正規分布の確率計算｜例題と解き方を標準化から丁寧に解説

正規分布の確率は、どれも同じ手順で求まります。標準化して標準正規分布の値に直し、あとは表か関数から読むだけです。

$X \sim N (μ, σ^{2}) ⟹ Z = \frac{X - μ}{σ} \sim N (0, 1)$

以下の問題は、この一つの型が使える場面を広げていく順に並べてあります。後半では和や差、逆算、二項分布の近似など、標準化の前にひと手間かかるものを集めました。

標準正規分布表の読み方

$Φ (z)$ は標準正規分布の分布関数で、 $z$ 以下になる確率を表します。表に載っているのはこの値です。

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	<text x="48" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">Φ(z) は、その点より左側の面積です</text>
	<polygon points="60,185 65,185 70,184 75,184 81,184 86,184 91,183 96,182 101,182 106,180 111,179 117,178 122,176 127,173 132,170 137,167 142,163 147,159 153,154 158,148 163,142 168,135 173,128 178,120 183,112 189,104 194,96 199,88 204,81 209,74 214,68 219,62 225,58 230,55 235,53 240,52 245,53 250,55 255,58 261,62 266,68 271,74 276,81 281,88 286,96 291,104 297,112 302,120 307,128 312,135 317,142 317,185" fill="#1b81e0" fill-opacity="0.18"></polygon>
	<polyline points="60,185 65,185 70,184 75,184 81,184 86,184 91,183 96,182 101,182 106,180 111,179 117,178 122,176 127,173 132,170 137,167 142,163 147,159 153,154 158,148 163,142 168,135 173,128 178,120 183,112 189,104 194,96 199,88 204,81 209,74 214,68 219,62 225,58 230,55 235,53 240,52 245,53 250,55 255,58 261,62 266,68 271,74 276,81 281,88 286,96 291,104 297,112 302,120 307,128 312,135 317,142 322,148 327,154 333,159 338,163 343,167 348,170 353,173 358,176 363,178 369,179 374,180 379,182 384,182 389,183 394,184 399,184 405,184 410,184 415,185 420,185" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></polyline>
	<line x1="50" y1="185" x2="430" y2="185" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<line x1="317" y1="142" x2="317" y2="185" stroke="#d0562a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="150" y="130" font-size="11" fill="#1b81e0">Φ(1.5) = 0.9332</text>
	<text x="330" y="112" font-size="11" fill="#d0562a">残りが 0.0668</text>
	<text x="86" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-3</text>
	<text x="137" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-2</text>
	<text x="189" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">-1</text>
	<text x="240" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">0</text>
	<text x="291" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">1</text>
	<text x="343" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">2</text>
	<text x="394" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">3</text>
	<text x="48" y="218" font-size="11" fill="#9a9a9a">左右対称なので、負の値は Φ(-z) = 1 - Φ(z) で求まります</text>
</svg>

多くの表は $z \geq 0$ の範囲しか載せていません。負の側は対称性から $Φ (- z) = 1 - Φ (z)$ で得られます。

この記事では次の値を使います。 $Φ (1) = 0.8413$ 、 $Φ (1.5) = 0.9332$ 、 $Φ (2) = 0.9772$ 、 $Φ (2.5) = 0.9938$ 、 $Φ (3) = 0.9987$ です。

以下の問題 $1$ から $9$ までは、ある工場の製品の重量が $X \sim N (500, 2 0^{2})$ （単位はグラム）に従う、という共通の設定で考えます。

