幅 δ が点によらないかどうか - 連続性と一様連続性の判定

$f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 全体で連続ですが、一様連続ではありません。$x$ が大きいところほど傾きが急で、同じ $\epsilon$ に対して $\delta$ を狭めつづける必要があるからです。

違いは量化子の順序 $1$ つです。連続では点ごとに $\delta$ を選び直せますが、一様連続では $1$ つの $\delta$ が全体で効かなければなりません^[1]。

以下は $15$ 問です。定義からの証明、一様連続でないことの示し方、リプシッツとヘルダー、閉区間での自動的な成立、拡張の定理まで並べました。

順序が違うだけ

$2$ つの定義を並べます^[1]。

$\exists \delta$ が $\forall x$ の前に出ました。それだけの違いで、成り立つ範囲が大きく変わります。

証明を書いたとき、$\delta$ の式に $x$ や $a$ が残っていれば連続まで、残らなければ一様連続まで示せたことになります。

問題 1：定義から連続を示す

$f(x)=x^2$ が $\mathbb{R}$ で連続であることを示せ。

解答 1

任意の $a$ をとります。差を因数分解します。

$$|x^2-a^2|=|x-a||x+a|$$

$|x-a|<1$ なら $|x|<|a|+1$ で、$|x+a|<2|a|+1$ です。

$$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{2|a|+1}\right)$$

$\delta$ の式に $a$ が入っています。点ごとに選び直しているので、示せたのは連続までです。

問題 2：一様連続でないことを示す

$f(x)=x^2$ が $\mathbb{R}$ で一様連続でないことを示せ。

解答 2

否定を書きます。ある $\epsilon$ に対し、どんな $\delta$ にも反例の $2$ 点があればよい。

$\epsilon =1$ とします。任意の $\delta >0$ に対して次の $2$ 点をとります。

$$x=\frac{1}{\delta },y=\frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}$$

$|x-y|=\frac{\delta }{2}<\delta$ ですが、差は $\epsilon$ を超えます。

$$|x^2-y^2|=\frac{\delta }{2}\left(\frac{2}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right)=1+\frac{{\delta }^2}{4}>1$$

$\delta$ をどれだけ小さくしても、遠くへ行けば反例が作れます。傾きが有界でないことが原因です。

問題 3：平方根は一様連続

$f(x)=\sqrt{x}$ が $[0,\infty )$ で一様連続であることを示せ。

解答 3

$x\ge y\ge 0$ とします。次の不等式が成り立ちます。

$$\sqrt{x}-\sqrt{y}\le \sqrt{x-y}$$

両辺を $2$ 乗すると $x-2\sqrt{xy}+y\le x-y$、つまり $2y\le 2\sqrt{xy}$ で、$y\le x$ から従います。

$\delta ={\epsilon }^2$ と置けば $|x-y|<\delta$ で $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|<\epsilon$ です。

$\delta$ に $x$ が入っていません。原点で傾きが無限になるのに一様連続、という点が意外なところです。

問題 4：閉区間なら自動的に成り立つ

$f$ が $[a,b]$ で連続なら一様連続であることを示せ。

解答 4

ハイネ・カントールの定理です^[1]。背理法で示します。

一様連続でないとすると、ある ${\epsilon }_0$ と $2$ つの列があって次を満たします。

$$|x_n-y_n|<\frac{1}{n},|f(x_n)-f(y_n)|\ge {\epsilon }_0$$

$[a,b]$ は有界閉なので、$x_n$ は収束する部分列を持ちます。$x_{n_k}\to c\in [a,b]$ とする。

$|x_n-y_n|\to 0$ なので $y_{n_k}\to c$ でもあります。$f$ の $c$ での連続性から、両方の像が $f(c)$ に行く。

差が $0$ に行くことになり、${\epsilon }_0$ 以上という仮定と矛盾します。

有界閉区間では、連続と一様連続が一致します。区別が要るのは、開区間や無限区間だけです。

問題 5：開区間では成り立たない

$f(x)=\frac{1}{x}$ が $(0,1)$ で一様連続でないことを示せ。

解答 5

$x_n=\frac{1}{n}$、$y_n=\frac{1}{n+1}$ とします。差は $\frac{1}{n(n+1)}\to 0$ です。

ところが像の差は一定以上です。

$$\left|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{y_n}\right|=|n-(n+1)|=1$$

