平均・分散・標準偏差の計算練習

統計学の基礎となる平均、分散、標準偏差の計算方法を、具体的なデータを使って練習します。公式を覚えるだけでなく、実際に手を動かして計算することで理解が深まります。

例題 1：平均の計算

あるクラス 5 人の数学のテスト点数が 72, 85, 68, 91, 74 点でした。平均点を求めてください。

平均は各データの合計をデータ数で割ることで求められます。

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i=\frac{72+85+68+91+74}{5}=\frac{390}{5}=78$$

平均点は 78 点です。

例題 2：分散と標準偏差の計算

同じデータ 72, 85, 68, 91, 74 について、分散と標準偏差を求めてください。

まず各データと平均 78 との偏差を計算します。

$$72-78=-6,85-78=7,68-78=-10,91-78=13,74-78=-4$$

偏差の二乗の合計は

$$(-6{)}^2+7^2+(-10{)}^2+13^2+(-4{)}^2=36+49+100+169+16=370$$

母集団の分散として計算する場合は $n$ で割ります。

$${\sigma }^2=\frac{370}{5}=74$$

標本分散として計算する場合は $n-1$ で割ります。

$$s^2=\frac{370}{4}=92.5$$

標準偏差はそれぞれの平方根をとって、母集団の場合 $\sigma =\sqrt{74}\approx 8.60$、標本の場合 $s=\sqrt{92.5}\approx 9.62$ となります。

例題 3：計算の工夫

分散の計算には別の公式もあります。

$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$$

同じデータで確認してみましょう。二乗の平均は

$$\frac{72^2+85^2+68^2+91^2+74^2}{5}=\frac{5184+7225+4624+8281+5476}{5}=\frac{30790}{5}=6158$$

したがって

$${\sigma }^2=6158-78^2=6158-6084=74$$

となり、先ほどと同じ結果が得られました。データ数が多いときはこちらの公式が計算しやすい場合があります。