問題 1：区間の確率

製品の重量が $480$ 以上 $530$ 以下である確率を求めてください。

解答 1

両端をそれぞれ標準化します。平均を引いて標準偏差で割るだけです。

$\frac{480 - 500}{20} = - 1, \frac{530 - 500}{20} = 1.5$

区間の確率は、分布関数の差になります。

$P (480 \leq X \leq 530) = Φ (1.5) - Φ (- 1)$

$Φ (- 1) = 1 - Φ (1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$ を使います。

$0.9332 - 0.1587 = 0.7745$

およそ $77.5%$ の製品がこの範囲に収まります。

問題 2：上側確率

重量が $540$ を超える確率はいくらでしょうか。

解答 2

標準化すると $z = (540 - 500) /20 = 2$ です。上側なので $1$ から引きます。

$P (X > 540) = 1 - Φ (2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$

$100$ 個に $2$ 個ほどが $540$ を超える計算になります。

問題 3：上位 5% の境目

重い順に上位 $5%$ に入る製品は、何グラム以上でしょうか。

解答 3

これまでと逆向きの計算です。確率から $z$ を先に求め、そのあと元の単位に戻します。

$P (X > x) = 0.05$ は $Φ (z) = 0.95$ と同じことで、表を逆に引くと $z = 1.645$ です。

$x = μ + z σ = 500 + 1.645 \times 20 = 532.9$

およそ $533$ 以上が上位 $5%$ にあたります。標準化の式を $x$ について解いた形になっています。

問題 4：平均から標準偏差の何倍以内か

平均から標準偏差の $1$ 倍以内、 $2$ 倍以内、 $3$ 倍以内に入る確率をそれぞれ求めてください。あわせて、ちょうど $95%$ が入る区間も出してください。

解答 4

左右対称なので、 $Φ (1)$ を $2$ 倍して $1$ を引けば求まります。

$P (∣ Z ∣ \leq 1) = 2Φ (1) - 1 = 2 \times 0.8413 - 1 = 0.6827$

同じ計算を $2$ と $3$ でも行います。

$P (∣ Z ∣ \leq 2) = 0.9545, P (∣ Z ∣ \leq 3) = 0.9973$

逆に $95%$ を先に決めると、両側に $2.5%$ ずつ残るので $Φ (z) = 0.975$ となる $z = 1.96$ を使います。

$500 \pm 1.96 \times 20 = [460.8, 539.2]$

$2 σ$ が $95%$ だと覚えている人がいますが、正確には $95.45%$ です。ちょうど $95%$ なら $1.96$ 倍が正しい値になります。

問題 5：規格外になる割合

規格が $450$ 以上 $550$ 以下と決まっているとき、規格から外れる製品の割合を求めてください。

解答 5

両側とも平均から $50$ 離れていて、標準偏差で測ると $2.5$ 倍です。

$P (X < 450) = P (X > 550) = 1 - Φ (2.5) = 1 - 0.9938 = 0.0062$

外れるのは両側を合わせた分です。

$2 \times 0.0062 = 0.0124$

およそ $1.24%$ で、 $80$ 個に $1$ 個ほどが規格外になります。

問題 6：標本平均の分布

製品を $16$ 個無作為に選んだとき、その平均が $495$ 以下になる確率を求めてください。また、製品 $1$ 個の重量が $495$ 以下になる確率と比べてください。

解答 6

標本平均も正規分布に従い、平均は変わらず分散が $1/ n$ になります。

$\overset{ˉ}{X} \sim N (500, \frac{2 0 ^{2}}{16})$

標準偏差は $20/ 16 = 5$ です。これを標準誤差といいます。

$P (\overset{ˉ}{X} \leq 495) = Φ (\frac{495 - 500}{5}) = Φ (- 1) = 0.1587$

一方、製品 $1$ 個なら標準偏差は $20$ のままです。

$P (X \leq 495) = Φ (- 0.25) = 0.4013$

同じ $495$ でも確率が倍以上違います。平均を取るとばらつきが縮むので、同じずれがずっと起きにくくなるためです。

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	<text x="48" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">平均を取ると、分布の幅は 4 分の 1 に縮みます</text>
	<line x1="50" y1="185" x2="430" y2="185" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<polyline points="60,174 74,172 89,170 103,168 118,165 132,163 146,161 161,159 175,157 190,155 204,154 218,153 233,152 247,152 262,153 276,154 290,155 305,157 319,159 334,161 348,163 362,165 377,168 391,170 406,172 420,174" fill="none" stroke="#9a9a9a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<polyline points="60,185 74,185 89,185 103,185 118,185 132,185 146,184 161,181 175,172 190,153 204,121 218,84 233,57 247,57 262,84 276,121 290,153 305,172 319,181 334,184 348,185 362,185 377,185 391,185 406,185 420,185" fill="none" stroke="#1b81e0" stroke-width="1.5"></polyline>
	<line x1="210" y1="45" x2="210" y2="185" stroke="#d0562a" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="86" y="160" font-size="11" fill="#9a9a9a">1 個の重さ</text>
	<text x="300" y="90" font-size="11" fill="#1b81e0">16 個の平均</text>
	<text x="128" y="60" font-size="11" fill="#d0562a">495</text>
	<line x1="150" y1="56" x2="204" y2="56" stroke="#d0562a" stroke-width="1"></line>
	<text x="60" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">470</text>
	<text x="240" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">500</text>
	<text x="420" y="200" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">530</text>
	<text x="48" y="218" font-size="11" fill="#9a9a9a">同じ 495 でも、左側に残る面積がまったく違います</text>
</svg>