$\epsilon =1$ に対する $\delta$ がとれません。原点に近づくほど傾きが急になるためです。

閉区間 $[a,1]$（$a>0$）に制限すれば一様連続になります。問題は原点が入っていない開き方にあります。

問題 6：振動する例

$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ が $(0,1]$ で連続だが一様連続でないことを示せ。

解答 6

$(0,1]$ の各点では、合成関数として連続です。$x\ne 0$ で $\frac{1}{x}$ が連続だからです。

$2$ つの列をとります。

$$x_n=\frac{1}{2n\pi },y_n=\frac{1}{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$$

どちらも $0$ に行き、差も $0$ に行きます。ところが値は $0$ と $1$ で離れたままです。

$\epsilon =\frac{1}{2}$ に対する $\delta$ がとれません。値が有界でも、振動が速ければ一様連続にはならない。

問題 $5$ とは事情が違います。あちらは値が発散し、こちらは有界のまま振動しています。

問題 7：リプシッツ連続

$f(x)=\sin x$ がリプシッツ連続であることを示し、一様連続を導け。

解答 7

平均値の定理から、$x$ と $y$ のあいだに $c$ があって次が成り立ちます。

$$|\sin x-\sin y|=|\cos c||x-y|\le |x-y|$$

定数 $K=1$ でリプシッツ条件を満たします^[2]。$\delta =\epsilon$ と置けば一様連続です。

導関数が有界であることとリプシッツ連続であることは、微分できる関数では同値になります^[2]。

$x^2$ が一様連続でなかったのは、導関数 $2x$ が有界でないからです。$2$ つの結果がつながります。

問題 8：ヘルダー連続

$f(x)=|x{|}^{\alpha }$（$0<\alpha <1$）が $\mathbb{R}$ で一様連続であることを示せ。

解答 8

$\left||x{|}^{\alpha }-|y{|}^{\alpha }\right|\le |x-y{|}^{\alpha }$ が成り立ちます。これがヘルダー条件です^[2]。

$\delta ={\epsilon }^{1/\alpha }$ と置きます。$|x-y|<\delta$ なら差は ${\delta }^{\alpha }=\epsilon$ 未満です。

$\alpha =1$ がリプシッツ、$0<\alpha <1$ がヘルダーです。原点で微分できなくても一様連続になります。

問題 $3$ の $\sqrt{x}$ は $\alpha =\frac{1}{2}$ の場合にあたります。

問題 9：一様連続の積

$f,g$ が一様連続で有界なら、積 $fg$ も一様連続であることを示せ。

解答 9

$|f|\le M$、$|g|\le N$ とします。差を $2$ つに割ります。

$$|f(x)g(x)-f(y)g(y)|\le M|g(x)-g(y)|+N|f(x)-f(y)|$$

$\epsilon$ を $2$ 等分し、それぞれの一様連続性から ${\delta }_1$、${\delta }_2$ をとります。$\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ です。

有界性を落とすと成り立ちません。$f=g=x$ は $\mathbb{R}$ で一様連続ですが、積の $x^2$ はそうではない。

問題 10：拡張の定理

$f$ が $(a,b)$ で一様連続なら、$[a,b]$ に連続に拡張できることを示せ。

解答 10

$x_n\to a$ となる列をとります。一様連続性から $\{f(x_n)\}$ はコーシー列です。

$|x_m-x_n|<\delta$ なら $|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon$ となり、$x_n$ が収束することから条件が満たされる。

