母平均の検定（z 検定、t 検定）

母平均の検定は、母集団の平均が特定の値であるかどうかを判断する手法です。母分散が既知の場合は z 検定、未知の場合は t 検定を用います。

z 検定（母分散既知の場合）

$X_1,\dots ,X_n$ が正規分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ からの無作為標本で、${\sigma }^2$ が既知のとき、$H_0$: $\mu ={\mu }_0$ を検定します。

検定統計量は

$$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

で、帰無仮説のもとで $Z\sim N(0,1)$ に従います。

両側検定 $H_1$: $\mu \ne {\mu }_0$ では、$|Z|>z_{\alpha /2}$ のとき帰無仮説を棄却します。片側検定 $H_1$: $\mu >{\mu }_0$ では、$Z>z_{\alpha }$ のとき棄却します。

t 検定（母分散未知の場合）

実際には母分散 ${\sigma }^2$ が未知であることがほとんどです。このとき標本分散

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

を用いて検定統計量を構成します。

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{S/\sqrt{n}}$$

帰無仮説のもとで $T$ は自由度 $n-1$ の t 分布に従います。

両側検定では $|T|>t_{\alpha /2}(n-1)$ のとき、片側検定 $H_1$: $\mu >{\mu }_0$ では $T>t_{\alpha }(n-1)$ のとき帰無仮説を棄却します。

二標本 t 検定

二つの母集団の平均を比較する場合は二標本 t 検定を用います。

等分散を仮定する場合、二つの標本 $X_1,\dots ,X_{n_1}$ と $Y_1,\dots ,Y_{n_2}$ に対してプールした分散

$$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_X^2+(n_2-1)S_Y^2}{n_1+n_2-2}$$

を計算し、検定統計量

$$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

は自由度 $n_1+n_2-2$ の t 分布に従います。

等分散を仮定しない場合はウェルチの t 検定を用います。このとき自由度はサタスウェイトの近似式で計算します。

対応のある t 検定

同一の対象に対する処理前後の比較など、データが対応している場合は、差 $D_i=X_i-Y_i$ を取って一標本 t 検定を行います。$H_0$: ${\mu }_D=0$ を検定することで、処理効果の有無を判断できます。