分散分析（ANOVA）

分散分析（ANOVA: Analysis of Variance）は、3 つ以上の群の平均を同時に比較する手法です。t 検定を繰り返し行うと多重比較の問題が生じるため、全体としての検定を一度に行う分散分析が用いられます。

一元配置分散分析

$k$ 個の群があり、第 $i$ 群には $n_i$ 個のデータ $y_{i1},\dots ,y_{i{n}_i}$ があるとします。モデルは

$$y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\epsilon }_{ij}$$

と表されます。$\mu$ は全体平均、${\alpha }_i$ は第 $i$ 群の効果、${\epsilon }_{ij}\sim N(0,{\sigma }^2)$ は誤差です。

帰無仮説は $H_0$: ${\alpha }_1=\cdots ={\alpha }_k=0$（すべての群の平均が等しい）です。

平方和の分解

データの変動を群間変動と群内変動に分解します。

全平方和は

$$S{S}_T=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y}{)}^2$$

群間平方和は

$$S{S}_B=\sum _{i=1}^k{n}_i({\bar{y}}_i-\bar{y}{)}^2$$

群内平方和は

$$S{S}_W=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{n_i}(y_{ij}-{\bar{y}}_i{)}^2$$

であり、$S{S}_T=S{S}_B+S{S}_W$ が成り立ちます。

F 検定

平均平方を $M{S}_B=S{S}_B/(k-1)$、$M{S}_W=S{S}_W/(N-k)$ とします。ここで $N=\sum n_i$ です。

検定統計量

$$F=\frac{M{S}_B}{M{S}_W}$$

は帰無仮説のもとで自由度 $(k-1,N-k)$ の F 分布に従います。$F$ が大きいほど群間のばらつきが群内のばらつきに比べて大きく、群の平均に差があることを示唆します。

分散分析表

結果は分散分析表にまとめます。

仮定と多重比較

分散分析の仮定は、各群が正規分布に従うこと、分散が等しいこと（等分散性）、観測が独立であることです。

分散分析で帰無仮説が棄却された場合、どの群間に差があるかを調べるために多重比較を行います。テューキーの方法、ボンフェローニ補正、ダネットの方法などが用いられます。

二元配置以上

要因が二つ以上ある場合は二元配置分散分析を用います。主効果に加えて交互作用も検討でき、より複雑な実験計画に対応できます。