実数の完備性から $f(x_n)$ は収束します。極限を $L$ とします。

$L$ が列の選び方によらないことも、一様連続性から出ます。$2$ 本の列を交互に並べた列を考えればよい。

$f(a)=L$ と定めれば連続に拡張されます^[1]。$\sin \frac{1}{x}$ が拡張できないのは、一様連続でないからです。

問題 11：至るところ不連続

ディリクレ関数（有理数で $1$、無理数で $0$）がどの点でも不連続であることを示せ。

解答 11

$a$ を有理数とします。$a$ に収束する無理数の列 $x_n$ がとれます。

$f(x_n)=0$ で $f(a)=1$ なので、極限と値が一致しません。

$a$ が無理数なら、有理数の列で同じことが起きます。どちらの場合も不連続です。

有理数も無理数もどちらも稠密であることが効いています。どの点のどんな近傍にも、両方の値が現れる。

問題 12：片方だけ連続

トマエ関数（既約分数 $\frac{p}{q}$ で $\frac{1}{q}$、無理数で $0$）の連続性を調べよ。

解答 12

無理数 $a$ で連続です^[3]。$\epsilon >0$ に対し、$\frac{1}{q}\ge \epsilon$ となる分母 $q$ は有限個しかありません。

そうした分数も、$a$ の近くには有限個しかない。それらを避けるように $\delta$ をとれば、$|f(x)|<\epsilon$ になります。

有理数 $a=\frac{p}{q}$ では不連続です。$f(a)=\frac{1}{q}>0$ なのに、近くの無理数で値が $0$ だからです。

不連続点も連続点もどちらも稠密です。それでもリーマン積分は可能で、値は $0$ になります^[3]。

問題 13：区間を変えると変わる

$f(x)=x^2$ が $[0,5]$ で一様連続であることを示せ。

解答 13

問題 $4$ のハイネ・カントールの定理から直ちに従います。有界閉区間で連続だからです。

直接示すこともできます。$|x+y|\le 10$ なので、押さえが点によりません。

$$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\le 10|x-y|$$

$\delta =\frac{\epsilon }{10}$ で足ります。リプシッツ定数が $10$ になった形です。

同じ関数でも、区間を有界に切れば一様連続になります。関数だけでなく定義域とセットで判定します。

問題 14：無限区間でも一様連続な例

$f(x)=\sin (x^2)$ が $\mathbb{R}$ で一様連続かどうか判定せよ。

解答 14

導関数は $2x\cos (x^2)$ で、有界ではありません。リプシッツではない。

一様連続でもありません。$2$ つの列をとります。

$$x_n=\sqrt{2n\pi },y_n=\sqrt{2n\pi +\frac{\pi }{2}}$$

差は $\frac{\pi /2}{\sqrt{2n\pi }+\sqrt{2n\pi +\pi /2}}\to 0$ です。ところが値は $0$ と $1$ で離れたまま。

有界な関数でも一様連続とはかぎりません。振動が速くなることが原因で、問題 $6$ と同じ形です。

問題 15：判定の手順

与えられた関数と区間について、一様連続かどうかを判定する手順をまとめよ。

解答 15

順に見ます。まず定義域が有界閉なら、連続でありさえすれば一様連続です^[1]。

そうでなければ導関数を見ます。有界ならリプシッツで、一様連続になります^[2]。

導関数が有界でなくても、$\sqrt{x}$ のようにヘルダー条件を満たせば一様連続です。

どれも当たらなければ、$2$ つの列で否定を示します。差が $0$ に行くのに像の差が離れたままの組を探す形です。

つまずきやすいところ

順序と定義域で誤ります。

$\delta$ が点に依存しているかどうか。答案を読み返してこの $1$ 点を確かめれば、どちらを示したかが分かります。

よくある誤り

判定は定義域を見るところから始まる。有界閉なら終わり、そうでなければ傾きを見ます。

参考文献

^[1] が一様連続の定義・量化子の順序・ハイネ・カントールの定理・拡張の定理、^[2] がリプシッツ連続とヘルダー連続および導関数との関係、^[3] がトマエ関数、^[4] がドイツ語での定式化、^[5] がディリクレ関数です。