母分散の検定（カイ二乗検定）

母分散の検定は、母集団の分散が特定の値であるかどうか、または二つの母集団の分散が等しいかどうかを判断する手法です。正規母集団を仮定し、カイ二乗分布や F 分布を用います。

一つの母分散の検定

$X_1,\dots ,X_n$ が正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ からの無作為標本のとき、$H_0$: ${\sigma }^2={\sigma }_0^2$ を検定します。

検定統計量は

$${\chi }^2=\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }_0^2}$$

で、帰無仮説のもとで自由度 $n-1$ のカイ二乗分布に従います。

両側検定 $H_1$: ${\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$ では、${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)$ または ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)$ のとき帰無仮説を棄却します。カイ二乗分布は非対称なので、両側検定では上側と下側の棄却点を別々に求めます。

片側検定 $H_1$: ${\sigma }^2>{\sigma }_0^2$ では ${\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n-1)$ のとき、$H_1$: ${\sigma }^2<{\sigma }_0^2$ では ${\chi }^2<{\chi }_{1-\alpha }^2(n-1)$ のとき棄却します。

母分散の信頼区間

同様の議論から、母分散 ${\sigma }^2$ の $100(1-\alpha )\%$ 信頼区間は

$$\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)}\right)$$

で与えられます。

二つの母分散の比の検定

二つの正規母集団 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$ と $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ からそれぞれ大きさ $n_1$, $n_2$ の無作為標本を取り、$H_0$: ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ を検定します。

検定統計量は

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$$

で、帰無仮説のもとで自由度 $(n_1-1,n_2-1)$ の F 分布に従います。

両側検定では $F<F_{1-\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$ または $F>F_{\alpha /2}(n_1-1,n_2-1)$ のとき帰無仮説を棄却します。

注意点

母分散の検定は正規性の仮定に敏感です。母集団が正規分布から外れていると、検定の信頼性が低下します。正規性が疑わしい場合は、ルビーン検定やバートレット検定などのロバストな方法を検討する必要があります。

また、二標本 t 検定の前に等分散性を F 検定で確認することがありますが、この方法は推奨されなくなっています。最初からウェルチの t 検定を使うか、より頑健な方法を選ぶのが現代的なアプローチです。