正規分布の確率計算と例題

正規分布の確率計算は、標準化して標準正規分布表を使うのが基本です。具体的な例題で計算の流れを確認しましょう。

例題 1：基本的な確率計算

ある工場で生産される製品の重量は平均 500g、標準偏差 20g の正規分布に従います。製品の重量が 480g 以上 530g 以下である確率を求めてください。

$X\sim N(500,20^2)$ とします。標準化すると

$$P(480\le X\le 530)=P\left(\frac{480-500}{20}\le Z\le \frac{530-500}{20}\right)=P(-1\le Z\le 1.5)$$

標準正規分布表より $\Phi (1.5)\approx 0.9332$、$\Phi (-1)=1-\Phi (1)\approx 1-0.8413=0.1587$ なので

$$P(-1\le Z\le 1.5)=\Phi (1.5)-\Phi (-1)\approx 0.9332-0.1587=0.7745$$

約 77.5% の製品が 480g から 530g の範囲に収まります。

例題 2：上側確率の計算

同じ製品について、重量が 540g を超える確率を求めてください。

$$P(X>540)=P\left(Z>\frac{540-500}{20}\right)=P(Z>2)=1-\Phi (2)$$

$\Phi (2)\approx 0.9772$ より

$$P(X>540)\approx 1-0.9772=0.0228$$

約 2.3% の製品が 540g を超えます。

例題 3：パーセント点の計算

上位 5% に入る製品の重量の下限値を求めてください。

上位 5% ということは $P(X>x)=0.05$ となる $x$ を求めます。これは $P(X\le x)=0.95$ と同じです。

標準正規分布で $\Phi (z)=0.95$ となる $z$ を求めると、$z\approx 1.645$ です。

$$x=\mu +z\sigma =500+1.645\times 20=500+32.9=532.9$$

重量が約 533g 以上の製品が上位 5% に入ります。

例題 4：標本平均の分布

この製品を 16 個無作為に選んだとき、標本平均が 495g 以下になる確率を求めてください。

標本平均 $\bar{X}$ は $N\left(500,\frac{20^2}{16}\right)=N(500,25)$ に従います。標準誤差は $20/\sqrt{16}=5$ です。

$$P(\bar{X}\le 495)=P\left(Z\le \frac{495-500}{5}\right)=P(Z\le -1)=\Phi (-1)\approx 0.1587$$

約 15.9% の確率で標本平均が 495g 以下になります。

個々の製品では $P(X\le 495)=P(Z\le -0.25)\approx 0.40$ ですが、標本平均ではばらつきが小さくなるため、確率が大きく異なることに注意してください。