 0$ でつねに $2$ 以上なので、押さえが $x$ の範囲によりません。

$$|\sqrt{x}-2|\le \frac{|x-4|}{2}$$

$\delta =2\epsilon$ で示せます。$\min$ が要らないのは、押さえがはじめから定数だからです。

問題 6：3 乗根

$\underset{x\to 8}{\lim }\sqrt[3]{x}=2$ を証明せよ。

解答 6

$a^3-b^3$ の因数分解を、$a=\sqrt[3]{x}$、$b=2$ として使います。

$$|\sqrt[3]{x}-2|=\frac{|x-8|}{x^{2/3}+2x^{1/3}+4}$$

分母は $x\ge 0$ で $4$ 以上です。負の側も含めるなら別の見積もりが要りますが、$x>0$ に限れば押さえは定数になります。

$\delta =\min (8,4\epsilon )$ と置きます。$\delta$ を $8$ で頭打ちにしたのは、$x>0$ を確保するためです。

問題 7：三角関数

$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$ を証明せよ。

解答 7

$|\sin x|\le |x|$ を使います。単位円で、弧の長さより弦の長さが短いことから出ます^[2]。

$\delta =\epsilon$ と置けば $|\sin x-0|\le |x|<\epsilon$ です。

同じ不等式から $\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1$ も出ます。半角の公式で $|1-\cos x|=2{\sin }^2\frac{x}{2}\le \frac{x^2}{2}$ と押さえる。

問題 8：はさみうち

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$ を証明せよ。

解答 8

正弦は $x$ によらず絶対値が $1$ 以下です^[2]。

$$\left|x^2\sin \frac{1}{x}\right|\le x^2$$

$\delta =\sqrt{\epsilon }$ で示せます。$\sin \frac{1}{x}$ の激しい振動は、$x^2$ が押さえ込んでいる。

振動する因子は、値の範囲だけ見て捨てる。これがはさみうちの使い方です。

問題 9：和の極限

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$、$\underset{x\to a}{\lim }g(x)=M$ のとき、和の極限が $L+M$ になることを示せ。

解答 9

$\epsilon$ を半分ずつに割ります。それぞれの定義から ${\delta }_1$、${\delta }_2$ をとる。

$|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{2}$ と $|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2}$ が、それぞれの範囲で成り立ちます。

$\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ と置けば両方が同時に成り立ちます。三角不等式でまとめる。

$$|f(x)+g(x)-(L+M)|\le |f(x)-L|+|g(x)-M|<\epsilon$$

項が $2$ つなら $2$ 等分、$3$ つなら $3$ 等分。分け方は出てくる項の数で決まります。

問題 10：積の極限

同じ仮定のもとで、積の極限が $LM$ になることを示せ。

解答 10

差を $2$ つに割ります。真ん中に $f(x)M$ を足して引く。

$$|f(x)g(x)-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|$$

$|f(x)|$ が残るので、先に有界にします。$\epsilon =1$ に対する ${\delta }_0$ をとると、その範囲で $|f(x)|<|L|+1$ です。

あとは $|g(x)-M|<\frac{\epsilon }{2(|L|+1)}$ と $|f(x)-L|<\frac{\epsilon }{2(|M|+1)}$ を満たす $\delta$ をとり、${\delta }_0$ と合わせて $\min$ をとります。

分母に $+1$ を入れたのは、$L$ や $M$ が $0$ でも割れるようにするためです。細かい工夫ですが、これがないと場合分けが要ります。

問題 11：商の極限

$M\ne 0$ のとき、$\underset{x\to a}{\lim }\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}$ を示せ。

解答 11

分母を下から押さえるところから始めます。$\epsilon =\frac{|M|}{2}$ に対する ${\delta }_0$ をとると、その範囲で $|g(x)|>\frac{|M|}{2}$ です。

$$\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right|=\frac{|M-g(x)|}{|g(x)||M|}<\frac{2}{|M{|}^2}|g(x)-M|$$

$|g(x)-M|<\frac{|M{|}^2}{2}\epsilon$ となる ${\delta }_1$ をとり、$\delta =\min ({\delta }_0,{\delta }_1)$ です。

商そのものは、この結果と積の法則を組み合わせて出ます。$0$ で割らないための下からの押さえが、いちばん手のかかるところ。

問題 12：片側極限

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x}=0$ を証明せよ。

解答 12

右側極限なので、条件は $0<x<\delta$ です。絶対値が外れて向きが固定されます。

$\delta ={\epsilon }^2$ と置くと $\sqrt{x}<\sqrt{\delta }=\epsilon$ です。

負の側では定義されないので、両側の極限は考えられません。定義域が片側にしかない場合は、片側極限だけを問います。

問題 13：無限大がからむ 2 つの形

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ と $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=\infty$ を証明せよ。

解答 13

前者では $\delta$ の役目を大きな数 $M$ が担います。$M=\frac{1}{\epsilon }$ と置けば、$x>M$ で $\frac{1}{x}<\epsilon$ です。

後者では $\epsilon$ の役目を大きな数 $K$ が担います。$\delta =\frac{1}{\sqrt{K}}$ と置くと、$0<|x|<\delta$ で $\frac{1}{x^2}>\frac{1}{{\delta }^2}=K$ になる。

どちらも「小さくする」を「大きくする」に読みかえただけです。不等式の向きが変わる点だけ確かめます。

問題 14：極限が存在しないことの証明

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$ が存在しないことを示せ。

解答 14

この関数は $x>0$ で $1$、$x<0$ で $-1$ です。

極限が $L$ だったとします。$\epsilon =1$ に対する $\delta$ をとると、$0<|x|<\delta$ のすべてで $|f(x)-L|<1$ です。

$x=\frac{\delta }{2}$ では $|1-L|<1$、$x=-\frac{\delta }{2}$ では $|-1-L|<1$ になります。

$2$ つを足すと $|1-L|+|1+L|<2$ です。ところが三角不等式から左辺は $2$ 以上で、矛盾する。

$\epsilon$ を $1$ に選ぶ。ここが要点です。左右の値の差が $2$ なので、その半分より小さくとれば必ず矛盾します。

問題 15：極限の一意性

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ が存在するなら、値はただ $1$ つであることを示せ。

解答 15

$L_1$ と $L_2$ の $2$ つが極限だったとし、$L_1\ne L_2$ を仮定します。

$\epsilon =\frac{|L_1-L_2|}{2}$ と置きます。$2$ つは違う値なので、これは正の数です。

それぞれの定義から ${\delta }_1$、${\delta }_2$ をとり、$\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ とします。$0<|x-a|<\delta$ となる $x$ を $1$ つ選ぶ。

$$|L_1-L_2|\le |L_1-f(x)|+|f(x)-L_2|<\epsilon +\epsilon =|L_1-L_2|$$

自分自身より小さいという式になり、矛盾します。よって $L_1=L_2$ です。

差の半分を $\epsilon$ にとる。これが型です。「$2$ つが違う」を「あいだに隙間がある」に言いかえています。

押さえ方の型

関数の形ごとに、使う道具が決まります。

型が決まれば $\delta$ の逆算は機械的です。迷うのは押さえ方を選ぶところだけになります。

よくある誤り

押さえて逆算する。$2$ 手のうち前半だけが関数ごとに変わり、後半はいつも同じです。

参考文献

^[1] が定義と $\delta$ を $\epsilon$ の関数として与えること、^[2] がはさみうちの定理と $x^2\sin \frac{1}{x}$ の例、^[3] が片側極限・無限大の場合・極限が存在しないことの示し方、^[4] がドイツ語での定式化、^[5] がフランス語での定義と除いた近傍です。