問題 7：独立な和

製品 $3$ 個を、重量が $N (100, 1 0^{2})$ に従う箱に詰めます。箱込みの合計重量が $1650$ を超える確率を求めてください。ただし $4$ つの重量は互いに独立とします。

解答 7

合計を $S$ と置きます。独立な正規分布の和はまた正規分布で、期待値も分散も足し算になります。

$E [S] = 3 \times 500 + 100 = 1600$

分散を足します。標準偏差を足すのではないところが要点です。

$V [S] = 3 \times 2 0^{2} + 1 0^{2} = 1300$

標準偏差は $1300 \approx 36.06$ です。これで標準化できます。

$P (S > 1650) = 1 - Φ (\frac{50}{36.06}) = 1 - Φ (1.387)$

$Φ (1.387) = 0.9173$ なので、答えは $0.0827$ です。およそ $8.3%$ になります。

標準偏差を足して $3 \times 20 + 10 = 70$ としてしまう誤りが多い場所です。分散で足すと $36.06$ で、ばらつきは思ったより小さくなります。

問題 8：独立な差

別のラインの製品は $Y \sim N (495, 1 5^{2})$ に従います。両方から $1$ 個ずつ取ったとき、最初のラインのほうが重い確率を求めてください。

解答 8

差を新しい確率変数と見ます。差でも分散は足し算です。

$D = X - Y \sim N (500 - 495, 2 0^{2} + 1 5^{2}) = N (5, 625)$

標準偏差は $625 = 25$ です。求めるのは $D > 0$ となる確率です。

$P (D > 0) = 1 - Φ (\frac{0 - 5}{25}) = 1 - Φ (- 0.2) = Φ (0.2)$

$Φ (0.2) = 0.5793$ なので、およそ $57.9%$ です。

平均は $5$ 違いますが、ばらつきが $25$ もあるので、逆転が $4$ 割以上の頻度で起こります。

問題 9：標本平均の差

両方のラインから $25$ 個ずつ取り、それぞれの平均を計算します。差が $10$ を超える確率はいくらでしょうか。

解答 9

標本平均の分散は $1/ n$ になるので、それを足します。

$V [\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y}] = \frac{2 0 ^{2}}{25} + \frac{1 5 ^{2}}{25} = 16 + 9 = 25$

標準偏差は $5$ です。期待値の差は $5$ のままなので、標準化します。

$P (\overset{ˉ}{X} - \overset{ˉ}{Y} > 10) = 1 - Φ (\frac{10 - 5}{5}) = 1 - Φ (1) = 0.1587$

$1$ 個ずつのときは差のばらつきが $25$ でしたが、 $25$ 個の平均どうしでは $5$ に縮みました。

問題 10：平均と標準偏差の逆算

ある試験の得点が正規分布に従い、 $60$ 点未満が $10%$ 、 $90$ 点より上が $5%$ でした。平均と標準偏差を求めてください。

解答 10

確率から $z$ を先に読みます。 $Φ (z) = 0.10$ となるのは $z = - 1.2816$ 、 $Φ (z) = 0.95$ となるのは $z = 1.6449$ です。

標準化の式を $2$ つ立てます。

$6090 = μ - 1.2816 σ = μ + 1.6449 σ$

辺々を引くと $μ$ が消えます。

$30 = (1.6449 + 1.2816) σ = 2.9265 σ$

したがって $σ = 10.25$ です。これを最初の式に戻します。

$μ = 60 + 1.2816 \times 10.25 = 73.14$

平均 $73.1$ 点、標準偏差 $10.3$ 点になります。求めた値で確かめると、 $60$ 点未満が $10.0%$ 、 $90$ 点超が $5.0%$ で合っています。

