同じ 2.00 で結論が分かれる - 母平均の z 検定と t 検定

標本 16 個から統計量 2.00 が出たとします。母分散を知っていれば両側の p 値は 0.0455 で、5% を割るので棄却できます。

母分散を知らない場合、同じ 2.00 でも p 値は 0.0639 です。棄却できません。

データも計算式も同じ。違うのは、割った相手が既知の $\sigma$ か、標本から推定した $s$ かだけです。

何が変わるのか

母平均 $\mu$ が指定した値 ${\mu }_0$ と等しいかを調べます。$H_0:\mu ={\mu }_0$ を置き、標本平均が ${\mu }_0$ からどれだけ離れているかを測る。

離れ具合は、標本平均のばらつきを単位にして測ります。標本平均の標準偏差は $\sigma /\sqrt{n}$ です。

問題は $\sigma$ を知っているかどうか。知っていればそのまま割れますが、知らなければ標本から推定した $s$ で代用することになります。

代用したぶんの不確かさが、分布の裾に出ます。同じ値でも判定が甘くなるのはそのためです。

z 検定

$\sigma$ が既知のとき、次の統計量を使います。

$$Z=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$$

$H_0$ のもとで $Z\sim N(0,1)$ です。両側 5% なら $|Z|>1.960$ で棄却します。

実際にはこの状況はまれです。母平均が分からないのに母分散だけ分かっている、という場面は多くありません。

使う場面があるとすれば、長年の測定で装置のばらつきが分かっている工程管理や、比率の検定のように分散が母数から決まる場合です。

t 検定

$\sigma$ が未知のとき、標本標準偏差 $s$ で置きかえます^[1]。

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$

$H_0$ のもとで $T$ は自由度 $n-1$ の t 分布に従います^[1][2]。自由度が $n$ でなく $n-1$ なのは、$s$ の計算で標本平均を 1 つ使っているためです。

棄却の条件は対立仮説の向きで変わります^[3]。

ここで $t_{\alpha }$ は自由度 $n-1$ の t 分布の上側 $\alpha$ 点です。両側では片側ずつ $\alpha /2$ を配るので、境目が外へ動きます。

臨界値がどれだけ甘くなるか

t 分布の臨界値は、いつも正規分布より外側にあります。自由度が小さいほど差が開く。

自由度 99 なら 1.2% の違いしかありません。標本が 100 個あれば、どちらを使ってもほぼ同じ結論になります。

自由度 4 では 4 割も外側です。小さい標本ほど、母分散を知らないことの代償が大きくなる。

例：内容量が表示どおりか

表示 500 g の袋を 16 個はかったところ、平均 496.2 g、標本標準偏差 6.4 g でした。${\mu }_0=500$ で両側検定します。

標準誤差は $6.4/\sqrt{16}=1.6$ です。統計量を出します。

$$T=\frac{496.2-500}{1.6}=-2.375$$

自由度は $16-1=15$ で、両側 5% の点は 2.1314。$|-2.375|>2.1314$ なので棄却します。

p 値は 0.0313 です。表示より少ないとまでは言えますが、どれだけ少ないかはこの数字には入っていません。

平均の差は $3.8$ g。判定と一緒にこの値も見る必要があります。

例：境目に落ちる場合

同じ 16 個で平均が 503.2 g、標本標準偏差が 6.4 g だったとします。

$$T=\frac{503.2-500}{1.6}=2.000$$

t 分布の点 2.1314 に届きません。p 値は 0.0639 で、棄却できない。

ここで母分散が $6.4$ だと分かっていたなら、$Z=2.000$ を 1.960 と比べることになります。こちらは棄却されます。p 値は 0.0455。

同じ数字が、片方では有意で片方では有意でない。1.96 と 2.13 のあいだの $0.17$ という幅が、$s$ で代用した代償にあたります。

片側にする場合

「表示より少ないか」だけを問うなら片側です。$H_1:\mu <500$ とします。

自由度 15 の片側 5% の点は 1.7531 で、両側の 2.1314 より内側にあります。同じデータなら棄却しやすい。

例のデータでは片側の p 値が 0.0157 になります。両側の 0.0313 のちょうど半分です。

半分になるのは分布が対称だからで、どの検定でもそうなるわけではありません。

正規性はどこまで要るか

導出は、もとの分布が正規であることを前提にしています^[1]。$\bar{X}$ と $s^2$ の独立性が、正規分布でしか成り立たないためです。

ただし $n$ が大きければ、$\bar{X}$ の分布が正規に近づくので結論はあまり変わりません。小さい標本でこそ、正規性の仮定が効いてきます。

外れ値には弱い。1 つの極端な値が $\bar{X}$ と $s$ の両方を動かすので、$T$ の分子と分母が同時にずれます。

2 つの母平均を比べる場合

独立な 2 標本の平均を比べる形もあります。母分散が等しく未知のとき、統計量は自由度 $n+m-2$ の t 分布に従います^[1]。

分散をひとまとめに推定してから使う形です。等分散が成り立たない場合は自由度の計算が変わります。

同じ対象を 2 回はかった対応のあるデータでは、差をとって 1 標本の検定に戻します。差の母平均が $0$ かどうかを見る形になる。

母分散を知っているかどうかで、比べる相手が 1.960 から 2.131 へ動く。t 検定と z 検定の違いは、この一点に集約されます。

参考