連続性・一様連続性の判定

連続性と一様連続性の判定問題を練習する。定義に基づく証明と反例の構成を学ぶ。

問題1：連続性の証明

$f(x)=x^2$ が $\mathbb{R}$ 上で連続であることを示せ。

解答1

任意の $a\in \mathbb{R}$ で連続を示す。

$|f(x)-f(a)|=|x^2-a^2|=|x-a||x+a|$

$|x-a|<1$ と仮定すると $|x|<|a|+1$ で $|x+a|<2|a|+1$。

$\delta =\min \left(1,\frac{\epsilon }{2|a|+1}\right)$ とおくと、$|x-a|<\delta$ で

$|x^2-a^2|<(2|a|+1)\cdot \frac{\epsilon }{2|a|+1}=\epsilon$

問題2：不連続点の特定

$f(x)=0$（Dirichlet関数）の連続性を調べよ。

解答2

任意の $a$ で不連続。

$a\in \mathbb{Q}$ のとき：$a$ の近くに無理数 $x_n\to a$ が存在し、$f(x_n)=0\nrightarrow 1=f(a)$。

$a\notin \mathbb{Q}$ のとき：$a$ の近くに有理数 $r_n\to a$ が存在し、$f(r_n)=1\nrightarrow 0=f(a)$。

すべての点で不連続。

問題3：一様連続の証明

$f(x)=\sqrt{x}$ が $[0,\infty )$ で一様連続であることを示せ。

解答3

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$

$x,y\ge 0$ で $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}$（なぜなら $(\sqrt{|x-y|}{)}^2=|x-y|$ と比較）

$\epsilon >0$ に対して $\delta ={\epsilon }^2$ とおく。

$|x-y|<\delta$ のとき $|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{\delta }=\epsilon$。

$\delta$ は $x,y$ によらないので一様連続。

問題4：一様連続でない例

$f(x)=x^2$ が $(0,\infty )$ で一様連続でないことを示せ。

解答4

$\epsilon =1$ とする。任意の $\delta >0$ に対して、$x=\frac{1}{\delta }$, $y=\frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}$ とおく。

$|x-y|=\frac{\delta }{2}<\delta$ だが

$|x^2-y^2|=|x-y||x+y|=\frac{\delta }{2}\left(\frac{2}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right)=1+\frac{{\delta }^2}{4}>1=\epsilon$

したがって一様連続でない。

問題5：有界閉区間での一様連続性

$f$ が $[a,b]$ で連続ならば一様連続であることを示せ（Heineの定理の概略）。

解答5

背理法。一様連続でないと仮定すると、ある ${\epsilon }_0>0$ と列 $\{x_n\},\{y_n\}$ で

$|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$ かつ $|f(x_n)-f(y_n)|\ge {\epsilon }_0$

$[a,b]$ のコンパクト性から部分列で $x_{n_k}\to c\in [a,b]$。このとき $y_{n_k}\to c$ も。

$f$ の $c$ での連続性から $f(x_{n_k})\to f(c)$, $f(y_{n_k})\to f(c)$。

$|f(x_{n_k})-f(y_{n_k})|\to 0$ となり矛盾。

問題6：Lipschitz連続

$f(x)=\sin x$ が Lipschitz 連続であることを示せ。

解答6

平均値の定理より、ある $c$ で $|\sin x-\sin y|=|\cos c||x-y|\le |x-y|$

$|f(x)-f(y)|\le L|x-y|$（$L=1$）が成り立つので Lipschitz 連続。

Lipschitz 連続 $\Rightarrow$ 一様連続 $\Rightarrow$ 連続。

問題7：一様連続性の保存

$f,g$ が一様連続で有界ならば $fg$ も一様連続であることを示せ。

解答7

$|f|\le M$, $|g|\le N$ とする。

$|fg(x)-fg(y)|=|f(x)g(x)-f(y)g(y)|$
$\le |f(x)||g(x)-g(y)|+|g(y)||f(x)-f(y)|$
$\le M|g(x)-g(y)|+N|f(x)-f(y)|$

$\epsilon >0$ に対して、$f$, $g$ の一様連続性から ${\delta }_1$, ${\delta }_2$ を取り、$\delta =\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$ とすればよい。

問題8：連続だが一様連続でない

$f(x)=\sin \frac{1}{x}$ は $(0,1]$ で連続だが一様連続でないことを示せ。

解答8

$(0,1]$ の各点で連続（合成関数の連続性）。

$x_n=\frac{1}{2n\pi }$, $y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2}$ とすると、$n\to \infty$ で $|x_n-y_n|\to 0$。

$f(x_n)=\sin (2n\pi )=0$, $f(y_n)=\sin (2n\pi +\pi /2)=1$

$|f(x_n)-f(y_n)|=1$ は $0$ に収束しない。一様連続でない。

問題9：連続の拡張

$f$ が $(a,b)$ で一様連続ならば $[a,b]$ に連続に拡張できることを示せ。

解答9

$x_n\to a$（$x_n\in (a,b)$）を取る。$\{f(x_n)\}$ は Cauchy 列。

一様連続性から $|x_m-x_n|<\delta$ なら $|f(x_m)-f(x_n)|<\epsilon$。

$\mathbb{R}$ の完備性から $f(x_n)\to L$。$L$ は列の選び方によらない（一様連続性から）。

$f(a)=L$ と定義すれば連続に拡張される。

問題10：Hölder連続

$f(x)=|x{|}^{\alpha }$（$0<\alpha <1$）が $\mathbb{R}$ で一様連続であることを示せ。

解答10

$||x{|}^{\alpha }-|y{|}^{\alpha }|\le |x-y{|}^{\alpha }$（Hölder連続性）

$\epsilon >0$ に対して $\delta ={\epsilon }^{1/\alpha }$ とおく。

$|x-y|<\delta$ のとき $||x{|}^{\alpha }-|y{|}^{\alpha }|\le {\delta }^{\alpha }=\epsilon$。

$\delta$ は $x,y$ によらないので一様連続。