問題 11：条件付き確率

重量が $520$ を超えていると分かっている製品について、それが $540$ も超えている確率を求めてください。

解答 11

条件付き確率の定義に戻ります。 $540$ を超えるなら $520$ も超えているので、共通部分は $X > 540$ です。

$P (X > 540 ∣ X > 520) = \frac{P ( X > 540 )}{P ( X > 520 )}$

分子は問題 $2$ で求めた $0.0228$ です。分母は $520$ を標準化して $z = 1$ とすればよく、 $1 - Φ (1) = 0.1587$ になります。

$\frac{0.0228}{0.1587} = 0.1434$

$14.3%$ です。何も分かっていないときの $2.3%$ から大きく上がりました。

問題 12：全部が範囲に入る確率

無作為に選んだ $5$ 個が、すべて $480$ 以上 $530$ 以下に収まる確率を求めてください。

解答 12

$1$ 個が範囲に入る確率は、問題 $1$ で求めた $0.7745$ です。独立なので $5$ 個分を掛けます。

$0.774 5^{5} = 0.2787$

$1$ 個なら $8$ 割近く収まるのに、 $5$ 個そろうと $3$ 割を切ります。全数が条件を満たす確率は、個数とともに急に下がります。

問題 13：二項分布の正規近似

不良率が $2%$ の工程から $400$ 個を検査します。不良品が $12$ 個以下である確率を、正規分布で近似して求めてください。

解答 13

不良品の個数は二項分布に従います。期待値と分散を出します。

$μ = 400 \times 0.02 = 8, σ = 400 \times 0.02 \times 0.98 = 2.8$

個数は整数しか取らないので、境界を半分ずらす連続性補正を入れます。 $12$ 個以下は $12.5$ 未満と読み替えます。

$P (X \leq 12) \approx Φ (\frac{12.5 - 8}{2.8}) = Φ (1.607) = 0.9460$

HTML

CSS

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<svg viewBox="0 0 460 220" width="100%" style="max-width:460px;display:block;margin:0 auto">
	<text x="48" y="24" font-size="11" fill="#1f1f1f">棒の切れ目は 12 と 13 の間にあります</text>
	<line x1="50" y1="180" x2="430" y2="180" stroke="#c8c8c8" stroke-width="1"></line>
	<rect x="79" y="178" width="14" height="2" fill="#1b81e0"></rect>
	<rect x="96" y="171" width="14" height="9" fill="#1b81e0"></rect>
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	<rect x="130" y="132" width="14" height="48" fill="#1b81e0"></rect>
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	<rect x="164" y="77" width="14" height="103" fill="#1b81e0"></rect>
	<rect x="181" y="61" width="14" height="119" fill="#1b81e0"></rect>
	<rect x="199" y="61" width="14" height="119" fill="#1b81e0"></rect>
	<rect x="216" y="74" width="14" height="106" fill="#1b81e0"></rect>
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	<rect x="267" y="140" width="14" height="40" fill="#1b81e0"></rect>
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	<rect x="319" y="173" width="14" height="7" fill="#1b81e0"></rect>
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	<polyline points="60,179 69,178 77,177 86,175 94,172 103,168 111,163 120,156 129,147 137,137 146,125 154,112 163,99 171,87 180,76 189,67 197,62 206,60 214,62 223,67 231,76 240,87 249,99 257,112 266,125 274,137 283,147 291,156 300,163 309,168 317,172 326,175 334,177 343,178 351,179 360,179 369,180 377,180 386,180 394,180 403,180 411,180 420,180" fill="none" stroke="#d0562a" stroke-width="1.5"></polyline>
	<line x1="283" y1="45" x2="283" y2="180" stroke="#7a4fc0" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 3"></line>
	<text x="289" y="58" font-size="11" fill="#7a4fc0">12.5 で切る</text>
	<text x="206" y="196" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">8</text>
	<text x="283" y="196" font-size="11" fill="#9a9a9a" text-anchor="middle">12</text>
	<text x="48" y="214" font-size="11" fill="#9a9a9a">棒が二項分布、曲線が正規近似です</text>
</svg>